教程：抽象代數（鄧少強）
名詞太多，這里以框架的形式整理，把必要的定義和定理進行簡易解釋。
抽象代數的歷史來源：
一元五次及以上的方程是否有根式解？歐拉，拉格朗日，高斯，阿貝爾
如何找出一類特殊方程可用根式解？伽羅瓦——Galois理論 （這里必須要表達我對Galois的敬佩！）

第一章 群

• • 1.1 代數體系
  • • • 1.1.1 運算
      • 1.1.2 關系
  • 1.2 半群與群
  • • • 1.2.1 半群與群
      • 1.2.2 階

1.1 代數體系

代數體系就是集合+運算

• 集合

1.1.1 運算

• 映射
  $$i:A_0\to A$$
  稱$i$為$A_0$到$A$的嵌入映射。
  若$i(x)=x$，則稱$i$為$A_0$到$A$的嵌入映射
• 交換圖：例如$f_3{f}_2{f}_1$=$g_2{g}_1$，則有交換圖
  
• 開拓、限制：$f$為$g$的開拓，$g$為$f$（在$A_0$上）的限制，記為$g=f{|}_{A_0}$，可用交換圖表示為
  
  其中$i$是嵌入映射。
• 直積（集合）
• （二元）運算
  映射$f:A\times B\to D$稱為$A$與$B$到$D$的一個代數運算。如果$A$,$B$,$D$都相同，則$f$是$A$上的二元運算。
  例：設$\mathbb{V}$為線性空間，數域為$\mathbb{P}$，
  $\mathbb{V}$中加法：$$\mathbb{V}\times \mathbb{V}\to \mathbb{V}$$.
  $\mathbb{V}$中乘法：$$\mathbb{P}\times \mathbb{V}\to \mathbb{V}$$.

研究抽象代數很重要的就是研究運算規律

• 運算規律

  • 交換律：不常見
  • 結合律：常見
  • 分配律：左分配律，右分配律，分配律涉及兩種運算。環中常見

• 運算表：可以讀出交換律

1.1.2 關系

• （二元）關系：設$A=?$，$A$中一個關系為$A\times A$中的一個子集$R$。構造新集合的方法，例如“$>$”，“$<$”，“$=$”

  • 自反性
  • 對稱性
  • 傳遞性

• 等價關系：滿足上述三條性質的關系。例如矩陣的相似、合同等

  • 劃分：$A$的一個劃分就是將$A$寫成一些不相交的非空子集之并
  • 等價類：記作$\bar{a}$或$[a]$
  • 商集合：$A/R=\{\bar{a}|a\in A\}$
  • 自然映射：映射$\pi :A\to A/R$，$\pi (a)=\bar{a}$

• 定理1.1.1
  $A$中的一個分類決定了$A$中的一個等價關系，反之也成立
  關系和分類可以看作一回事

• 同余關系
  二元運算“$°$”，等價關系$R$，如果
  $$a_{1}R{b}_1,a_{2}R{b}_2?a_1°a_{2}R{b}_1°b_2$$
  則稱$R$為“$°$”的同余關系
  在$A/R$中定義
  $$\bar{a}\overline{°}\bar{b}=\overline{a°b}$$
  注意這種定義是正確的。如果$c\in \bar{a}$，$d\in \bar{b}$，同余關系保證$\overline{a°b}=\overline{c°d}$

• 代數體系：集合$A$，等價關系$R$為“$°$”的同余關系，
  $\{A;°\}$是代數體系，可以導出另一個代數體系$\{A/R;\overline{°}\}$

1.2 半群與群

1.2.1 半群與群

群=非空集合+二元運算+性質

• 半群：設$G$為一個非空集合，$G$上有二元運算$°$，滿足結合律，則稱$\{G;°\}$（或$G$）為一個半群

• 幺元，幺半群：設$\{G;°\}$為半群，若元素$e_1\in G$，滿足$?a\in G,e_{1}a=a$，則稱$e_1$為$G$的左幺元；右幺元類似。若$e$即是左幺元，又是右幺元，那么稱之為幺元。$G$稱為幺半群

• 逆元，群：設$\{G;°\}$為幺半群，$e$為幺元，$a\in G$，若元素$a^{\prime }$ 滿足 $a^{\prime }°a=e$，則稱$a^{\prime }$為$a$的左逆元；右逆元類似；若$b$即是$a$的左逆元，又是$a$的右逆元，則稱$b$為$a$的一個逆元，記為$a^{?1}$. 若幺半群$G$中每個元素都可逆，稱$G$為群
  從集合觀點來看：$G=?$，定義了二元運算$°$

• $G$對$°$封閉
• $°$滿足結合律
• $G$存在幺元$e$
• $?a\in G$，存在逆元

群的定義非常多（某教科書17種？ ）

• Abel群：交換的群
  例如任意一個數域$\mathbb{P}$對數的加法為Abel群；$\mathbb{P}\{0\}$對乘法為Abel群

• 定理1.2.1
  幺半群的幺元唯一
  證明思路：$e=e{e}^{\prime }=e$

• 定理1.2.2
  群的逆元唯一
  證明思路：$ba{b}^{\prime }=e{b}^{\prime }=b^{\prime }=be=b$

• 定理1.2.3
  群滿足左右消去律。左消去律若$ab=ac$，則$b=c$，右消去律類似

• 定理1.2.4
  設$G$為群，則$?a,b\in G$，方程$ax=b,xa=b$都存在唯一解

• 定理1.2.5
  設$G$為半群，若$?a,b\in G$，方程$ax=b,xa=b$都有解，則$G$為群
  該定理也是群的一種定義

• 定理1.2.6
  有限半群$G$若滿足左右消去律，則$G$為群
  無限的不行，例如：自然數（注意抽象代數中的自然數集合不含0）對乘法

• 乘法群，加法群：乘法群把群的運算用乘法（包括冪次）表示；加法群把群的運算用加法（包括數乘，負號）表示，加法群常用于交換群

1.2.2 階

• 階：設$G$為群，$G$的階表示$G$中元素的個數，記為$|G|$

• 設$G$為群，$a\in G$，若對$?n\in \mathbb{N},a^n=e$，稱$a$的階為無窮，若至少存在一個$m\in \mathbb{N}$，使$a^m=e$，定義$a$的階為$min\{k\in \mathbb{N}|a^k=e\}$

• 定理1.2.7
  設$G$為群，$a\in G$，$a$的階為無窮 $?$ $?m,n\in \mathbb{Z},m=n$ 則 $a^m=a^n$

• 定理1.2.8
  設$G$為群，$a\in G$，$a$的階為$d$，則

• $a^k=e?d|k$
• $a^k=a^h?d|h?k$

• 定理1.2.9
  設$G$為群，$a\in G$，$a$的階為$d$，則

• $a^k$的階為$d/(d,k),(k>0)$
• $a^k$的階為$d$ $?$ $(d,k)=1$

證：只需證命題1，
設$a^k$的階為$q$，設$d=d_1(d,k),k=k_1(d,k)$，
一方面：$(a^k{)}^q=e=a^{qk}$. 故由定理1.2.8，$d|qk$，即$d_1|k_{1}q$，因$(d_1,k_1)=1$，僅$d_1|q$，故$d/(d,k)|q$.
另一方面：$(a^k{)}^{d_1}=a^{k_1(d,k)d_1}=(a^d{)}^{k_1}=e$，故由定理1.2.8， $q|d_1=d/(d,k)$. 故$q=d/(d,k)$.

• 定理1.2.10
  設$G$為群，$a,b\in G$，$a$的階為$m$，$b$的階為$n$，且$ab=ba,(m,n)=1$，則$ab$的階為$mn$
  注意，如果不要$ab=ba$這個條件，那么$ab$的階不一定是有限的。（另外注意有限群的元素一定是有限階的，這個也容易證）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的整理与随笔——抽象代数 第一章 群 1.1-1.2 代数体系、半群与群的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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