文章目錄

• 三、.正態時間序列與嚴平穩序列
• • 1.多元統計基礎
  • 2.多維正態分布與正態時間序列
  • 3.嚴平穩序列
  • 回顧總結

三、.正態時間序列與嚴平穩序列

1.多元統計基礎

首先對多元統計中的基本概念作簡要介紹。如果有一個$n$維隨機向量$X=(X_1,?,X_n{)}^{\prime }$，這里每一個$X_i$是隨機變量，那么其均值向量為$\mu =\mathrm{E}X=(\mathrm{E}{X}_1,?,\mathrm{E}{X}_n{)}^{\prime }$，自協方差矩陣為
$$\mathrm{D}X={\Sigma }_X=({\sigma }_{ij}{)}_{n\times n},{\sigma }_{ij}=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X_i,X_j).$$
可以證明$\mathrm{D}X=\mathrm{E}[(X?\mu )(X?\mu {)}^{\prime }]$（對矩陣求期望相當于對矩陣的每一項求期望）。

對于$m$維列向量$a$和$m\times n$常數矩陣$B$，定義線性變換為$Y=a+BX$，則有
$$\mathrm{E}Y=a+B(\mathrm{E}X),\mathrm{D}Y=B(\mathrm{D}X)B^{\prime }.$$
隨機向量也有特征函數，且定義方式與隨機變量類似，即對于$n$維實數向量$t=(t_1,?,t_n{)}^{\prime }$和$n$維隨機向量$X$，有
$${\phi }_X(t)=\mathrm{E}{e}^{\mathrm{i}{t}^{\prime }X}=\mathrm{E}\exp \left\{\mathrm{i}\left(\sum _{j=1}^n{t}_j{X}_j\right)\right\}.$$

2.多維正態分布與正態時間序列

時間序列中，正態分布依然是很重要的部分，這里簡要提一下多元正態分布。

多維正態分布：如果存在$m$維常數列向量$\mu$，$m\times n$常數陣$B$和相互獨立的標準正態隨機變量構成的向量$X=(X_1,?,X_n{)}^{\prime }～N_n(0,I)$，使得$Y=\mu +BX$，則稱隨機向量$Y$服從$m$維正態分布。

我們將多維正態分布，定義為標準正態向量的線性變換，這與一維情形下，正態隨機變量可以看成$X～N(0,1)$的線性變換是一致的。顯然，這里$\mathrm{E}Y=\mu ,\Sigma =\mathrm{D}Y=B{B}^{\prime }$。

從特征函數的角度來說，對于標準正態向量有
$${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\exp (\mathrm{i}{t}^{\prime }X)=\prod _{j=1}^n\exp (?t_j^2/2)=\exp (?\frac{t^{\prime }t}{2}),$$
所以
$${\phi }_Y(t)=\mathrm{E}\exp (\mathrm{i}{t}^{\prime }Y)=\mathrm{E}\exp [\mathrm{i}(t^{\prime }\mu +t^{\prime }BX)]=\exp [\mathrm{i}{t}^{\prime }\mu ?\frac{1}{2}{t}^{\prime }\Sigma t].$$
在實際應用時，我們如何判斷一個隨機向量是正態隨機向量呢？要知道，隨機向量的正態性驗證要比隨機變量的正態性驗證困難得多，所以我們會想到從隨機變量的正態性入手驗證隨機向量的正態性，即有以下定理：

定理：$\xi =({\xi }_1,?,{\xi }_n{)}^{\prime }～N_n(\mu ,\Sigma )$等價于對任何常數向量$a=(a_1,?,a_n{)}^{\prime }$，有
$$Y=a^{\prime }\xi ～N(a^{\prime }\mu ,a^{\prime }\Sigma a).$$

證明可以從特征函數入手，如果$\xi ～N_n(\mu ,\Sigma )$，則
$${\phi }_Y(t)=\exp [\mathrm{i}t(a^{\prime }\mu )?\frac{1}{2}{t}^2(a^{\prime }\Sigma a)]$$
說明$Y～N(a^{\prime }\mu ,a^{\prime }\Sigma a)$。反過來，如果對任何$a$都有$Y～N(a^{\prime }\mu ,a^{\prime }\Sigma a)$，那么$Y$的特征函數如上式子，只要取$t=1$，就得到
$${\phi }_{\xi }(a)=\mathrm{E}{e}^{i{a}^{\prime }\xi }={\phi }_Y(1)=\exp [\mathrm{i}{a}^{\prime }\mu ?\frac{1}{2}{a}^{\prime }\Sigma a].$$
所以${\phi }_{\xi }(t)=\exp [\mathrm{i}{t}^{\prime }\mu ?\frac{1}{2}{t}^{\prime }\Sigma t]$。這樣，我們就能夠驗證一個向量是正態隨機向量。在正態隨機向量的基礎上，可以定義正態時間序列了。

正態時間序列：對于時間序列$\{X_t\}$，如果對于任何$n\ge 1$和$t_1,?,t_n\in \mathbb{N}$，都有$(X(t_1),?,X(t_n))$是正態隨機向量，就稱$\{X_t\}$是正態時間序列。

正態平穩序列：如果正態時間序列$\{X_t\}$還是平穩的，則$\{X_t\}$是正態平穩序列。

$\{X_t:t\in {\mathbb{N}}_{+}\}$是正態時間序列的充分必要條件，是對任何正整數$m$，$(X_1,?,X_m)$服從$m$維正態分部；$\{X_t:t\in \mathbb{Z}\}$是正態時間序列的充分必要條件，是對任何正整數$m$，$(X_{?m},?,X_m)$服從$2m+1$維正態分布。

正態隨機向量相比其他隨機向量的優越性，在于它的運算封閉性，即正態隨機向量經過線性變換，得到的仍然是正態隨機向量。

3.嚴平穩序列

嚴平穩序列看似平穩，但其實與平穩序列之間存在著一些細微差別，并且二者不存在包含關系。下面給出嚴平穩序列的定義。

嚴平穩序列：如果$\{X_t:t\in \mathbb{N}\}$是時間序列，對任何正整數$n$和$k\in \mathbb{N}$，有$(X_1,?,X_n{)}^{\prime }$與$(X_{1+k},?,X_{n+k}{)}^{\prime }$同分布，就稱$\{X_t\}$是嚴平穩序列。

這個定義表明，對嚴平穩序列而言，取出一組變量，將其任意平移都不會改變聯合分布，即嚴平穩序列具有平移不變性。特別當取$n=1$時，能夠證明嚴平穩序列中每一個隨機變量都是同分布的。但我們不能得出各個隨機變量中的相關性，因為嚴平穩序列中對相關性的唯一要求，就是平移不影響向量的內部結構（即自相關性）。

對比嚴平穩序列與寬平穩序列的要求，可以發現，嚴平穩序列的平移不變性，能夠直接推出均值的一致性與自協方差函數與時間差的一一對應關系，所以只要嚴平穩序列是二階矩存在的，就一定是寬平穩序列。注意嚴平穩序列并不要求隨機變量是存在二階矩的。

而寬平穩序列只對均值、自協方差函數做出了要求，而沒有對每個隨機變量的分布作具體要求。但如果通過均值、方差能夠直接推得分布，就由均值方差的一致性，自然得到每個時間點隨機變量是同分布的。特別地，如果寬平穩序列是正態序列，就一定是嚴平穩序列。

嚴平穩序列有一個重要的要求是其遍歷性，這指的是從它的一次實現（樣本軌道）就可以推得其有限維分布，由于現實生活中時間是單向進行的，遍歷性無疑具有重要價值。需要注意，并不是所有的嚴平穩序列都具有遍歷性，但我們上一篇中討論的線性平穩序列，在一定條件下具有遍歷性，定理如下。

定理1：如果$\{{\epsilon }_t\}$是獨立同分布的$\mathrm{W}\mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$，且$\{a_j\}$平方可和，則無窮滑動和$X_t=\sum _{j=?\infty }^{\infty }{a}_j{\epsilon }_{t?j},t\in \mathbb{Z}$是嚴平穩遍歷的。

定理2：如果$\{X_t\}$嚴平穩遍歷，則強大數律$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{t=1}^n{X}_t=\mathrm{E}{X}_1$幾乎必然成立，且對任何多元函數$\phi (x_1,?,x_m)$，$Y_t=\phi (X_{t+1},?,X_{t+m})$是嚴平穩遍歷的。

正因為線性平穩序列具有嚴平穩序列具有的遍歷性，由其一次觀測結果就可以推得有限維分布，所以線性平穩序列具有重要的地位，且對線性平穩序列估計參數時，往往會用到遍歷性。

回顧總結

多元統計的相關結論：如果$Y=A+BX$，則$\mathrm{E}Y=A+(B\mathrm{E})X,\mathrm{D}Y=B(\mathrm{D}X)B^{\prime }$。

我們將正態隨機向量定義為標準正態向量的線性變換$Y=\mu +BX$，在這種定義下，$Y$的均值為$\mu$，方差為$B{B}^{\prime }$。

對隨機向量正態性的驗證具有以下的等價條件：只要隨機向量的任意線性組合仍然是正態隨機變量，則隨機向量是正態向量，反之也成立。

正態時間序列定義為，任意有限維時間點組成的向量都是正態隨機向量，這樣的時間序列稱為正態時間序列。特別當時間序列還是平穩的時，稱為正態平穩序列。

嚴平穩序列指的是具有平移不變性的時間序列，即任意有限維向量經過平移后與原向量具有相同的聯合分布。其遍歷性，指的是從一次實現可推出任意有限維分布的性質。

嚴平穩的二階矩序列是寬平穩的，寬平穩的正態序列是嚴平穩的。

特別地，當$\{{\epsilon }_t\}$是獨立同分布白噪聲序列時，線性平穩序列是具有遍歷性的嚴平穩序列。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【时间序列分析】03.正态时间序列与严平稳序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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