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奇數(shù)與偶數(shù)

21. 設有一條平面閉折線,它的所有頂點 A₁A₂…A_nA₁,它的所有頂點 A_i (i=1,2, …,n) 都是格點,

且 |A₁A₂|=|A₂A₃|=…=|A_n-1A_n|=|A_nA₁|.

求證: n 是偶數(shù).

解: 設頂點 A_i 的坐標是 (x_i,y_i),其中 x_i 及 y_i?(i=1,2, …,n) 都是整數(shù).

由題設有 (x₁-x₂)2+(y₁-y₂)2

=(x₂-x₃)2+(y₂-y₃)2

=…

=(x_n-1-x_n)2+(y_n-1-y_n)2

=(x_n-x₁)2+(y_n-y₁)2

=M,

其中 M 是固定整數(shù).

令 α₁=x₁-x₂,

α₂=x₂-x₃,

…,

α_n-1=x_n-1-x_n,

α_n=x_n-x₁;

β₁=y₁-y₂,

β₂=y₂-y₃,

…,

β_n-1=y_n-1-y_n,

β_n=y_n-y₁,

則 α₁+α₂+…+α_n=0,①

β₁+β₂+…+β_n=0,②

α₁2+β₁2

=α₂2+β₂2

=…

=α_n2+β_n2

=M. ③

下面對 ①、② 作奇偶性分析.

不妨設 α_i、β_i (i=1,2,…,n) 中至少有一個是奇數(shù).

否則,若 α_i、β_i 都是偶數(shù),

可設 α_i=2^mit_i,β_i=2^kit_i' (i=1,2,…,n),其中 t_i、t_i' 是奇數(shù).

m 是 2n 個數(shù):

m₁,m₂,…,m_n,k₁,k₂,…,k_n

中最小的數(shù),用 2m 去除 α_i、β_i,那么 α_i/2m、β_i/2m 中至少有一個奇數(shù).

為確定起見,設 α_i 是奇數(shù).

由 α_i2+β_i2=M,

則 M=4k+1

或 M=4k+2 (k 為整數(shù)).

若 M=4k+1,

由③知,所有的 α_i、β_i 必為一奇一偶.

再由①和②,

有 0=α₁+α₂+…+α_n+β₁+β₂+…+β_n

=偶數(shù)+n 個奇數(shù)之和 (n 為偶數(shù)).

若 M=4k+2,

則 α_i 和 β_i 必是奇數(shù).

由①有

0=α₁+α₂+…+α_n

=n 個奇數(shù)之和 (n 是偶數(shù)).

綜上討論,可知 n 必為偶數(shù).

質數(shù)與合數(shù)

1.設 p、q、r 都是質數(shù),

并且 p+q=r,p

求 p.

解: 由于 p+q=r,

所以 r 不是最小的質數(shù),從而 r 是奇數(shù),所以 p、q 為一奇一偶.因為 p

2. 設 p (≥5) 是質數(shù),并且 2p+1 也是質數(shù).

求證:4p+1 是合數(shù).

解: 由于 p 是大于 3 的質數(shù),故 p 不會是 3k 的形式,從而 p 必定是 3k+1 或 3k+2 的形式,k 是正整數(shù).

若 p=3k+1,

則 2p+1

=2(3k+1)+1

=3(2k+1) 是合數(shù),與題設矛盾.

所以 p=3k+2,

這時 4p+1

=4(3k+2)+1

=3(4k+3)?是合數(shù).

3. 設 n 是大于 1 的正整數(shù),

求證:n⁴+4 是合數(shù).

解: 我們只需把 n⁴+4 寫成兩個大于 1 的整數(shù)的乘積即可.

n⁴+4

=n⁴+4n2+4-4n2

=(n2+2)2-4n2

=(n2-2n+2)(n2+2n+2),

因為 n2+2n+2

>n2-2n+2

=(n-1)2+1>1,

所以 n⁴+4 是合數(shù).

完

三連一下，一起過冬天~

總結

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