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（二十三）张量场函数的散度与旋度

發布時間：2024/8/1 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了（二十三）张量场函数的散度与旋度小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

本文主要內容如下：

1. 不變性微分算子
2. 散度
3. 旋度
4. Laplace 算子

1. 不變性微分算子

Hamilton 算子（Nabla 算子）又稱作不變性微分算子，這是因為它對張量場所作微分運算的形式不隨坐標系的改變而改變，如：在不同坐標系 ${Xi′?G?i′}\{\mathscr{X}^{i'}-\vec{\mathscr{G}}_{i'}\}$ 與 ${xi?g?i}\{x^i-\vec{g}_i\}$ 中計算張量的梯度
$▽T=G?i′?T?Xi′=G?i′(?T?xj?xj?Xi′)=(?xj?Xi′G?i′)?T?xj=(βi′jG?i′)?T?xj=g?j?T?xj\bigtriangledown\bold T =\vec{\mathscr{G}}^{i'}\dfrac{\partial\bold T}{\partial\mathscr{X}^{i'}} =\vec{\mathscr{G}}^{i'}\left(\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j}\frac{{\partial x^j}}{\partial\mathscr{X}^{i'}}\right) =\left(\frac{{\partial x^j}}{\partial\mathscr{X}^{i'}}\vec{\mathscr{G}}^{i'}\right)\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j} =(\beta^{j}_{i'}\vec{\mathscr{G}}^{i'})\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j} =\vec{g}^j\dfrac{\partial\bold T}{\partial x^j}$

2. 散度

對于 $r(r≥1)r(r\ge 1)$ 階張量場 $T\bold T$ ，定義：
$左散度：▽?T?g?i??T?xi?divT右散度：T?▽??T?xi?g?i左散度：\bigtriangledown\cdot\bold{T}\triangleq\vec{g}^i\cdot\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\triangleq div\bold T\\\ \\ 右散度：\bold{T}\cdot\bigtriangledown\triangleq\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\cdot\vec{g}^i$
顯然，一般
$▽?T≠T?▽\bigtriangledown\cdot\bold{T}\ne\bold{T}\cdot\bigtriangledown$
舉例：

向量場的散度：
$▽?v?=v??▽=v;ii=v,ii+vjΓiji=v,ii+1g?g?xjvj=1g?(gvj)?xj\bigtriangledown\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\bigtriangledown=v^i_{;i} =v^i_{,i}+v^j\Gamma_{ij}^{i} =v^i_{,i}+\dfrac{1}{\sqrt{g}}\dfrac{\partial\sqrt{g}}{\partial x^j}v^j =\dfrac{1}{\sqrt{g}}\dfrac{\partial(\sqrt{g}v^j)}{\partial x^j}$
二階張量場的散度：
$▽?A=A;iijg?j=A?ji∣;ig?jA?▽=A;jijg?i=Ai?j∣;jg?i\bigtriangledown\cdot\bold{A}=A^{ij}_{;i}\vec{g}_j=A_{\bullet j}^{i}|_{;i}\vec{g}^{j}\\\ \\ \bold{A}\cdot\bigtriangledown=A^{ij}_{;j}\vec{g}_i=A^{\bullet j}_{i}|_{;j}\vec{g}^{i}$
通過上式可知：對稱二階張量的左右散度相等。
三階張量場的散度：
$▽?T=A;iijkg?jg?kA?▽=A;jikjg?ig?k\bigtriangledown\cdot\bold{T}=A^{ijk}_{;i}\vec{g}_j\vec{g}_k\\\ \\ \bold{A}\cdot\bigtriangledown=A^{ikj}_{;j}\vec{g}_i\vec{g}_k$

書寫規則:

由于梯度點乘時總是自帶逆變基，因此為方便點積，將張量分量靠近Nabla 算子的指標取為逆變指標，從而省去度量張量的分量；
張量分量靠近Nabla 算子的指標與協變導數的坐標指標相同，其余指標與基向量的指標形成啞指標。

3. 旋度

對于 $r(r≥1)r(r\ge 1)$ 階張量場 $T\bold T$ ，定義：
$左散度：▽×T?g?i×?T?xi?curlT=?:(▽T)右散度：T×▽??T?xi×g?i=(T▽):?左散度：\bigtriangledown\times\bold{T}\triangleq\vec{g}^i\times\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\triangleq curl\bold T=\epsilon:(\bigtriangledown\bold{T})\\\ \\ 右散度：\bold{T}\times\bigtriangledown\triangleq\frac{\partial \bold T}{\partial x^i}\times\vec{g}^i=(\bold{T}\bigtriangledown):\epsilon$
顯然，一般
$▽×T≠T×▽\bigtriangledown\times\bold{T}\ne\bold{T}\times\bigtriangledown$
舉例：矢量場的旋度
$▽×v?=vj;i?ijkg?k=(vj,i?vmΓjim)?ijkg?k=vj,i?ijkg?k=1g∣g?1g?2g?3??x1??x2??x3v1v2v3∣v?×▽=vj;i?jikg?k=?▽×v?\bigtriangledown\times\vec{v}=v_{j;i}\epsilon^{ijk}\vec{g}_k =(v_{j,i}-v_m\Gamma^m_{ji})\epsilon^{ijk}\vec{g}_k =v_{j,i}\epsilon^{ijk}\vec{g}_k =\frac{1}{\sqrt{g}}\begin{vmatrix} \vec{g}_1 & \vec{g}_2 & \vec{g}_3 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial x^1} & \dfrac{\partial}{\partial x^2} & \dfrac{\partial}{\partial x^3} \\\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\\\ \\ \vec{v}\times\bigtriangledown=v_{j;i}\epsilon^{jik}\vec{g}_k=-\bigtriangledown\times\vec{v}$

書寫規則:

由于梯度點乘時總是自帶逆變基，為方便叉積，將張量分量靠近Nabla 算子的指標取為協變指標，從而省去度量張量的分量；
旋度的分量由協變導數與置換張量的逆變分量組成。

命題 給定向量場 $v?\vec{v}$ ，則反對稱張量場
$12(v?▽?▽v?)，12(?v?▽+▽v?)\dfrac{1}{2}(\vec{v}\bigtriangledown-\bigtriangledown\vec{v})，\dfrac{1}{2}(-\vec{v}\bigtriangledown+\bigtriangledown\vec{v})$
的對偶矢量分別為:
$ω?1=12(▽×v?)，ω?2=12(v?×▽)\vec{\omega}_1=\dfrac{1}{2}(\bigtriangledown\times\vec{v})，\vec{\omega}_2=\dfrac{1}{2}(\vec{v}\times\bigtriangledown)$

證明如下：
$ω?=?14?:(v?▽?▽v?)=?14(v?×▽?▽×v?)=12▽×v?\begin{aligned} &\vec{\omega}=-\dfrac{1}{4}\epsilon:(\vec{v}\bigtriangledown-\bigtriangledown\vec{v})\\\\ &\ \ =-\dfrac{1}{4}(\vec{v}\times\bigtriangledown-\bigtriangledown\times\vec{v})\\\\ &\ \ =\dfrac{1}{2}\bigtriangledown\times\vec{v} \end{aligned}$

4. Laplace 算子

定義 $r(r≥1)r(r\ge 1)$ 階張量場 $T\bold T$ 的Laplace 算子：
$▽2T=▽?(▽T)=div(gradT)\bigtriangledown^2\bold T=\bigtriangledown\cdot(\bigtriangledown \bold T)=div(grad\bold T)$
若 $▽2T=0\bigtriangledown^2\bold T=0$ 則稱 $T\bold T$ 是調和的。

舉例：標量場的Laplace 算子
$▽2?=▽?(▽?)=▽?(?,ig?i)=gij(?,i);j=gij(?,ij+?,mΓijm)=(gij?,i);j=(gij?,i),j+gim?,iΓmjj=(gim?,i),m+gim?,i1g?g?xm=1g?(ggim?,i)?xm\begin{aligned} &\bigtriangledown^2\phi=\bigtriangledown\cdot(\bigtriangledown\phi)=\bigtriangledown\cdot(\phi_{,i}\vec{g}^i)\\\\ &\quad\quad\ =g^{ij}(\phi_{,i})_{;j}=g^{ij}(\phi_{,ij}+\phi_{,m}\Gamma^m_{ij})\\\\ &\quad\quad\ =(g^{ij}\phi_{,i})_{;j}=(g^{ij}\phi_{,i})_{,j}+g^{im}\phi_{,i}\Gamma^j_{mj}\\\\ &\quad\quad\ =(g^{im}\phi_{,i})_{,m}+g^{im}\phi_{,i}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial \sqrt{g}}{\partial x^m}=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial (\sqrt{g}g^{im}\phi_{,i})}{\partial x^m} \end{aligned}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（二十三）张量场函数的散度与旋度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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