邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929年4月22日~2019年1月11日），英國數(shù)學(xué)家，畢業(yè)于劍橋大學(xué)三一學(xué)院，前英國皇家學(xué)會會長，被譽為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

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邁克爾·阿蒂亞出生于英國倫敦，童年時代在中東地區(qū)度過，1945年跟隨家人移居英國，之后以前三名的成績考入劍橋大學(xué)三一學(xué)院。1955年獲得博士學(xué)位，畢業(yè)后在普林斯頓高等研究院、劍橋大學(xué)彭布羅克學(xué)院、牛津大學(xué)等學(xué)術(shù)機構(gòu)研究、任教，并在1962年成為英國皇家學(xué)會會員。

邁克爾·阿蒂亞爵士的主要研究領(lǐng)域是幾何，而到20世紀(jì)70年代他把重心轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)物理學(xué)上。1960年代他與艾沙道爾·辛格建立合作關(guān)系，共同證明了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，該定理在數(shù)學(xué)的一些領(lǐng)域均有重要作用。因此他在1966年榮獲菲爾茲獎，2004年又與艾沙道爾·辛格共同獲得阿貝爾獎。除此之外，邁克爾·阿蒂亞爵士在拓?fù)洹⑽⒎址匠獭?shù)學(xué)物理、代數(shù)等領(lǐng)域也有杰出成就。1983年，被英國皇室授予下級勛位爵士。1992年，獲得英國功績勛章。

“數(shù)學(xué)，是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)?”，這是一個相當(dāng)富哲學(xué)性的題目。這個題目并非專為數(shù)學(xué)家而設(shè)，而是適合更廣泛的讀者。我們真正關(guān)心的，是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界及其他事情之間的關(guān)系。

數(shù)學(xué)可以說是處于藝術(shù)和科學(xué)之間的學(xué)科，而數(shù)學(xué)和科學(xué)的關(guān)系，幾乎人所共知。例如牛頓、麥克斯韋(James Clerk Maxwell)和愛因斯坦所提出的理論，是建基于很堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上。反過來，科學(xué)家的觀察和理論驗證，又對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生很大的影響。然而，數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的關(guān)系，便不是那樣顯而易見了。

數(shù)學(xué)是藝術(shù)也是科學(xué)

人們認(rèn)為，藝術(shù)和數(shù)學(xué)是兩碼子事，其實兩者之間是有關(guān)聯(lián)的。首先，數(shù)學(xué)是建基于邏輯——嚴(yán)密的邏輯思維。在哲學(xué)領(lǐng)域里，同樣也十分注重邏輯和思考分析。例如，兩位在不同年代的偉大哲學(xué)家，古希臘的柏拉圖和近代的羅素，他們亦為數(shù)學(xué)家，因為二人的思想都采用大量數(shù)學(xué)語言，無可置疑，邏輯屬于哲學(xué)的一部分。

同時，邏輯也是建構(gòu)藝術(shù)的基礎(chǔ)。

當(dāng)我們說到某些藝術(shù)的項目，如繪畫，便會趣用到很多透視的方法，也即是空間里的三維觀點;透視圓法，亦被視為繪畫藝術(shù)發(fā)展的一大發(fā)現(xiàn)。又例如音樂，音樂使用了音符作為基礎(chǔ)，但當(dāng)中的和弦其實是一種十分精確和美妙的數(shù)學(xué)形式，這也表現(xiàn)出藝術(shù)和數(shù)學(xué)的關(guān)系。建筑學(xué)追求的是建筑物的美，這取決于建筑物本身的比例和規(guī)模等;無論是幾何學(xué)，或幾何學(xué)建筑，都是建筑學(xué)中的十分重要的部分。

數(shù)學(xué)與大量藝術(shù)項目之間的關(guān)系可謂千絲萬縷。概言之，藝術(shù)就是主觀的美。在物理學(xué)，對美的追求，是來源于藝術(shù)的基本概念。同樣，對美的追求，在數(shù)學(xué)亦是重要的環(huán)節(jié);因此可以說，數(shù)學(xué)既是藝術(shù)，也是科學(xué)。

科學(xué)和藝術(shù)之間的區(qū)別，可以這樣加以闡釋——科學(xué)家孜孜不倦去鉆研和發(fā)現(xiàn)在他眼前的世界，借著科學(xué)我們可以發(fā)現(xiàn)事物的真相和自然世界的法則，比如科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了高溫超導(dǎo)電性，這個發(fā)現(xiàn)就是建基于從觀察中得出的論據(jù)。另一方面，藝術(shù)則是人類的一種創(chuàng)作。人在思考中，獲得了重要的發(fā)現(xiàn)和感悟，這個發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)并非建立在理性思考，而是在感情上。

表面上，藝術(shù)和科學(xué)是根本上相逆的東西，但事實并非如此。

數(shù)學(xué)模型來自思維概念

讓我從人類發(fā)展的歷史，回溯到數(shù)千年前，現(xiàn)實世界和人類之間有什么關(guān)聯(lián)。什么是現(xiàn)實世界?它意味著什么?當(dāng)時的人類是如何思考這個世界?我們不理解現(xiàn)實世界，也不理解思維，更不理解它們之間的關(guān)系。

這是其中一個重要的哲學(xué)問題。當(dāng)然，哲學(xué)問題并不必然有確切的答案。我們能通過提出問題，從中學(xué)習(xí)獲得智慧，但卻永不能得到一個確切的答案。因此，古今哲學(xué)家為了一個哲學(xué)問題，而消磨了上千年時間。事實上，人類提出科學(xué)理論，是把我們所觀察到的事物，以一個模型或框架去理解、解釋和發(fā)展規(guī)律。這樣，在某種程度上，科學(xué)理論和數(shù)學(xué)模型十分類似。它們都是人類思維內(nèi)的概念，我們可將這些概念，加諸在外間所觀察的事物，好以理解它們。

因此，在某程度上，科學(xué)有兩個部分，包括外間實驗的數(shù)據(jù)，以及人類內(nèi)在思維所得的數(shù)學(xué)模型，并嘗試把兩者融合起來，得到一個整體的認(rèn)識。同樣的，藝術(shù)也有兩個部分。一、源于藝術(shù)家發(fā)自內(nèi)在感受的創(chuàng)作，二、在外在物理上所受到的約束。例如，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和建筑物的透視點都受到來自外在的約束，是藝術(shù)家不能置之不理的。

所以，藝術(shù)家應(yīng)用他們的創(chuàng)作，但也是生活在各種已被發(fā)現(xiàn)的“框架”之內(nèi)，所謂“魚在水中，水也在魚中”。在某程度上，藝術(shù)和科學(xué)都分享著同樣的特性，就是它們在“發(fā)現(xiàn)”這些框架，并在這框架之內(nèi)進(jìn)行各種創(chuàng)作。

這框架是科學(xué)所仗賴的數(shù)據(jù)，或是我們研究能力所及的范圍。藝術(shù)家同樣面對框架，但他們嘗試把自己的意念形象化。理性和感性是科學(xué)的基礎(chǔ)，也是藝術(shù)的基礎(chǔ)，但大多數(shù)人都認(rèn)為，二者是河水不犯井水，甚至風(fēng)馬牛不相及。然而，從近年有關(guān)人腦的研究，我們知悉了一些令人振奮的成果，它顯示出人腦中理性和感性，彼此相互影響著“你中有我，我中有你”。或許，我們能在將來對這方面知道更多，了解更多。所以，數(shù)學(xué)是藝術(shù)也是科學(xué)。

柏拉圖世界是早已存在還是創(chuàng)造出來的?

讓我們嘗試從多種方法去說明這兩個方面。問題在于，數(shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的東西，是存在于現(xiàn)實世界中?還是存在于柏拉圖式的理想世界?柏拉圖用他構(gòu)想的概念來理解數(shù)學(xué)，例如，他認(rèn)為圓形可以是完美的。但完美的圓，在現(xiàn)實世界中從不存在，所有我們所畫的圓形，總會帶點棱角。

事實上，完美的圓形只是一種想法。我們現(xiàn)在稱柏拉圖式的世界，確實是一種想法，一個理想世界。在現(xiàn)實世界中，我們見到的圓形，只是柏拉圖理想世界的一種想法、反映和替代。但也有人相信，柏拉圖世界確實存在，在那里，所有偉大的數(shù)學(xué)想法都能完美地、和諧地共存。然而，現(xiàn)實世界里竟存在著雜亂，于是科學(xué)家便以某些方法，把現(xiàn)實世界和想像世界兩者合并。

接下來，大家也許會問:究竟柏拉圖式的世界是否從一開始就存在，只待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)嗎?抑或純粹是人類智慧所創(chuàng)造的?它是一件發(fā)明還是一次發(fā)現(xiàn)?也就是說，我們發(fā)明了柏拉圖式的世界，接著，這個理想世界反映了現(xiàn)實世界。

這是一個已存在了上千年的疑問。這正是一條我們可以辯論，卻會獲得不同答案的問題。一般來說，我們從一些基礎(chǔ)層面的例子去探討這些問題，會比進(jìn)行抽象層面的哲學(xué)討論，會更加有效。因此，我將透過一些簡單的例子，去討論這個問題:數(shù)學(xué)是一種發(fā)明，或是發(fā)現(xiàn)?

在進(jìn)一步討論之前，讓我指出一點。香港是一個以商業(yè)為本的城市。許多人們來到大學(xué)念書或教書，都難免考慮到金錢和物質(zhì)的問題。從這方面來說，發(fā)明和發(fā)現(xiàn)之間的一個主要區(qū)別，就是透過發(fā)明可以獲得專利權(quán)，從中可以賺取金錢，而發(fā)現(xiàn)卻不是。例如，馬克士威引進(jìn)了電磁學(xué)理論，如果他發(fā)現(xiàn)的公式可以取得專利，恐怕他已經(jīng)和微軟的蓋茨一樣富有了。但是，你不能為自己所發(fā)現(xiàn)的東西取得專利權(quán)。人類基因組是近期另一個例子，并且引起了許多爭論，比如說，我們能否為人類基因的發(fā)現(xiàn)而取得專利?因為這個題目涉及龐大的利益，所以經(jīng)常引起廣泛的爭論。因此，這是一項發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)的問題，不純?nèi)皇且粋€哲學(xué)議題，也引起了強烈的商業(yè)回響和爭論。

現(xiàn)在，讓我先以柏拉圖和希臘人的數(shù)學(xué)概念作為我們討論的一個例子。柏拉圖感興趣的其中一個問題，是著名的“正多面體”，也被稱為“柏拉圖立體”。“正多面體”有 5 個:

正四面體，由4 個三角形組成;

正六面體，即正立方體;

正八面體，即一個雙金字塔;

正十二面體，每一個面皆是正五邊形;

正二十面體，每一個面皆是等邊三角形。

一個正四面體有4個頂點，6 條邊和4個面;

正方體有 8 個頂點，12 條邊和 6 個 面;

正二十面體，有20 個三角形的表面，12 個頂點，和30條邊。同時，它們成雙出現(xiàn)，就是面的數(shù)目和頂點的數(shù)目，可以互相交替，稱為對偶。首要的問題是，像正二十面體或其他立體的這些物體，究竟是被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明出來?

你可以爭論:立方體是一件明顯存在于周圍中的東西，就像方糖一樣;而四面體或許也是這樣。但是，于大自然中找到正二十面體卻十分困難。我不認(rèn)為它們以任何形式存在，所以，正二十面體看來更加像是一件人類的發(fā)明。雖然它的存在歸功于柏拉圖，但我發(fā)現(xiàn)事實上在公元前2000年，即4000年前的蘇格蘭，便存在著正二十面體和所有5個正多邊形立體。這比柏拉圖的年代更早出現(xiàn)，至少比柏拉圖早了千年。這些可能是文物的石塊，出現(xiàn)于蘇格蘭還沒發(fā)展出高度文明的一個時代里，而當(dāng)時已經(jīng)有人研究出如何做出全部五個立體。

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