圆周率的诞生
在三國兩晉南北朝時代，我國的數(shù)學科學已閃爍著耀眼的光芒，出現(xiàn)了歷史上杰出的數(shù)學家劉徽和祖沖之。這兩個不朽的人物為我國數(shù)學奠定了牢固的基礎(chǔ)。
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先說劉徽，他是三國時代魏國人。關(guān)于他的身世和生平事跡，由于資料有限，我們了解得很少。他的活動區(qū)域大致在山東半島和江蘇北部一帶。
劉徽
劉徽自幼熟讀《九章算術(shù)》，在魏陳留王景元四年(263)前后，為我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》作注，做了許多創(chuàng)造性的數(shù)學理論工作，對我國古代數(shù)學體系的形成和發(fā)展影響很大，在數(shù)學史上占有突出的地位。
《九章算術(shù)》體現(xiàn)了中國古代自先秦到東漢以來的數(shù)學成就。但當時沒有發(fā)明印書的方法。這樣好的書也只能靠筆來抄寫。
在輾轉(zhuǎn)傳抄的過程中，難免會出現(xiàn)很多的錯誤，加上原書中是以問題集的形式編成，文字過于簡單，對解法的理論也沒有科學的說明。這種狀況明顯地妨礙了數(shù)學科學的進一步發(fā)展。
劉徽為《九章算術(shù)》作注，在很大程度上彌補了這個重大的缺陷。在《九章算術(shù)注》中，他精辟地闡明了各種解題方法的道理，提出了簡要的證明，指出個別解法的錯誤。
尤其可貴的是，他還做了許多創(chuàng)造性的工作，提出了不少遠遠超過原著的新理論。可以說，劉徽的數(shù)學理論工作為建立具有獨特風格的我國古代數(shù)學科學的理論體系，打下了堅實的基礎(chǔ)。
劉徽在《九章算術(shù)注》中，最主要的貢獻是創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，開創(chuàng)了圓周率研究的新階段。
圓周率即圓的周長和直徑的比率，它是數(shù)學上的一個重要的數(shù)據(jù)，因此，推算出它的準確數(shù)值，在理論上和實踐上都有重要的意義和貢獻。
在世界數(shù)學史上，許多國家的數(shù)學家都曾經(jīng)把圓周率作為重要研究課題，為求出它的精確數(shù)值作了很大努力。在某種意義上說，一個國家歷史上圓周率精確數(shù)值的準確程度，可以衡量這個國家數(shù)學的發(fā)展情況。
《九章算術(shù)》原著中，沿用自古以來的數(shù)據(jù)，即所謂“徑一周三”取π=3，這是很不精確的。到了后來，三國時期的王蕃(230～266)采用了3.1566，這雖然比“徑一周三”有了進步，但仍不夠精密，而且也沒有理論根據(jù)。
怎樣才能算出比較精密的圓周率呢?劉徽苦苦地思索著。
一天，劉徽信步走出門去，去大自然呼吸新鮮的空氣。在他的眼前，群山綿綿不斷地伸展開去，好像數(shù)學哲理似的奧妙莫測。
劉徽的思路仿佛進入群山的巍峨中，鑒證著大自然的不可思議的創(chuàng)造。劉徽抬眼望去，遠處一個高聳入云的頂峰上，有一座小小的廟宇，他猜測著，數(shù)學的殿堂是不是也和這廟宇一樣，風光而又曲折。
一陣叮叮當當?shù)捻懧曇鹆藙⒒盏淖⒁?#xff0c;他朝著響聲走去，原來這是座石料加工場。這里的石匠師傅們正把方形的石頭打鑿成圓柱形的柱子。
圓的啟發(fā)
劉徽頗感有趣，蹲在石匠師傅的身邊認真地觀看著。只見一塊方石，經(jīng)石匠師傅砍去四角，就變成一塊八角形的石頭，再去掉八角又變成十六角形，這樣一鑿一斧地干下去，一方形石料加工成光滑的圓柱了。
劉徽恍然大悟，馬上跑回家去，認真地在地上比劃著，原來方和圓是可以互相轉(zhuǎn)化的。
他把一個圓周分成相等的6段，連接這些分點組成圓內(nèi)正六邊形，再將每一分弧二等分，又可得到圓內(nèi)接正12邊形，如此無窮盡地分割下去，就可得到一個與圓完全相合的正“多邊形”。
劉徽由此指出：圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，但“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”。
這段話包含有初步的極限思想，思路非常明晰，為我國古代的圓周率計算確立了理論基礎(chǔ)。
劉徽使用了這個方法，從圓內(nèi)接正6邊形算起，邊數(shù)依次加倍至正192邊形的面積，得到的圓周率π的近似值是157/50，這相當于π=3.14。
他還繼續(xù)計算，直到求出了正3072邊形的面積，進一步得到π的近似值是3927/1250，這相當于π=3.1416。
3.14和3.1416這兩個數(shù)據(jù)的準確程度比較高，在當時世界上是很先進的數(shù)據(jù)。
劉徽還明確地概括了正負數(shù)的加減法則，提出了多元一次方程組的計算程序，論證了求最大公約數(shù)的原理，對最小公倍數(shù)的算法也有一定地研究。
這些都是富有創(chuàng)造性的成果，因此可以說，劉徽通過注解《九章算術(shù)》，豐富和完善了中國古代的數(shù)學科學體系，為后世的數(shù)學發(fā)展奠立了基礎(chǔ)。
劉徽撰寫的《重差》，原是《九章算術(shù)注》的第十卷，后來單獨刊行，被稱為《海島算經(jīng)》。這是一部說明各種高度或距離的測量和計算方法的著作，即關(guān)于幾何測量方面的著作。
有一次，劉徽和朋友們到海邊去散步，劉徽抬眼望去，那是一片偉麗而寧靜的、碧藍無邊的海。它在眼光所及的遠處，與淡藍色的云天相連。
微風愛憐地撫摸著海的綢緞似的胸膛，太陽用自己的熱烈的光線溫暖著它。而海，在這些愛撫的溫柔力量之下睡夢似的喘息著，使沸熱的空氣充滿了蒸發(fā)的鹽味。
淡綠的波浪跑到黃沙上來，拋擲著雪白的泡沫，吻著劉徽及朋友們的腳，劉徽心曠神怡，索性坐在沙灘上，讓那微咸的海水潤濕著褲腳。
這時，一個朋友指著茫茫大海中聳立著的一座孤島問道：“誰知道小島有多高?多遠?”另一朋友想了想：“只要準備一只小船和足夠的繩子，我就能量出小島的距離和高度。”
眾人哄地笑了起來，這得需要多少繩子，即使給你繩子，你也量不出小島的距離和高度。因為繩子有伸縮性，而小島有斜坡。再說，這辦法也太笨了。
這時，劉徽在一旁沉默不語，有人請他發(fā)表意見。劉徽說：“我根本不需要到小島去，只需兩根竹竿，即可量出它的高和遠。”
朋友們睜大雙眼愣愣地望著劉徽。劉徽見朋友不相信他，便在海灘上畫出圖來，解釋道：“在岸邊垂直豎立兩根一樣長的桿子GH和EF，使它們與小島AB位于同一方向上，然后分別在與兩桿頂E、G與島尖A成一直線的地面C和D點作記號便可以了。”
這樣一來CF、DH、HF、EF的長度我們都可量出來，現(xiàn)在來算出島的距離BF和島的高度AB，劉徽算出的結(jié)果是：
AB=EF×HF/DH-CF+EF
BF=CF×HF/DH-CF
具體怎樣計算，我們就不再一一贅述了，讀者如有興趣的話，不妨一試，來證明劉徽的公式。
劉徽在《九章算術(shù)注》的自序中說：“事類相類，各有攸歸。故枝條雖分，而同本干者，知發(fā)其一端而已。”
劉徽的研究方法和研究成果對我國古代數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了非常深刻的影響，為我國數(shù)學科學史增添了光輝的一頁。
近年來，劉徽的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》被翻譯成許多國家的文字，向世界顯示了中華民族燦爛的古代文明。
劉徽之后約200年，我國南北朝時期又出現(xiàn)了一位大科學家祖沖之。他認為劉徽采用割圓術(shù)只算到正3072邊形就停止了，得出的結(jié)果還是不夠準確。
如果能在劉徽3072邊形的基礎(chǔ)上割之又割，作出6144、12288……邊形，不就可以求出更精確的圓周率嗎?
祖沖之
祖沖之不滿足于前人的成就，決定攀登新的高峰。他通過長期刻苦鉆研，在兒子祖暅的協(xié)助下，反復(fù)測算，終于求得了精確度更高的圓周率。《隋書?律歷志》中記載了他的成就：
“宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽(3.1415927丈)，朒數(shù)3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒6忽(3.1515926丈)，正數(shù)在盈肭之間。密律：圓徑113，圓周355。約律：圓徑7，周23。”
從上述文字記載來看，祖沖之對圓周率貢獻有三點：
（1）計算出圓周率在3.1415926到3.1415927之間，即3.1415926<π<3.1415927，在世界數(shù)學史上第一次把圓周率推算準確到小數(shù)點后7位。這在國外直到1000年后，15世紀阿拉伯數(shù)學家阿爾?卡西計算到小數(shù)16位，才打破祖沖之的紀錄。
（2）祖沖之明確地指出了圓周率的上限和下限，用兩個高準確度的固定數(shù)作界限，精確地說明了圓周率的大小范圍，實際上已確定了誤差范圍，這是前所未有的。
（3）祖沖之提出約率20/7和密率355/113。這一密率值是世界上第一次提出，所以有人主張叫它“祖率”。在歐洲，德國人奧托和荷蘭人安托尼茲得到這一結(jié)果，已是16世紀了。祖沖之是怎樣得出這一結(jié)果的呢?他應(yīng)該是從圓內(nèi)接正6邊形、12邊形、24邊形……一直計算到12288邊形和24576邊形，依次求出它們的邊長和面積。
這需要對有9位有效數(shù)字的大數(shù)進行加減乘除和開方運算，共一百多步，其中近50次的乘方和開方，有效數(shù)字達17位之多。
當時，數(shù)字運算還沒有用紙、筆和數(shù)碼，而是用落后的籌算法。通過縱橫相間的小竹棍來演算，可見祖沖之付出多么艱巨的勞動，需要具備多么嚴肅認真的精神。
祖沖之和他的兒子祖暅還用巧妙的方法解決了球體積的計算問題。在他們之前，《九章算術(shù)》中已經(jīng)正確地解決了圓面積和圓柱體體積的計算問題。
但是在這本書中，關(guān)于球體積的計算公式卻是錯誤的。劉徽雖然在《九章算術(shù)注》中指出了這個錯誤，但是也未能求出球體積的計算公式。200年后，祖沖之父子繼續(xù)劉徽的工作，在我國數(shù)學史上第一次導出了正確的球體積公式。值得注意的是，祖暅在推算求證的過程中，得出了“等高處的橫截面積相等，那么二個立體的體積必然相等”的結(jié)論。
這個問題在1000年后才由意大利數(shù)學家卡瓦列利提出，被人稱為“卡瓦列利定理”，其實我們完全有權(quán)利稱它為“祖暅定理”。
祖沖之父子的研究成果匯集在一部名叫《綴術(shù)》的著作中，被定為“十部算經(jīng)”之一。可惜的是，到了宋朝以后，這部偉大的著作就失傳了。
祖沖之的科學成就，在我國以至世界科學技術(shù)發(fā)展史上，將永遠放射光芒。為了紀念這位偉大的科學家，國際上把月球背面的一個山谷，命名為“祖沖之”，可見世界對祖沖之的敬仰。
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