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凸函數

???????琴生不等式/Jensen不等式

用數學歸納法來證明琴生不等式/Jensen不等式

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???????

???????凸函數

???????

一個函數如果滿足

，

那么這個函數就是凸函數。

嚴格凸函數：≤改為<

???????琴生不等式/Jensen不等式

如果是凸函數，那么對于任意的，以及正的權重系數，且，則如下不等式成立

用數學歸納法來證明琴生不等式/Jensen不等式

已知當n = 2時，此結論成立，如下：

對于一般的n用數學歸納法來證明。

假設n = N時此結論成立，需要證明n = N + 1時此結論成立

此時我們有N + 1 個點，以及權重，

令

假設n = N時此結論成立，根據公式(1)即得出

?

不等式左邊：

?

不等式右邊：

?

所以

根據凸函數的定義

因為，所以公式(4)可以根據公式(2)（n=2的情況）類比得出(5)

其中

結合不等式(3)(5)得出N+1的公式

n = 2的情形已知成立，從n= N的情形出發，證明了n = N + 1的情形。

至此，公式證明完畢。

總結

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