歡迎大家來(lái)到這一期張量分析的相關(guān)博客學(xué)習(xí)，本期繼續(xù)接著上期博客后面深入理解張量的縮并，內(nèi)積，雙點(diǎn)積等等，先贊后看，養(yǎng)成習(xí)慣！

Tensors learning

• 一 . 張量的縮并
• 二 . 張量的內(nèi)積 雙點(diǎn)積
• • （1）內(nèi)積與點(diǎn)積
  • （2）雙點(diǎn)積
• 三 .特殊張量
• 四. 張量的主軸 主值和主分量

一 . 張量的縮并

這又是張量所特有的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，對(duì) $n$ 階張量進(jìn)行縮并，其實(shí)就是對(duì)其中兩兩相同的指標(biāo)按求和約定求和（不知道大家是否還記得愛(ài)因斯坦求和指標(biāo)）.

我們先來(lái)看一看定義：

二階張量縮并是標(biāo)量。注意低于二階的張量不能進(jìn)行縮并過(guò)程！
三階三維 $I_{ijk}$ 的縮并，將第一指標(biāo)與第三指標(biāo)縮并。即$i=k$，如上圖所示，三階變成了一階！

結(jié)合我們之前學(xué)的愛(ài)因斯坦求和約定，從某種意義上來(lái)說(shuō)，新張量每縮并一次就有兩個(gè)基矢量參與，而階數(shù)要降兩階的原因是兩個(gè)自由指標(biāo)化為一對(duì)啞指標(biāo)！
這里有一張圖片希望對(duì)大家的理解有幫助：

圖片對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)比那些冗雜的數(shù)學(xué)公式更友好o(′^｀)o~~ ，其實(shí)，矩陣的相乘也就是一個(gè)縮并的過(guò)程，具體到后面再介紹！

還有一點(diǎn)需要注意的就是：若在張量中取不同基矢量的積，那么縮并產(chǎn)生的結(jié)果是不同的！

因此 $\mathbf{R}=\mathbf{S}$，我們?cè)谶@里只是大概的理解一下張量的這些概念，主流認(rèn)識(shí)，真正張量分析的純數(shù)學(xué)運(yùn)算和完整的證明 需要了解協(xié)變基矢量，逆變基矢量，對(duì)偶空間，指標(biāo)的升降等等，如果想做純數(shù)學(xué)推導(dǎo)的同學(xué)給大家一個(gè)傳送門(mén)，這是一個(gè)系列，包含各種完整的證明推導(dǎo)！

二 . 張量的內(nèi)積 雙點(diǎn)積

（1）內(nèi)積與點(diǎn)積

張量的內(nèi)積：兩個(gè)張量$\mathbf{T},\mathbf{S}$ 先并乘后縮并的運(yùn)算叫做張量的內(nèi)積（和下面的點(diǎn)積要分開(kāi)）, 和縮并一樣，對(duì)于內(nèi)積運(yùn)算應(yīng)說(shuō)明將張量$\mathbf{T}$ 的哪一個(gè)基矢量與張量 $\mathbf{S}$ 中的哪一個(gè)基矢量相點(diǎn)積!

若兩個(gè)張量點(diǎn)積后得到一個(gè)新的張量 $\mathbf{U}$，且$\mathbf{T}$ 是 $m$ 階張量，$\mathbf{S}$ 是 $n$ 階張量 ，那么 $\mathbf{U}$的階數(shù)是 $m+n?2$.

還記得我們?cè)诰€代中學(xué)過(guò)的內(nèi)積是個(gè)確定的值，那是因?yàn)楫?dāng)時(shí)的矢量是一階張量，1+1-2=0 , 恰好為標(biāo)量~~

for example：$\mathbf{A}=A_{ijk}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j{\mathbf{e}}_k，\mathbf{B}=B_{lm}{\mathbf{e}}_l{\mathbf{e}}_m$，則二者內(nèi)積為：

同樣，基于縮并，選擇不同的基矢量進(jìn)行點(diǎn)積得到的張量的點(diǎn)積結(jié)果是不同的！

那么什么是點(diǎn)積呢，其實(shí)二者也可以算是一種包含關(guān)系吧，其定義為前張量$\mathbf{A}$ 的最后基矢量與后張量 $\mathbf{B}$ 的第一基矢量縮并的結(jié)果：

一定要注意這兩個(gè)“積”的區(qū)別，不單基矢縮并的位置不同 ，最后的結(jié)果也是不同的（過(guò)程決定結(jié)果）！

（2）雙點(diǎn)積

剛才理解過(guò)張量的點(diǎn)積，那么什么是雙點(diǎn)積，這個(gè)“雙”字體現(xiàn)在哪里呢？

其實(shí)，張量的雙點(diǎn)積就是 $\mathbf{T},\mathbf{S}$ 并乘后進(jìn)行兩次縮并，它有兩種表達(dá)形式：

并聯(lián)式：
串聯(lián)式：
這個(gè)二者的區(qū)別我們從公式中的彩色下標(biāo)也能 清晰的看到。
那么二者是否能相互轉(zhuǎn)化，什么特殊的地方？我們用二階張量矩陣來(lái)幫助大家理解一下：

還有一個(gè)性質(zhì)就是：二階張量的跡等于該矩陣與單位矩陣 $I$ 進(jìn)行雙點(diǎn)積之后得到結(jié)果：
$$\mathrm{tr}\mathbf{S}=\mathbf{S}:\mathbf{I}=\mathbf{S}??\mathbf{I}$$

三 .特殊張量

下面我們介紹幾種特殊的張量，說(shuō)是特殊，其實(shí)類(lèi)比到線代學(xué)習(xí)中的矩陣是非常好理解的！

（1）零張量：

張量中的每個(gè)元素都為0，即 $T_{ij}=0,T_{ij}^{\prime }=0$。

（1）單位張量：

可以類(lèi)比到單位矩陣：$\mathbf{I}={\delta }_{ij}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j={\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2{\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_3{\mathbf{e}}_3$

并且 $I_{ij}={\delta }_{ij}{I}_{ij}^{\prime }={\delta }_{ij}$，所以單位張量和任意張量的點(diǎn)積就是其本身！

（2）轉(zhuǎn)置張量：
對(duì)于二階張量矩陣來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)置只需要將分量指標(biāo)交換一下，基矢量順序保持不變即可：

高階張量理論上來(lái)說(shuō)也是可以進(jìn)行 轉(zhuǎn)置 操作的，可能會(huì)有點(diǎn)麻煩，但是圖是最好的語(yǔ)言：

隨著維數(shù)的增加，轉(zhuǎn)置的結(jié)果肯定也是不止一種，上圖是三維張量的轉(zhuǎn)置結(jié)果，通常情況下，我們應(yīng)當(dāng)是不需要求高階張量轉(zhuǎn)置結(jié)果的，因?yàn)榉纸庵蟾谖覀冊(cè)敿?xì)的分析！

（3）對(duì)稱與反對(duì)稱張量：

這個(gè)就更簡(jiǎn)單了，從對(duì)稱矩陣的角度來(lái)看，根據(jù)$\mathcal{X}\in {\mathbb{R}}^{I_1\times I_2?I_n}$中$I_1=I_2=?=I_n$ 為界分為兩部分，若這兩部分中的元素相等，關(guān)于這一界限對(duì)稱，就稱為對(duì)稱張量，如果對(duì)稱的兩部分元素相反，那么就稱其為：反對(duì)稱張量。

還要注意反對(duì)稱張量主對(duì)角線上元素都為0；

四. 張量的主軸 主值和主分量

有一個(gè)二階張量 $\mathbf{T}$ 與一個(gè)矢量$\mathbf{b}$ 點(diǎn)積之后得到一個(gè)新矢量${\mathbf{b}}^{\prime }$ ，假設(shè)它是由原矢量 $\mathbf{b}$ 進(jìn)行放大（或縮小）并進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到的，那么問(wèn)題就來(lái)了，對(duì)于某個(gè)已經(jīng)給定的 $\mathbf{T}$ ，是否能找到某個(gè)方向上的矢量 $\mathbf{b}$ ，使得 $\mathbf{T}$ 經(jīng)過(guò)點(diǎn)乘運(yùn)算后得到的新矢量 ${\mathbf{b}}^{\prime }$ 與 $\mathbf{b}$ 同向，大小可以變化，即：
$${\mathbf{b}}^{\prime }=\mathbf{T}?\mathbf{b}=\lambda \mathbf{b}$$

到這里，有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)突然在我腦海中蹦了出來(lái)，第一個(gè)就是旋轉(zhuǎn)矩陣，那是一個(gè)遙遠(yuǎn)的的夢(mèng)，但我依稀記得那是我們?cè)趯W(xué)量子力學(xué)時(shí) 遇到的，給大家個(gè)傳送門(mén)，開(kāi)頭就是！除此之外第二個(gè)，上面這個(gè)式子是不是有那么一絲熟悉，是不是和我們線代中最重要的包含特征值與特征向量的特征方程有那么一點(diǎn)點(diǎn)神似啊！世界上最悲哀的事就是，夢(mèng)想在眼前，可惜你卻不認(rèn)識(shí)她！

線性代數(shù)是我見(jiàn)過(guò)最美的數(shù)學(xué)，沒(méi)有之一，不接受反駁 (︶.?︶?) ！

那么這個(gè)符合要求的矢量 $\mathbf{b}$ 的方向稱為張量 $\mathbf{A}$ 的主軸（或主方向），$\lambda$ 稱為其主值（主分量）！馬上就解它！

下面我們來(lái)解一下，簡(jiǎn)單處理后得到：$\left(T_{ij}?\lambda {\delta }_{ij}\right)b_j=0(i=1,2,3)$

其實(shí)這就是解齊次線性方程組（不贅述了），計(jì)算整理之后得到：
$${\lambda }^3?I_1{\lambda }^2+I_2\lambda ?I_3=0$$
其中：
$I_1=T_{11}+T_{22}+T_{33}=T_{ii}$ （跡）

$I_2=\left|\begin{array}{ll}{T}_{22}& T_{23}\\ T_{32}& T_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}{T}_{11}& T_{13}\\ T_{31}& T_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}{T}_{11}& T_{12}\\ T_{21}& T_{22}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left(T_{ii}{T}_{jj}?T_{ij}{T}_{ji}\right)$ （二階主子式之和）

$I_3=\left|\begin{array}{lll}{T}_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33}\end{array}\right|=e_{ijk}{T}_{1i}{T}_{2j}{T}_{3k}$ （行列式本身）

將這三者代回上述式子中得到三個(gè) $\lambda$ 的值就成為 張量 $\mathbf{T}$ 的主分量！

回過(guò)頭來(lái)，有幾點(diǎn)結(jié)論需要混個(gè)眼熟：

本等式的成立不受坐標(biāo)系的影響。

若主分量值${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 互不相同，則${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3$ 相互正交！

如果$\lambda$ 解出來(lái)是二重根，例如${\lambda }_1={\lambda }_2$，則垂直于 ${\mathbf{b}}_3$ 的任何方向都可以是 主方向 。

如果三個(gè)根都重了，那么任何方向都可作為主方向，我們從 $\mathbf{b}$ 三者中隨機(jī)選一個(gè)就行了！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的张量基础学习（四 张量代数运算——下）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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