数学是发明还是发现?(一)
邁克爾·阿蒂亞爵士(Sir Michael Francis Atiyah,1929年4月22日~2019年1月11日),英國數(shù)學(xué)家,畢業(yè)于劍橋大學(xué)三一學(xué)院,前英國皇家學(xué)會會長,被譽為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。
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邁克爾·阿蒂亞出生于英國倫敦,童年時代在中東地區(qū)度過,1945年跟隨家人移居英國,之后以前三名的成績考入劍橋大學(xué)三一學(xué)院。1955年獲得博士學(xué)位,畢業(yè)后在普林斯頓高等研究院、劍橋大學(xué)彭布羅克學(xué)院、牛津大學(xué)等學(xué)術(shù)機構(gòu)研究、任教,并在1962年成為英國皇家學(xué)會會員。
邁克爾·阿蒂亞爵士的主要研究領(lǐng)域是幾何,而到20世紀(jì)70年代他把重心轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)物理學(xué)上。1960年代他與艾沙道爾·辛格建立合作關(guān)系,共同證明了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理,該定理在數(shù)學(xué)的一些領(lǐng)域均有重要作用。因此他在1966年榮獲菲爾茲獎,2004年又與艾沙道爾·辛格共同獲得阿貝爾獎。除此之外,邁克爾·阿蒂亞爵士在拓?fù)洹⑽⒎址匠獭?shù)學(xué)物理、代數(shù)等領(lǐng)域也有杰出成就。1983年,被英國皇室授予下級勛位爵士。1992年,獲得英國功績勛章。
“數(shù)學(xué),是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)?”,這是一個相當(dāng)富哲學(xué)性的題目。這個題目并非專為數(shù)學(xué)家而設(shè),而是適合更廣泛的讀者。我們真正關(guān)心的,是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界及其他事情之間的關(guān)系。
數(shù)學(xué)可以說是處于藝術(shù)和科學(xué)之間的學(xué)科,而數(shù)學(xué)和科學(xué)的關(guān)系,幾乎人所共知。例如牛頓、麥克斯韋(James Clerk Maxwell)和愛因斯坦所提出的理論,是建基于很堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上。反過來,科學(xué)家的觀察和理論驗證,又對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生很大的影響。然而,數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的關(guān)系,便不是那樣顯而易見了。
數(shù)學(xué)是藝術(shù)也是科學(xué)
人們認(rèn)為,藝術(shù)和數(shù)學(xué)是兩碼子事,其實兩者之間是有關(guān)聯(lián)的。首先,數(shù)學(xué)是建基于邏輯——嚴(yán)密的邏輯思維。在哲學(xué)領(lǐng)域里,同樣也十分注重邏輯和思考分析。例如,兩位在不同年代的偉大哲學(xué)家,古希臘的柏拉圖和近代的羅素,他們亦為數(shù)學(xué)家,因為二人的思想都采用大量數(shù)學(xué)語言,無可置疑,邏輯屬于哲學(xué)的一部分。
同時,邏輯也是建構(gòu)藝術(shù)的基礎(chǔ)。
當(dāng)我們說到某些藝術(shù)的項目,如繪畫,便會趣用到很多透視的方法,也即是空間里的三維觀點;透視圓法,亦被視為繪畫藝術(shù)發(fā)展的一大發(fā)現(xiàn)。又例如音樂,音樂使用了音符作為基礎(chǔ),但當(dāng)中的和弦其實是一種十分精確和美妙的數(shù)學(xué)形式,這也表現(xiàn)出藝術(shù)和數(shù)學(xué)的關(guān)系。建筑學(xué)追求的是建筑物的美,這取決于建筑物本身的比例和規(guī)模等;無論是幾何學(xué),或幾何學(xué)建筑,都是建筑學(xué)中的十分重要的部分。
數(shù)學(xué)與大量藝術(shù)項目之間的關(guān)系可謂千絲萬縷。概言之,藝術(shù)就是主觀的美。在物理學(xué),對美的追求,是來源于藝術(shù)的基本概念。同樣,對美的追求,在數(shù)學(xué)亦是重要的環(huán)節(jié);因此可以說,數(shù)學(xué)既是藝術(shù),也是科學(xué)。
科學(xué)和藝術(shù)之間的區(qū)別,可以這樣加以闡釋——科學(xué)家孜孜不倦去鉆研和發(fā)現(xiàn)在他眼前的世界,借著科學(xué)我們可以發(fā)現(xiàn)事物的真相和自然世界的法則,比如科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了高溫超導(dǎo)電性,這個發(fā)現(xiàn)就是建基于從觀察中得出的論據(jù)。另一方面,藝術(shù)則是人類的一種創(chuàng)作。人在思考中,獲得了重要的發(fā)現(xiàn)和感悟,這個發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)并非建立在理性思考,而是在感情上。
表面上,藝術(shù)和科學(xué)是根本上相逆的東西,但事實并非如此。
數(shù)學(xué)模型來自思維概念
讓我從人類發(fā)展的歷史,回溯到數(shù)千年前,現(xiàn)實世界和人類之間有什么關(guān)聯(lián)。什么是現(xiàn)實世界?它意味著什么?當(dāng)時的人類是如何思考這個世界?我們不理解現(xiàn)實世界,也不理解思維,更不理解它們之間的關(guān)系。
這是其中一個重要的哲學(xué)問題。當(dāng)然,哲學(xué)問題并不必然有確切的答案。我們能通過提出問題,從中學(xué)習(xí)獲得智慧,但卻永不能得到一個確切的答案。因此,古今哲學(xué)家為了一個哲學(xué)問題,而消磨了上千年時間。事實上,人類提出科學(xué)理論,是把我們所觀察到的事物,以一個模型或框架去理解、解釋和發(fā)展規(guī)律。這樣,在某種程度上,科學(xué)理論和數(shù)學(xué)模型十分類似。它們都是人類思維內(nèi)的概念,我們可將這些概念,加諸在外間所觀察的事物,好以理解它們。
因此,在某程度上,科學(xué)有兩個部分,包括外間實驗的數(shù)據(jù),以及人類內(nèi)在思維所得的數(shù)學(xué)模型,并嘗試把兩者融合起來,得到一個整體的認(rèn)識。同樣的,藝術(shù)也有兩個部分。一、源于藝術(shù)家發(fā)自內(nèi)在感受的創(chuàng)作,二、在外在物理上所受到的約束。例如,數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和建筑物的透視點都受到來自外在的約束,是藝術(shù)家不能置之不理的。
所以,藝術(shù)家應(yīng)用他們的創(chuàng)作,但也是生活在各種已被發(fā)現(xiàn)的“框架”之內(nèi),所謂“魚在水中,水也在魚中”。在某程度上,藝術(shù)和科學(xué)都分享著同樣的特性,就是它們在“發(fā)現(xiàn)”這些框架,并在這框架之內(nèi)進(jìn)行各種創(chuàng)作。
這框架是科學(xué)所仗賴的數(shù)據(jù),或是我們研究能力所及的范圍。藝術(shù)家同樣面對框架,但他們嘗試把自己的意念形象化。理性和感性是科學(xué)的基礎(chǔ),也是藝術(shù)的基礎(chǔ),但大多數(shù)人都認(rèn)為,二者是河水不犯井水,甚至風(fēng)馬牛不相及。然而,從近年有關(guān)人腦的研究,我們知悉了一些令人振奮的成果,它顯示出人腦中理性和感性,彼此相互影響著“你中有我,我中有你”。或許,我們能在將來對這方面知道更多,了解更多。所以,數(shù)學(xué)是藝術(shù)也是科學(xué)。
柏拉圖世界是早已存在還是創(chuàng)造出來的?
讓我們嘗試從多種方法去說明這兩個方面。問題在于,數(shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的東西,是存在于現(xiàn)實世界中?還是存在于柏拉圖式的理想世界?柏拉圖用他構(gòu)想的概念來理解數(shù)學(xué),例如,他認(rèn)為圓形可以是完美的。但完美的圓,在現(xiàn)實世界中從不存在,所有我們所畫的圓形,總會帶點棱角。
事實上,完美的圓形只是一種想法。我們現(xiàn)在稱柏拉圖式的世界,確實是一種想法,一個理想世界。在現(xiàn)實世界中,我們見到的圓形,只是柏拉圖理想世界的一種想法、反映和替代。但也有人相信,柏拉圖世界確實存在,在那里,所有偉大的數(shù)學(xué)想法都能完美地、和諧地共存。然而,現(xiàn)實世界里竟存在著雜亂,于是科學(xué)家便以某些方法,把現(xiàn)實世界和想像世界兩者合并。
接下來,大家也許會問:究竟柏拉圖式的世界是否從一開始就存在,只待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)嗎?抑或純粹是人類智慧所創(chuàng)造的?它是一件發(fā)明還是一次發(fā)現(xiàn)?也就是說,我們發(fā)明了柏拉圖式的世界,接著,這個理想世界反映了現(xiàn)實世界。
這是一個已存在了上千年的疑問。這正是一條我們可以辯論,卻會獲得不同答案的問題。一般來說,我們從一些基礎(chǔ)層面的例子去探討這些問題,會比進(jìn)行抽象層面的哲學(xué)討論,會更加有效。因此,我將透過一些簡單的例子,去討論這個問題:數(shù)學(xué)是一種發(fā)明,或是發(fā)現(xiàn)?
在進(jìn)一步討論之前,讓我指出一點。香港是一個以商業(yè)為本的城市。許多人們來到大學(xué)念書或教書,都難免考慮到金錢和物質(zhì)的問題。從這方面來說,發(fā)明和發(fā)現(xiàn)之間的一個主要區(qū)別,就是透過發(fā)明可以獲得專利權(quán),從中可以賺取金錢,而發(fā)現(xiàn)卻不是。例如,馬克士威引進(jìn)了電磁學(xué)理論,如果他發(fā)現(xiàn)的公式可以取得專利,恐怕他已經(jīng)和微軟的蓋茨一樣富有了。但是,你不能為自己所發(fā)現(xiàn)的東西取得專利權(quán)。人類基因組是近期另一個例子,并且引起了許多爭論,比如說,我們能否為人類基因的發(fā)現(xiàn)而取得專利?因為這個題目涉及龐大的利益,所以經(jīng)常引起廣泛的爭論。因此,這是一項發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)的問題,不純?nèi)皇且粋€哲學(xué)議題,也引起了強烈的商業(yè)回響和爭論。
現(xiàn)在,讓我先以柏拉圖和希臘人的數(shù)學(xué)概念作為我們討論的一個例子。柏拉圖感興趣的其中一個問題,是著名的“正多面體”,也被稱為“柏拉圖立體”。“正多面體”有 5 個:
正四面體,由4 個三角形組成;
正六面體,即正立方體;
正八面體,即一個雙金字塔;
正十二面體,每一個面皆是正五邊形;
正二十面體,每一個面皆是等邊三角形。
一個正四面體有4個頂點,6 條邊和4個面;
正方體有 8 個頂點,12 條邊和 6 個 面;
正二十面體,有20 個三角形的表面,12 個頂點,和30條邊。同時,它們成雙出現(xiàn),就是面的數(shù)目和頂點的數(shù)目,可以互相交替,稱為對偶。首要的問題是,像正二十面體或其他立體的這些物體,究竟是被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明出來?
你可以爭論:立方體是一件明顯存在于周圍中的東西,就像方糖一樣;而四面體或許也是這樣。但是,于大自然中找到正二十面體卻十分困難。我不認(rèn)為它們以任何形式存在,所以,正二十面體看來更加像是一件人類的發(fā)明。雖然它的存在歸功于柏拉圖,但我發(fā)現(xiàn)事實上在公元前2000年,即4000年前的蘇格蘭,便存在著正二十面體和所有5個正多邊形立體。這比柏拉圖的年代更早出現(xiàn),至少比柏拉圖早了千年。這些可能是文物的石塊,出現(xiàn)于蘇格蘭還沒發(fā)展出高度文明的一個時代里,而當(dāng)時已經(jīng)有人研究出如何做出全部五個立體。
—版權(quán)聲明—
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總結(jié)
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