第一章 建立數(shù)學(xué)模型

? 本章作為全書(shū)的導(dǎo)言和數(shù)學(xué)模型的概述，主要討論建立數(shù)學(xué)模型的意義、方法和步驟，給讀者以建立數(shù)學(xué)模型的全面的、初步的了解。

1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型

? 原型：指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。

? 模型：指為了某個(gè)特定的目的而將原型的某一部分信息簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)造的原型替代物。

? 數(shù)學(xué)模型：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)?strong>數(shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

1.2 數(shù)學(xué)建模的重要運(yùn)用

? （1）分析與設(shè)計(jì)：例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化；建立跨音速流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型；

? （2）預(yù)報(bào)與決策：生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)、人口預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)報(bào)等；使經(jīng)濟(jì)效益最大的價(jià)格策略、使費(fèi)用最少的設(shè)備維修方案；

? （3）控制與優(yōu)化：電力、化工生產(chǎn)過(guò)程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化；

? （4）規(guī)劃與管理：生產(chǎn)計(jì)劃、資源配置、運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度，以及排隊(duì)策略、物流管理等。

1.3 建模示例一：包餃子中的數(shù)學(xué)

? 【問(wèn)題】假設(shè)1kg面和1kg餡可以包出100個(gè)中等大小的餃子，若某一天餡做多了而面沒(méi)有變，為了把餡全部包完，請(qǐng)問(wèn)：

? （1）應(yīng)該讓每個(gè)餃子小一些，多包幾個(gè)，還是每個(gè)餃子大一些，少包幾個(gè)？

? （2）如果要包大餃子，那么如果100個(gè)餃子可以包1kg餡，請(qǐng)問(wèn)50個(gè)餃子可以包多重的餡？

? 【問(wèn)題分析】直覺(jué)上我們會(huì)認(rèn)為”大餃子包的餡多“，所以應(yīng)該包大餃子。但是大餃子雖然包的餡多，但用的面皮也多，這就需要比較餡多和面多二者之間的數(shù)量關(guān)系。

? 首先，我們要把包餃子用的餡和面皮與數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來(lái)，那就是物體的體積和表面積。假設(shè)大餃子的體積為V，表面積為S，小餃子的體積為v，表面積為s，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如果一個(gè)大餃子的面皮可以做成n個(gè)小餃子的面皮，那么V和nv哪個(gè)更大？大多少？

? 【模型假設(shè)】進(jìn)行比較的前提就是所有餃子的面皮一樣厚。在這個(gè)條件下，大餃子和小餃子的面皮面積滿足
$$S=nS①$$
? 為了比較不同大小餃子餡的體積，我們還需要假設(shè)所有餃子的形狀一樣。

? 【模型建立】能夠把體積和表面積聯(lián)系起來(lái)的就是半徑。雖然餃子并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的幾何物體，但是我們可以引入所謂“特征半徑”R和r，使得
$$V=k_1{R}^3,S=k_2{R}^2②$$

$$v=k_1{r}^3,s=k_2{r}^2③$$

成立。注意：在所有餃子形狀一樣的情況下，上述式子的比例系數(shù)k₁相同、k₂也相同。

? 對(duì)于②和③，消去R和r，可得
$$V=k{S}^{\frac{3}{2}},v=k{s}^{\frac{3}{2}}④$$
? 其中k由k₁和k₂所決定，且兩個(gè)k相同。現(xiàn)在我們聯(lián)立①~④，可以求得
$$V=n^{\frac{3}{2}}v=\sqrt{n}(nv)⑤$$
? 上述第⑤式為包餃子問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

? 【結(jié)果解釋】模型⑤不僅定性說(shuō)明了V比nv大（n>1），大餃子比小餃子包的餡更多，而且給出了定量結(jié)果。對(duì)于問(wèn)題（2），可以算出包50個(gè)餃子時(shí)所用的餡的重量為
$$m=\sqrt{\frac{100}{50}}=\sqrt{2}(kg)$$
? 即50個(gè)餃子可以包√2kg（約為1.41kg）的餡。

1.4 建模示例二：路障間距的設(shè)計(jì)

? 【問(wèn)題】在需要減速慢行的機(jī)動(dòng)車道路中間，常常設(shè)置用于限制汽車速度的路障。路障之間相距太遠(yuǎn)，起不到限制車速的作用，相距太近又會(huì)引起行車的不變，所以應(yīng)該有一個(gè)合適的間距。請(qǐng)問(wèn)：如果要求限制車速不超過(guò)40km/h，路障的間距應(yīng)該是多少？

? 【問(wèn)題分析】我們可以設(shè)想，汽車通過(guò)路障后，司機(jī)就會(huì)加速，到40km/h時(shí)讓司機(jī)因?yàn)榍懊嬗幸粋€(gè)路障而減速，直至路障處車速接近于零。

? 按照這種分析，如果認(rèn)為汽車在相鄰兩個(gè)路障之間一直做勻加速/勻減速運(yùn)動(dòng)，則只需要知道汽車的加速度，就可以算出兩個(gè)相鄰路障之間應(yīng)有的間距。

? 【收集數(shù)據(jù)】現(xiàn)在我們需要知道汽車的加速度是多少。盡管我們可以直接查詢資料，但是我們通常查到的都是最大加速度，不適用于我們建模的問(wèn)題。因此，一個(gè)簡(jiǎn)單的方法就是請(qǐng)一個(gè)（甚至若干個(gè)）普通司機(jī)在與欲設(shè)計(jì)路障的環(huán)境相似的道路上模擬有路障的情況作為模擬，通過(guò)記錄行駛中的車速和對(duì)應(yīng)的時(shí)間來(lái)求出加速度。

? 現(xiàn)假設(shè)我們已經(jīng)得到了兩個(gè)表格，分別為加速行駛的測(cè)試數(shù)據(jù)與減速行駛的測(cè)試數(shù)據(jù)：

表1 加速行駛的測(cè)試數(shù)據(jù) 速度(km·h^-1)010203040

時(shí)間(s)	0	1.6	3.0	4.2	5.0

表2 減速行駛的測(cè)試數(shù)據(jù) 速度(km·h^-1)403020100

時(shí)間(s)	0	2.2	4.0	5.5	6.8

? 【模型假設(shè)】①我們假設(shè)汽車通過(guò)每個(gè)路障時(shí)速度均為零；

? ②我們假設(shè)汽車加速時(shí)一定做勻加速運(yùn)動(dòng)，汽車減速時(shí)一定做勻減速運(yùn)動(dòng)，汽車不做勻速運(yùn)動(dòng)。

? 【模型建立】記汽車加速行駛的舉例為s₁，時(shí)間為t₁，加速時(shí)的加速度為a₁，減速行駛的舉例為s₂，減速時(shí)的加速度為a₂，限速為v_max，則根據(jù)物理定律，可知
$$s_1=\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2,s_2=\frac{1}{2}{a}_2{t}_2^2①$$

$$v_{max}=a_1{t}_1,v_{max}=a_2{t}_2②$$

$$s=s_1+s_2③$$

? 聯(lián)立①~③，消去t₁t₂可得
$$s=\frac{v_{max}^2}{2}(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2})④$$
? 該式子為路障間距設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于某個(gè)給定限速v_max的問(wèn)題，我們可以由測(cè)試數(shù)據(jù)估計(jì)出兩個(gè)加速度a₁和a₂后，即可計(jì)算出路障間距s。

? 【模型計(jì)算】以速度v為橫坐標(biāo)、時(shí)間t為縱坐標(biāo)，將表1、表2的數(shù)據(jù)分別用MATLAB做成散點(diǎn)圖，并用最小二乘法求出回歸曲線：

%表1 clear X=[0,2.7,5.5,8.3,11.1]; %把速度單位換算成了m/s Y=[0,1.6,3.0,4.2,5.0]; coefficient=polyfit(X,Y,1); y1=polyval(coefficient,X); plot(X,Y,'o',X,y1,'-') %表2 clear X=[11.1,8.3,5.5,2.7,0]; %把速度單位換算成了m/s Y=[0,2.2,4.0,5.5,6.8]; coefficient=polyfit(X,Y,1); y1=polyval(coefficient,X); plot(X,Y,'o',X,y1,'-')

? 則求出的散點(diǎn)圖和回歸曲線折線圖如下圖所示。

? 由MATLAB的運(yùn)行結(jié)果，可以求出coefficient分別為[0.4529,0.26]和[-0.6082,7.0575]，即兩個(gè)回歸方程分別為
$$v_1=0.4529t+0.26$$

$$v_2=?0.6082t+7.0575$$

? 即
$$a_1=0.4529m/s^2,a_2=?0.6082m/s^2$$
? 帶入④式，可知
$$s=\frac{(40÷3.6{)}^2}{2}(0.4529+0.6082)=65.37m$$

1.5 數(shù)學(xué)建模的一般步驟

? ①模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，搜集必要的信息，盡量弄清對(duì)象的主要特征，形成一個(gè)比較清晰地問(wèn)題，由此初步確定要使用哪一類模型。

? ②模型假設(shè)：根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，抓住問(wèn)題本質(zhì)，選擇性地忽略次要因素，作出必要的、合理的假設(shè)。

? ③模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)來(lái)描述對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，建立包含常量、變量等數(shù)學(xué)模型。需要遵循的一個(gè)原則是：盡量使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具。

? ④模型求解：可以通過(guò)解方程、畫(huà)圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析等各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)求解。

? ⑤模型分析：如誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的靈敏性分析愛(ài)、對(duì)假設(shè)的強(qiáng)健性分析等。

? ⑥模型檢驗(yàn)：把求解和分析的結(jié)果翻譯回實(shí)際問(wèn)題，對(duì)比結(jié)果與實(shí)際情況是否合理、是否適用。
④模型求解：可以通過(guò)解方程、畫(huà)圖形、優(yōu)化方法、數(shù)值計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析等各種數(shù)學(xué)方法，特別是數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)求解。

? ⑤模型分析：如誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的靈敏性分析愛(ài)、對(duì)假設(shè)的強(qiáng)健性分析等。

? ⑥模型檢驗(yàn)：把求解和分析的結(jié)果翻譯回實(shí)際問(wèn)題，對(duì)比結(jié)果與實(shí)際情況是否合理、是否適用。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第一章 建立数学模型的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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