?? ? ?? 憔悴到了轉(zhuǎn)述中文綜述的時(shí)候了........

?????? 在統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來(lái)看，時(shí)間序列分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要分支, 是基于隨機(jī)過(guò)程理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一種重要方法和應(yīng)用研究領(lǐng)域.? 時(shí)間序列按其統(tǒng)計(jì)特性可分為平穩(wěn)性序列和非平穩(wěn)性序列. 目前應(yīng)用最多的是Box一JenkinS 模型建模法, 它是由G.E.P.Box和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家G.M.JenkinS于1970年首次系統(tǒng)提出的.Box一JenkinS方法是一種較為完善的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方法 , 他們的作用是為實(shí)際工作者提供了對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析、預(yù)測(cè) , 以用對(duì)ARMA模型識(shí)別、估計(jì)和診斷的系統(tǒng)方法. 優(yōu)點(diǎn)在于如果建立精確的模型后,并確定模型的系數(shù)之后,就可以根據(jù)有限的數(shù)據(jù)集對(duì)其發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè) , 其中對(duì)于平穩(wěn)性時(shí)間序列多采用ARMA模型 , 對(duì)于非平穩(wěn)性時(shí)間序列模型常通過(guò)適當(dāng)?shù)刈儞Q (如差分、取對(duì)數(shù)) 將它變?yōu)锳RMA模型后再進(jìn)行建模,這類模型Box一JenkinS稱為ARI琳(求和自回歸滑動(dòng)平均模型) 。

?????? 參考鏈接：時(shí)序分析基礎(chǔ)

??????

一.? 平穩(wěn)時(shí)間序列模型
?????? 數(shù)據(jù)的預(yù)處理：
????????????? 數(shù)據(jù)的預(yù)處理包括缺失值的補(bǔ)充、數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化及單位根檢驗(yàn).

平穩(wěn)性

平穩(wěn)性是時(shí)間序列分析中很重要的一個(gè)概念。一般的，我們認(rèn)為一個(gè)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，如果它同時(shí)滿足一下兩個(gè)條件：

1）均值函數(shù)是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。

2）自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)滯有關(guān)，與時(shí)間點(diǎn)無(wú)關(guān)。

以上面兩個(gè)時(shí)間序列為例。兩個(gè)序列均滿足條件1），因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布白噪聲和其形成的隨機(jī)游走的均值函數(shù)都是值恒為0的常數(shù)函數(shù)。再來(lái)看條件2）。白噪聲的自協(xié)方差函數(shù)可以表述為：

γt,s={10(t=s)(t≠s)

可以看到只有在時(shí)滯為0時(shí)值為1，其它均為0，所以白噪聲是一個(gè)平穩(wěn)序列。

而隨機(jī)游走我們上面分析過(guò)，其自協(xié)方差為：

γt,s=tσ2

很明顯其自協(xié)方差依賴于時(shí)間點(diǎn)，所以是一個(gè)非平穩(wěn)序列。

后面可以看到，一般的時(shí)間序列分析往往針對(duì)平穩(wěn)序列，對(duì)于非平穩(wěn)序列會(huì)通過(guò)某些變換將其變?yōu)槠椒€(wěn)的，例如，對(duì)于隨機(jī)游走來(lái)說(shuō)，其一階差分序列是平穩(wěn)的（顯然其一階差分是白噪聲）。

時(shí)序分析主要統(tǒng)計(jì)量

???? ? 注意時(shí)間序列中的每一個(gè)元素都是一個(gè)普通的隨機(jī)變量，如果忽略序列的時(shí)間性，那么我們面對(duì)的實(shí)際上是一個(gè)隨機(jī)變量集合，所以從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)分析與普通統(tǒng)計(jì)分析沒(méi)有太大不同，相關(guān)的理論也是通用的。

?????? 對(duì)于隨機(jī)變量集合來(lái)說(shuō)，要完整描述其統(tǒng)計(jì)特性需要處理其多元聯(lián)合分布，這是非常復(fù)雜的。所以實(shí)際我們往往做一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，避免處理復(fù)雜的多元聯(lián)合分布。

現(xiàn)假設(shè)我們有隨機(jī)時(shí)間序列

{Yt|t=0,±1,±2,?}

下面先給出一些常用的統(tǒng)計(jì)量。后面會(huì)接著通過(guò)一些常見(jiàn)序列來(lái)舉例說(shuō)明各統(tǒng)計(jì)量如何計(jì)算。

均值

均值函數(shù)被定義為關(guān)于自變量t的函數(shù)：

μt=E(Yt)

t的均值函數(shù)值表示在t時(shí)刻隨機(jī)變量Yt的期望。

方差

與均值類似，方差是t時(shí)刻序列元素的方差：

σ2t=E((Yt?μt)2)

自協(xié)方差

自協(xié)方差是一個(gè)二元函數(shù)，其自變量為兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)，值是兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上序列值的協(xié)方差：

γt,s=Cov(Yt,Ys)=E((Yt?μt)(Ys?μs))

當(dāng)t=s時(shí)，自協(xié)方差就是t時(shí)刻的方差。

自相關(guān)系數(shù)

自相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)時(shí)刻的值的相關(guān)系數(shù)：

ρt,s=γt,sγt,tγs,s?????√

如果忽略元素來(lái)自時(shí)間序列這一事實(shí)，各統(tǒng)計(jì)量的意義實(shí)際上與普通的統(tǒng)計(jì)學(xué)中無(wú)異。因此這些統(tǒng)計(jì)量的一些性質(zhì)也可以無(wú)縫推廣到時(shí)間序列分析。例如期望的線性性質(zhì)等等。如果有需要可以自行復(fù)習(xí)一下這些統(tǒng)計(jì)量的相關(guān)計(jì)算性質(zhì)。后面的推導(dǎo)會(huì)主要集中于這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算。

常見(jiàn)的隨機(jī)時(shí)間序列

常見(jiàn)的隨機(jī)時(shí)間序列有：白噪音、布朗運(yùn)動(dòng)（隨機(jī)游走）、

白噪聲

?????? 考慮一個(gè)時(shí)間序列，其中每一個(gè)元素為獨(dú)立同分布變量，且均值為0。這種時(shí)間序列叫做白噪聲。之所以叫這個(gè)名字，是因?yàn)閷?duì)這種序列的頻域分析表明其中平等的包含了各個(gè)頻率，和物理中的白光類似。

??????
??????? 沒(méi)有模式即是白噪音的模式，所謂的白噪音即是隨機(jī)性的完全體現(xiàn)，即是不能從白噪音中發(fā)現(xiàn)任何模式。以下是一段代碼：

Y = ts(rnorm(100, mean=0, sd=1));plot(Y, family="simhei", main="白噪聲", type="b", col="red");abline(h=0)

???? 其中共100個(gè)元素，每個(gè)元素都獨(dú)立服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。可以從圖中看出白噪聲基本是在均值附近較為平均的隨機(jī)震蕩。

由于每個(gè)元素服從N(0,1)，所以均值μt=0，方差σ2t=1。又因?yàn)槊總€(gè)元素獨(dú)立，所以對(duì)于任何t≠s，γt,s=0，ρt,s=0。這些統(tǒng)計(jì)特征與對(duì)圖像的直觀觀察基本一致。

白噪聲的重要之處在于很多其它的重要時(shí)間序列都可以通過(guò)它構(gòu)造出來(lái)，這一點(diǎn)下文會(huì)看到。我們一般用e表示白噪聲，將白噪聲序列寫(xiě)作：

{e1,e2,…,et,…}

布朗運(yùn)動(dòng)

下面考慮這樣一個(gè)時(shí)間序列，其在t時(shí)刻的值是前面白噪聲序列的前t個(gè)值之和，設(shè){e1,e2,…,et,…}為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布產(chǎn)生的白噪聲，則：

Y1Y2Yt==?=?e1e1+e2e1+e2+?+et

布朗運(yùn)動(dòng)的模式在于其位置是連續(xù)曲線，但曲線的處處不可微。

??????

Y = ts(rnorm(100, mean=0, sd=1));for (i in 2:length(Y)) {Y[i] = Y[i] + Y[i-1];}plot(Y, family="simhei", main="隨機(jī)游走", type="b", col="red");abline(h=0)

可以看到隨機(jī)游走比白噪聲平滑很多，并且呈現(xiàn)出一些“趨勢(shì)性”的感覺(jué)。下面分析其相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征。

均值：μt=E(e1+?+et)=E(e1)+?+E(et)=0

方差：σ2t=Var(e1+?+et)=Var(e1)+?+Var(et)=tσ2

對(duì)協(xié)方差的計(jì)算需要用到一個(gè)協(xié)方差性質(zhì)：

Cov(∑i=1mciYi,∑j=1ndjYj)=∑i=1m∑j=1ncidjCov(Yi,Yj)

設(shè)t小于s，由于只有i=j時(shí)Cov(Yi,Yj)=σ2，所以：

自協(xié)方差：γt,s=tσ2

自相關(guān)系數(shù)：ρt,s=tσ2tsσ4√=ts√

從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以看到，隨機(jī)游走的“趨勢(shì)性”實(shí)際是個(gè)假象，因?yàn)槠渚岛瘮?shù)一直是白噪聲的均值，不存在偏離的期望。但是方差與時(shí)間呈線性增長(zhǎng)并且趨向于無(wú)窮大，這意味著只要時(shí)間夠長(zhǎng)，隨機(jī)游走的序列值可以偏離均值任意遠(yuǎn)，但期望永遠(yuǎn)在均值處。

物理與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多現(xiàn)象都被看做是隨機(jī)游走，例如分子的布朗運(yùn)動(dòng)，股票的價(jià)格走勢(shì)等等。

從協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)看，如果起點(diǎn)t固定，則越接近的點(diǎn)相關(guān)性越大，例如ρ1,2=0.707，ρ1,3=0.577，ρ1,4=0.500。同時(shí)，起點(diǎn)不同，時(shí)滯相同自相關(guān)系數(shù)也不同，越往后同時(shí)滯自相關(guān)系數(shù)越大，例如ρ2,3=0.816，ρ3,4=0.866。

實(shí)際上從純數(shù)學(xué)角度可以將自相關(guān)系數(shù)看成一個(gè)二元函數(shù)，自變量是時(shí)間點(diǎn)t和時(shí)滯s-t。認(rèn)識(shí)到這點(diǎn)很重要，因?yàn)樗c時(shí)間序列分析中一個(gè)重要的概念——平穩(wěn)性有著密切的關(guān)系。

二、AR、MA、ARMA模型

4、AR、MA、ARMA認(rèn)是平穩(wěn)時(shí)間序列最主要的參數(shù)模型. AR模型的正則方程是一組線形方程 ,而MA和ARMA模型是非線性方程.Word分解定理告訴我們?nèi)魏斡邢薹讲畹腁RMA或MA平移過(guò)程可以用可能是無(wú)限階的AR模型表達(dá);同樣,任何ARMA或AR模型可以用可能是無(wú)限階的撇模型表達(dá).因此,如果在這三個(gè)模型中選一個(gè)與信號(hào)不匹配的模型,但只要模型的階足夠高,它能夠比較好地逼近被建模的隨機(jī)過(guò)程.三種模型中AR模型具有一系列好的性能,因此,是研究最多并獲得廣泛應(yīng)用的一種模型。

三、模型用于預(yù)測(cè)

1.AR(n)模型預(yù)測(cè)
?????? 利用n之前的p個(gè)值對(duì)x(。)作預(yù)測(cè),稱之為“前向預(yù)測(cè)”,記為:
????????

?????? 上標(biāo)f表示前向預(yù)測(cè)(forwardprediction)·凡(,)表示在t時(shí)刻m步前向預(yù)測(cè)。利用自相關(guān)法、Burg算法、協(xié)方差、改進(jìn)的協(xié)方差法等方法得到模型的參數(shù)后,就可以進(jìn)行前向預(yù)測(cè),利用預(yù)測(cè)值遞推可依次得到多步預(yù)測(cè)值

2.MA(q)、ARMA(p,q)模型預(yù)測(cè)
?????? MA(q)、ARMA(p,q)的外推預(yù)測(cè)一般都是將磁(q)、ARMA(p,q)模型轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的高階AR模型,再AR模型的預(yù)測(cè)公式進(jìn)行外推預(yù)測(cè).

3.預(yù)測(cè)誤差
????? 預(yù)測(cè)誤差公式為:
??????
?????? 線性最小方差預(yù)測(cè)的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)l有關(guān),而與預(yù)測(cè)的時(shí)間原點(diǎn)t無(wú)關(guān).預(yù)測(cè) 步長(zhǎng)l越大,預(yù)測(cè)誤差的方差也越大,因而預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度就會(huì)降低.所以一般不能用AR、MA和ARMA模型作為長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型.

四、非平穩(wěn)時(shí)間序列模型

...................................................

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/wishchin/p/9200080.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时序分析：ARMA方法（平稳序列）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。