1 研究數學方法論的意義和目的 ? 什么叫方法論？方法論（methodology）就是把某種共同的發展規律和研究方法作為討論對象的一門學問。英文methodology一詞又譯為方法學。如所知，各門科學都有方法論，數學當然也有它自己的方法論。 數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則的一門學問。 數學是一門工具性很強的科學，它和別的科學比較起來還具有較高的抽象性等特征，為了有效地發展它、改進它、應用它或者把它很好地傳授給學生們，就需要對這門科學的發展規律、研究方法、發現與發明等法則有所掌握。因此，數學研究工作者、數學教師、科技工作者，以及高年級大學生、研究生等都需要知道一些數學方法論。（確實，對于搞數學研究的人，掌握一定的方法論對于自己的研究也是大有好處的。只有更好地理解了數學，才能更深入地去研究數學。數學的發展不僅需要匠人，而是更需要大師。） 由于數學領域里的許多概念與理論題材都是通過人腦的抽象思維形式表現出來的，這里不僅包含有思維對象（數學本體）的辯證法，而且還有著思維運動過程（認識與反映過程）的辯證法。所以數學方法論還給哲學家、自然辯證法研究工作者以及心理學家們提供了值得分析研究的素材。凡是看過恩格斯《自然辯證法》的讀者都知道，即使在初等數學里也充滿著辯證法。（數學的思維方式有時也可以推廣到別的領域喲） 我們又知道，數學方法論中的許多方法和原理是數學發展史中總結歸納出來的，所以數學工作者還必須學習一點數學史。（數學史滿有意思的，可以理順數學的脈絡，并且也具有現實意義） 從近代數學發展史中，我們看到有許多杰出的數學家曾圍繞著數學基礎問題展開了一系列爭論，以致形成了各個著名的流派，如邏輯主義派、直覺主義派、形式主義派與柏拉圖主義派等。直到現今，這些流派的觀點主張對數學體系的內在發展，還繼續產生著不同程度的影響。（對數學基礎的討論在數學界雖然沒有形成完全一致的看法，但并不影響數學的使用，尤其隨著計算機的出現，對數學的使用大大地擴展了。可以看看《數學:確定性的喪失》一書（[美]M.克來因著,李宏魁譯），我想它會給出一些答案。具體見 http://blog.csdn.net/mathsoperator/category/191770.aspx） 各個數學流派對待數學基礎問題的研究，各有其方法論主張。事實上，他們各有所偏，各有所見。只有運用科學的反映論觀點，才能從他們的觀點主張中分析總結出較為正確的數學方法論觀點（關鍵是目前也沒有見到“用科學的反映論觀點分析總結出較為正確的數學方法論觀點”的書喲，更不用談形成一個數學流派了。所以類似的話還是不說為好呀，多做實際工作咯。）。因此，對于今日的數學工作者說來，無論是為了掌握、運用于或者去發展數學方法論，都必須自覺地采取科學的反映論觀點（即辯證法的反映論觀點）去考察問題和分析問題。（說教咯，大家已經受到很大影響啦） 2 宏觀的方法論與微觀的方法論 ? 數學科學的發展規律可以從數學發展史的豐富材料中歸納分析出來。由于數學史是人類社會科學技術發展史的一個組成部分，數學發展的巨大動力源泉與社會生產實踐及技術發展的客觀要求緊密相連，因此，數學發展規律的研究，如果撇開數學內在因素不提，那是屬于宏觀的數學方法論范疇。 數學工作者研究數學課題時，也可以不考慮數學發展的外在推動力，專就數學內部體系結構中的特定問題來進行分析研究，這樣，就需要考慮采取最有效的數學研究方法，需要懂得數學發現與數學創造等各種法則。這些屬于研究工作者個人必須遵循的方法與法則的研究，可以稱之為微觀的數學方法論。 看來，歷史上最卓越的數學家如牛頓、歐拉、高斯、傅立葉、拉普拉斯等人，既精通微觀的數學方法論，也懂得宏觀的數學方法論。否則，他們的成就與貢獻不可能對社會生產技術的發展產生那樣深遠的影響。一般說來，凡是具有歷史眼光的數學家，他們的貢獻成果，往往起著承上啟下的作用，因而總是帶有經久不滅的光輝。怎樣才能獲得“歷史眼光”呢？這就需要通過數學史的研究去理解一些宏觀數學方法論的基本知識。 這里值得介紹的是，美國數學教授M.Kline曾在1972年出版了一本厚達1200頁的巨著—《古今數學思想》，系統地敘述和總結了古今數學思想發展史。該書包藏大量的題材，可作為我們研究數學方法論的一本寶貴的參考資料。還有E.T.Bell的一本名著《數學人物》（1937年版，1965年重版），其中翔實地記錄了古今30位杰出數學家的生活經歷與工作歷史，也很有參考價值。 數學家成長規律的一般分析，顯然也應屬于宏觀的方法論；但本書只著重討論微觀的數學方法論，所以僅借用希爾伯特成功的典型范例來描繪一下關于數學人才成長的社會因素的作用。 ? 3 略論希爾伯特成功的社會因素 分析一位杰出數學家成功的社會因素，對于正在成長著的青年數學工作者和從事數學教育的數學教師們說來，都會得到有益的啟發。這種分析至少對消除“天才自成”的糊涂思想，會起到一定的作用。 我們選擇希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）這個例子。因為這位數學家的成長、發展和獲得巨大成功的經歷已經成為現代人才學上的一個典型例子。 按照歷史唯物主義的觀點來看，“天才人物”都是社會的產物。他們只有適應時代的要求，回答和解決歷史進程中出現的重大問題，才能取得成功。分析任何一個天才人物成功的因素時，應當像恩格斯那樣，不能離開當時社會歷史條件和文化發展條件以及反映這些條件的時代要求。所以對希爾伯特的分析，也應遵循這樣的原則。本節內容主要取材于《大連工學院自然辯證法通訊》上劉永振先生的一篇文章，該文顯然是參考了希爾伯特傳記寫成的。 希爾伯特出身于東普魯士的古都哥尼斯堡（現名加里寧格勒）。中、青年時代，他曾對代數不變式、代數數論、幾何基礎等科目作出了重要貢獻。中年以后，他發展了變分法、積分方程、函數空間理論、數學物理方法、數理邏輯及證明論等數學分支。1899年出版的一本名著《幾何學基礎》，成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數學公理化學派”。所以，希爾伯特是近代形式公理學派的創始人。1900年，年屆38歲，他在國際數學會議上以卓越的遠見和洞察力提出了數學上未解決的23個難題，即有名的“希爾伯特問題”，推動了半個多世紀以來各個數學分支的發展。 我們知道，19世紀70年代初，德國實現了統一，經濟空前高漲，成為世界科學活動的主要中心，這是產生一大批德國數學家的主要社會原因。高水平的一群人才中，必有出類拔萃者。希爾伯特生逢盛世，成為出類拔萃者，這是歷史的必然。下面再略作具體分析： （一）文化傳統的影響?希爾伯特故鄉的哥尼斯堡建基于13世紀，后來成為東普魯士首都，那是一個著名的大學城。它位于布勒爾河兩條支流之間，那里有橋連著一個島和一個半島，而數學史上那個著名的為歐拉解決的自然環境和文化傳統對于希爾伯特的成長來說是得天獨厚的。 （二）家庭環境的影響?希爾伯特的父親是一位普通的法官，母親出生于普通商人家庭，但她愛好哲學、天文學和數學，特別對素數懷有濃厚的興趣。這就影響了希爾伯特從小愛好數學。母親每年在4月22日康德誕辰這一天，她總是帶著小希爾伯特到康德墓地瞻仰康德的半身像，并且一字一句地拼讀墻上刻著的康德的格言。這些對于希爾伯特從小愛科學，長大攀高峰，無疑會帶來潛移默化的精神影響。 （三）社會輿論的影響?希爾伯特上小學二年級的時候，明可夫斯基一家從俄羅斯搬到了哥尼斯堡。明可夫斯基一家三兄弟當時稱為三個“奇才”，以才能出眾、性格迷人轟動了哥尼斯堡。特別是小神童明可夫斯基（Herman Minkowski 1864-1909）比希爾伯特小兩歲，他的數學才能顯著超過希爾伯特。他后來也成為大數學家，是數的幾何（Geometry of Numbers）這一數論分支的創始人。 當時兩家只有一河之隔。小明可夫斯基的數學才能出眾對小希爾伯特不能不產生一種心理上的壓力。確實，據希爾伯特后來的回憶錄來看，他承認自己小時候并非天才，而是一個較愚鈍的孩子，當然數學才能遠遠在明可夫斯基之下。在希爾伯特的親友中，也沒有人提到過希爾伯特的能力曾受到過人們的注意。但是人們對明可夫斯基一家三兄弟的贊賞卻激勵了小希爾伯特。特別是小神童明可夫斯基的數學天才像魔力一樣征服了希爾伯特的心靈。 明可夫斯基剛滿17歲時就解決了“將正整數表成五個平方數和”的難題，同英國老數學家Henry Smith合得了法國巴黎科學院數學大獎，因而更加出名。當時希爾伯特的父親還告誡希爾伯特，說不要同那樣出名的人交朋友（以免被別人瞧不起）。可是希爾伯特不顧父親的反對，毅然同明可夫斯基結成了終身最要好的朋友。 盡管希爾伯特和明可夫斯基在早年智力上有明顯的差距，然而通過不斷努力，希爾伯特后來不僅成為與明可夫斯基相提并論的大數學家，而且對整個數學的貢獻還遠遠超過了明可夫斯基。這說明一個人的先天素質（所謂“天資”或“秉賦”）并不是決定成就大小的主要因素。先天素質的不足，可以在后天的實踐中加以補償。 （四）學校教育的影響?希爾伯特童年時代上的德國小學校，特別注意基礎教育，非常強調語文、語法、算術等科目的基本訓練（尤其是語法一科，注重訓練學生有條不紊地思維以及正確的表述思想的方式和方法）。希爾伯特進的中學和大學都充滿自由學習的空氣，這使他如魚得水。 希爾伯特的青年時代是在哥尼斯堡大學度過的，那里有著濃厚的學術研究空氣。著名的數學家Jacobi，Weierstrass，Weber，Lindemann等都在那里任教過，使該大學曾形成一個數學的研究中心。Lindemann曾以首先證明圓周率Pi為超越數而享有盛譽，他就是當年希爾伯特的學術導師。希爾伯特的學術論文原想研究“連分數的一種推廣”。但經Lindemann指出，方知“那早已由Jacobi做出了”。在Lindemann的引導下，希爾伯特改搞“代數不變式理論”，結果大為成功。Lindemann對他的畢業論文極感滿意。明可夫斯基在寫給希爾伯特的信中也贊賞說：“這樣精彩的數學定理會出現在哥尼斯堡真是值得慶賀……”。可見，獲得第一流的教師指導引路，也是希爾伯特成功的因素之一。 哥尼斯堡大學曾講授一些最新穎的數學科目，這樣就往往能把年輕人很快帶到數學研究領域的前沿，從事創造性地工作。此外，啟發式教學法對希爾伯特的教益也很大。例如，他曾選學線性微分方程課程，當時Fuchs教授的講課方法與眾不同。Fuchs習慣于在講課時把自己置于危險困難境地（可能是缺乏備課習慣），對要講的內容總是現想現推。這樣一來，就使得希爾伯特和他的同學們有機會瞧一瞧高明的數學思維過程是怎樣進行的。 還有良師益友的互相切磋討論，對希爾伯特的成長發展也起了十分重要的作用。當時希爾伯特和明可夫斯基的老師Hurwitz（他是一位只比希爾伯特大三歲的杰出數學家），非常器重兩個學生。據說，每天下午準五點，三人必定相會，一起去蘋果園散步，共同討論問題，交流思想、交流研究心得。據希爾伯特后來回憶說，當年三個年輕人幾乎考察了數學領域的每一個王國。可以想見，這應該是希爾伯特的才、學、識獲得迅速成長的重要過程。假如沒有這段經歷，那么希爾伯特在1900年竟能在許多重要領域中一次提出那樣多的著名難題，倒是不易想象的了。 以上我們概述了希爾伯特成功的社會因素。當然，他本人的勤奮努力和艱苦奮斗等內在因素也是保證他獲得成就的重要條件。例如，在研究工作中希爾伯特曾耐心地計算過四十多重的重積分。即使面對非常繁重的計算任務，他也是具有計算到底的堅強毅力的。事實上，很難設想缺乏堅強毅力的人能取得科學上的巨大成就（關于希爾伯特的詳盡記載請參考C.Reid “Hilbert”一書）！ 從方法論觀點看，關于如何為青年人創造一個既有良師又有益友的環境，如何采用啟發式方法講授一系列新穎課程，并誘導青年人很快走上科研前沿等問題，顯然能從希爾伯特成長的歷史規律中，獲得應有的解答。 （希爾伯特當時所處的社會環境確實很不錯，不像現在我們的整個社會都很浮躁，反映在數學界也是一樣。要想在數學上有所成就，是要沉下心來做研究的。活到老，學到老，終有所得，終有所成。） ? 4 淺談微觀的數學方法論 每一個數學研究工作者都必須精通某些微觀的數學方法論，才能有效地開展科研工作，獲得豐碩成果。教師們也必須熟知這些方法論才能實行啟發式教學法。 （說得好，掌握一定的如何做研究的方法是很有好處的） 我們知道，美籍匈牙利數學家Pólya曾花數十年時間致力于“數學發現”與“解題思想方法”的研究。他的一些著作已被譯成中文。特別值得重視的是他所著的《數學中的歸納與類比》（1954年出版）一書。在此書中作者曾選用不少富于啟發性的例子說明歸納與類比方法如何成為發現數學真理的重要手段。 （Pólya寫的這本書很好，有興趣看一看咯） 18-19世紀有突出貢獻的數學家歐拉(Euler，1707-1783)和高斯（Guass，1777-1855）都曾發表過一些經驗之談。歐拉說過：“數學這門科學，需要觀察，還需要實驗”。高斯也提到過，他的許多定理都是靠歸納法發現的，證明只是補行的手續。 舉例來說，歐拉關于多面體的面、頂、棱公式（F+V-E=2）顯然就是從一批特殊的凸多面體的觀察分析中歸納出來的。高斯青年時代曾著有《算術研究》（1801年出版的數論名著）一書，書中許多結果，包括著名的二次互反律等等，也都是首先從觀察、實驗、歸納過程中發現的。為什么數學真理如同物理科學領域中的定律和原理那樣，有時可以通過實驗與歸納方法去發現呢？原因很簡單，因為數學對象本身（如數量關系與空間形式等）也具有客觀實在性。 （在數學進入新的快速的發展階段，以開拓數學的疆域為主，事情做得并不精細，不少證明也不嚴格，有些證明甚至是錯誤的，不過這些并沒有影響數學的快速發展。現在對數學要求就嚴格很多。那我們現在如何來發現數學真理的，仍然是應用“歸納法”和“類比法”。） 歷史上許多有貢獻的數學家，可以說無例外地都是善于應用“歸納法”與“類比法”去發現真理的能手。尤其是歐拉的許多發現與貢獻早已經進入中學數學教材和大學低年級的課程之中，所以講講歐拉的一些光輝例子，對青年學生似乎更有教育意義。 為了說明類比法的作用，這里我們來介紹一下數學家伯努利（Bernoulli，1654-1705）的一個級數求和難題，是怎樣被歐拉攻破的。伯努利是17世紀杰出的數學家，他是古典概率論的創始人，對古典微積分學以及級數求和等問題都有貢獻。但他沒有辦法算出自然數倒數平方和的級數和1+1/4+1/9+1/16+1/25+…. 于是，他公開征求這一求和問題的解答，可惜直到他逝世時還未能見到有人解決此難題。這個難題過了數十年后才由歐拉解答出來。歐拉采用的方法就是一種巧妙的類比推理法。

這樣，歐拉便完成了一項非常有趣的發現，給出了伯努利所未能找到的級數和。

據說歐拉發現上述結果后，當時并未能給出嚴格證明，不免有點又驚又喜。于是他做了數值計算驗證，對等式兩邊分別進行計算，得出的數值都等于1.644934…. 算到第七位數字都一致，這才使歐拉確信他的發現正確無疑。（這和實驗物理學家發現物理定律時的態度多么相似！）當然，現今的數學分析教程中已有各種方法可以證明上述結果。

（歐拉的這個例子確實非常經典，確實用類比法的高手。形式上的相同給我以聯想，給數學概念這間以橫向聯系。） 順便提幾句，在現代初、高等數學教育中，特別反映在教材與教學方法中，似乎過于偏重演繹論證的訓練，把學生的注意力都吸引到形式論證（邏輯推理）的“嚴密性”上去，這對于培養學生的創造力來說實際上是不利的。當然，必要的邏輯推理訓練不可少；但對于有作為的數學工作者來說，發現和創新比命題論證更重要。因為一旦抓到真理之后，補行證明往往只是時間問題。大數學家高斯早就談過這種經驗。當然也有例外，例如數學上有許多誘惑人心的“猜想”，看來似乎是“真”的，但卻證明不了。其實很多猜想未必真正抓到真理，所以事后被證明是錯的也不少。 （寫得很不錯。不過數學的嚴格性對于數學的發展是必要的。） 歸納法與類比法是數學方法論中最基本的方法之一，用好了能獲得新的成果，乃至完成重要發現。但要真正用好也不容易。首先，要有敏銳的觀察力，才能從眾多的特例中歸納總結出一般性命題來。“特例”有時是現成的，有時卻需要故意構造出來。要用好類比法需要有較豐富的數學知識，知識面較廣，在數學思維中可用作類比推理的題材就越多，因而能形成普遍命題的機會（或發現數學一般真理的機會）也就越多。很難設想，知識面很窄的人能完成重大的發現。事實上，利用類比法形成普遍命題的過程是通過“聯想-預見”來完成的。聯想就要靠已有的知識為基礎。 （實際上有些數學分支就是不同數學分支的交叉。要沒有廣闊的知識面，是不可能作出這樣的聯系的。） 一般說來，歸納與類比在從事數學創造性科學研究活動過程中的作用如下圖所示： ? 圖1-1 形成的“普遍命題”在完成證明之前往往是一種猜想，因此，只有經過嚴格證明之后才能成為確定的定理或論斷。但在許多情況下，“推廣”和“預見”的過程中已經蘊含有普遍命題的直觀論證或不甚嚴格的證明。這樣，形成普遍命題的這一重要步驟實際已經完成了數學真理的發現工作。當然，從發現到證明有時也往往需要走一段艱苦的路程。 數學史上許多杰出的數學家往往既是發現與發明的能手，又是精于證明技巧的硬手。但是也能遇見這樣兩種數學家，一種專長于數學發現的專家，另一種是專長于論證的專家，按創造性數學思維來說，前者擅長于“發散思維”，后者較精于“收斂思維”。 在數學的創造性工作中，“抽象分析法”也是一種常用的重要方法。例如，歐拉解決哥尼斯堡七橋問題時，就是采用了這種方法。歐拉的解法在許多書中都有介紹。解決的基本步驟無非是：把人們步行過橋的問題經過分析，抽象成為一個“一筆畫”問題，即一筆能否畫出如下圖形的問題。 （這個例子實際上并不難，但非常經典，好好體味。） 歐拉原來是這樣想的：既然島與半島無非是橋梁的連接地點，兩岸陸地也是橋梁通往的地點，那么就不妨把四處地點縮小（抽象）成四個點，并把七橋表示（抽象）成七條線，這樣當然并不改變問題的實質。于是，人們企圖一次無重復地走過七條橋的問題即等價于一筆畫出上述圖形的問題。這樣的分析思考方法，就叫做“抽象分析法”或“數學模型法”。這里，一筆畫問題中的幾何圖形就是七橋問題的數學模型。 接著，歐拉又考察了一筆畫的結構特征，一筆畫有個起點和終點（特別，起點與終點重合時便成為自封圖形）。除起點與終點外，一筆畫中出現的交點處曲線總是一進一出，故通過交點的曲線總是偶數條。如此說來，一筆畫中至多只有兩個點（即起點和終點）有可能通過奇數條曲線。我們看圖1-2，立即發現四個點都通過奇數條曲線。因此，可以斷言它不是一筆能夠畫出的圖形。 圖1-2 ? 抽象分析法還能用來確立新的基本概念，導致數學新學科或新分支的產生。大家知道，隨著現代計算機的發展已經產生了一門新的數學分科，叫作“計算理論”。英國數學家圖靈（A.M.Turing，1912-1954）的工作在這整個歷史發展過程中起著關鍵性的作用。要不是圖靈當初徹底分析了計算的實質，并從理論上論證了“通用計算機”的可能性，也許當年電子計算機的發明與發展不會那樣順利而迅速。 什么是計算？多少世紀以來，人們都學習計算，經常使用計算，但在1936年前，從未有人對“計算”的本質進行過深刻的分析。圖靈就是應用抽象分析法首先闡明計算本質的一位數學家。 我們仔細地觀察不難發現，一個人進行筆算時總是把一些符號寫在紙上，當計算中出現不同的特殊符號時，就改變計算的動作。而計算中者工作時用的是鉛筆還是鋼筆，用的紙是有行的、無行的或方格紙等，這些都與計算過程的實質無關。圖靈在分析計算過程時，正是對過程中的一切無關因素加以舍棄，對過程進行去偽存真、去粗取精，才發現了計算的本質。這樣才導致后來通用電子計算機的發明。 圖靈分析了人們在從事計算時所遵循的最基本的法則。首先，他發現計算者可以把一切計算內容寫在一條現行的帶子上，至于通常使用的紙的二維性質并不是本質的。如果你愿意，可以不用普通紙帶，而改用錄音機用的那種磁帶（當然，在后一情況里出現的符號將是磁信號而不是紙上寫的符號，但在概念上并無本質區別）。所以，圖靈由抽象分析法獲得的一個重要結論是：一切實際計算過程都具有“線性”性質。 計算過程的本質既是線性的，就不妨假定線性的帶子上劃分為若干方格。我們知道，一切有理數均可采用二進位數表出。所以在圖靈理想的計算機上，不妨規定線性帶子的每一方格內可以記上一個符號0或1. 圖靈對計算過程所作的第二步抽象分析是，一切計算過程的實質無非是每一步把在方格里看到的0換成1，或者把1換成0，或者有時需要把注意力轉移到另一方格上去，不妨假定注意力的轉移只限于從所看到的方格移到左右相鄰的方格（這對計算過程的實質并無真正的限制）。 經過如上的抽象分析后，圖靈便得出這樣的結論：任何計算都可以看作是由一個人工計算者（或計算機器）來做的。它使用線性帶子上成串的0或1，不外乎執行下列各指令：（1）寫符號0；（2）寫符號1；（3）向左移一格；（4）向右移一格；（5）觀察現在掃描的符號并相應選擇下一步驟；（6）停止。計算者所執行的程序，也就是這類指令所排列成的形式表。這樣分析之后，計算過程的實質也就徹底搞清楚了。 （這實際上就是一個建模過程，拋除次要因素，凸顯主要因素，從而得到計算的數學模型-圖靈機。） 近代應用數學的另一重要分支是“信息論”。什么是信息？信息的含義是極其寬廣的。不用說是人類，即使是一些禽獸間也以他們的特殊方式（如鳴叫聲）傳遞信息，無論是報章、雜志、電視、電報、電話、廣播乃至音樂演奏等都包含著信息的內容。所有這些，都有一個共性，即信息總是可以傳遞而且必須傳遞的。 信息既然要傳遞，就得考慮如何衡量信息量，這就需要建立信息的度量理論。怎樣界定信息的度量概念呢？這又必須應用抽象分析方法。下面針對較直觀的例子來分析。 以英文的26個字母為例，試問如何衡量它的信息量？如果只允許一個字母A出現，其它字母均不許出現，則信息量不妨規定為1，即定義為一個單位。在各個字母以等概率出現的情況下，26個英文字母所包含的信息量可以認為是26。又如果考慮由兩個字母所拼成的字（假定每種拼法都賦予意義），則字的集合共含26×26個元素。根據信息與集合元素個數成正比的原則，該集合的信息量應該是26×26. 但信息量的這種按“乘法增加”，顯然與直觀預期不協調。直觀上總希望按“加法增加”。因而可采用對數來衡量，即規定26個字母的信息為log26. 從而上述字母的集合的信息量便為 log(26×26)=log26+log26. 現在剩下的問題是，這個對數應以什么數為底？ 正如許國志先生在《略談應用數學的范疇》一文中所說的，中國古代的烽火臺是最簡單的信息傳遞的例子。“無火報平安，有火敵來襲。”這僅包含兩個信息。因此，如果對數以2為底，那么烽火臺所提供的信息便是log_2(2)=1. 由于任何事物的肯定與否定以及由于語言表述與邏輯的二值性都只包含兩個信息，所以用2作底應該是最合理的。于是26個字母的平均信息量便是log_2(26)=4.7. 假定各字母出現的概率相同，則每個字母出現的概率都等于1/26. 因此上述信息量也可記成：-log_2(1/26)=4.7. 然而一般情形下，26個字母出現的概率可以各不相同。如果以p1, p2, …, p26分別代表字母A, B, …, Z出現的概率，那么按下述加權平均 -( p1 log_2(p1) + p2 log_2(p2) + … + pn log_2(p26) ), 算出的數值即等于諸字母的“平均信息量”。特別，諸字母以等概率1/26出現時，則由上式仍可得出-log_2(1/26)=4.7. 我們知道，上述公式正是信息度量理論中的基本公式（這個公式推廣到一般集合的情形當然是顯而易見的事）。 在上述分析過程中，我們事實上用到了從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法。 近代數學中比較普遍采用的“公理化方法”和應用數學領域里經常使用的“模型方法”，其實也都是抽象分析法的具體運用和表現。這些需要另辟專題，在后面將詳細論述。 最后，我們對有興趣鉆研數學方法論的青年數學工作者，特提出如下幾點希望和建議以供參考：（1）最好能抽出些時間主動閱讀一點數學發展史，以加深對數學發展宏觀規律的認識。（2）盡可能選讀一些著名經典作家（數學家）的全集或選集中的若干代表性作品，以便領會某些卓越的心智活動法則和規律。（3）在可能范圍內，最好能在數學科學（甚至是自然科學）的廣闊領域中博覽群書，以開拓自己的知識疆域，俾有利于發展自己的理解能力和想象能力。（4）宜通過辯證法的學習，盡早確立科學的反映論觀點。 （建議比較好，尤其是第(2)條，值得去做喲。） ?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学方法论选讲---第一章 引论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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