更多正態(tài)分布的介紹，參見

? ? ? ??正態(tài)分布的前世今生（1）

? ? ? ??正態(tài)分布的前世今生（2）

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六、開疆?dāng)U土，正態(tài)分布的進(jìn)一步發(fā)展

19世紀(jì)初，隨著拉普拉斯中心極限定理的建立與高斯正態(tài)誤差理論的問世，正態(tài)分布開始嶄露頭角，逐步在近代概率論和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中大放異彩。在概率論中，由于拉普拉斯的推動，中心極限定理發(fā)展成為現(xiàn)代概率論的一塊基石。而在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，在高斯的大力提倡之下，正態(tài)分布開始逐步暢行于天下。

6.1 論劍中心極限定理

在這個問題的處理上，拉普拉斯充分展示了其深厚的數(shù)學(xué)分析功底和高超的概率計算技巧，他首次引入了特征函數(shù)(也就是對概率密度函數(shù)做傅立葉變換)來處理概率分布的神妙方法，而這一方法經(jīng)過幾代概率學(xué)家的發(fā)展，在現(xiàn)代概率論里面占有極其重要的位置。基于這一分析方法，拉普拉斯通過近似計算，在他的1812年的名著《概率分析理論》中給出了中心極限定理的一般描述：

多么奇妙的性質(zhì)，隨意的一個概率分布中生成的隨機(jī)變量，在序列和(或者等價的求算術(shù)平均)的操作之下，表現(xiàn)出如此一致的行為，統(tǒng)一的規(guī)約到正態(tài)分布。

概率學(xué)家們進(jìn)一步的研究結(jié)果更加令人驚訝，序列求和最終要導(dǎo)出正態(tài)分布的條件并不需要這么苛刻，即便X1,?,Xn并不獨立，也不具有相同的概率分布形式，很多時候他們求和的最終歸宿仍然是正態(tài)分布。一切的紛繁蕪雜都在神秘的正態(tài)曲線下被消解，這不禁令人浮想聯(lián)翩。中心極限定理恐怕是概率論中最具有宗教神秘色彩的定理，如果有一位牧師拿著一本圣經(jīng)向我證明上帝的存在，我是絲毫不會買賬；可是如果他向我展示中心極限定理并且聲稱那是神跡，我可能會有點猶豫，從而樂意傾聽他的布道。如果我能坐著時光機(jī)穿越到一個原始部落中，我也一定會帶上中心極限定理，并勸說部落的酋長把正態(tài)分布作為他們的圖騰。

中心極限定理雖然表述形式簡潔，但是嚴(yán)格證明它卻非常困難。中心極限定理就像一張大蜘蛛網(wǎng)，棣莫弗和拉普拉斯編織了它的雛形，可是這張網(wǎng)上漏洞太多，一個多世紀(jì)來，數(shù)學(xué)家們就像蜘蛛一樣前赴后繼，努力想把所有的漏洞都補(bǔ)上。在十九世紀(jì)，珀松(Poission)、狄利克萊(Dirichlet)、柯西(Cauchy)、貝塞爾(Bessel)這些大蜘蛛都曾經(jīng)試圖對把這張網(wǎng)上的漏洞補(bǔ)上。從現(xiàn)代概率論來看角度，整個十九世紀(jì)的經(jīng)典概率理論并沒有能輸出一個一般意義下嚴(yán)格的證明。而真正把漏洞補(bǔ)上的是來自俄羅斯的幾位蜘蛛俠：切比雪夫(Chebyshev)、馬爾可夫(Markov)和李雅普諾夫(Lyapunov)。俄羅斯是一個具有優(yōu)秀的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的民族，產(chǎn)生過幾位頂尖的的數(shù)學(xué)家，在現(xiàn)代概率論的發(fā)展中，俄羅斯的圣彼得堡學(xué)派可以算是頂了半邊天。把漏洞補(bǔ)上的嚴(yán)格方案的雛形是從切比雪夫1887年的工作開始的，不過切比雪夫的證明存在一些漏洞。馬爾可夫和李雅普諾夫都是切比雪夫的學(xué)生，馬爾科夫沿著老師的基于矩法的思路在蜘蛛網(wǎng)上辛勤編織，但洞還是補(bǔ)得不夠嚴(yán)實；李雅普諾夫不像馬爾可夫那樣深受老師的影響，他沿著拉普拉斯當(dāng)年提出的基于特征函數(shù)的思路，于1901年給出了一個補(bǔ)洞的方法，切比雪夫?qū)@個方法大加贊賞，李雅普諾夫的證明被認(rèn)為是第一個在一般條件下的嚴(yán)格證明；而馬爾科夫也不甘示弱，在1913年基于矩法也把洞給補(bǔ)嚴(yán)實了。

【華山論劍】

20世紀(jì)初期到中期，中心極限定理的研究幾乎吸引了所有的概率學(xué)家，這個定理儼然成為了概率論的明珠，成為了各大概率論武林高手華山論劍的場所。不知道大家對中心極限定理中的“中心”一詞如何理解，許多人都認(rèn)為'中心'這個詞描述的是這個定理的行為：以正態(tài)分布為中心。這個解釋看起來確實合情合理，不過并不符合該定理被冠名的歷史。事實上，20世紀(jì)初概率學(xué)家大都稱呼該定理為極限定理(LimitTheorem)，由于該定理在概率論中處于如此重要的中心位置，如此之多的概率學(xué)武林高手為它魂牽夢繞，于是數(shù)學(xué)家波利亞(G.Polya)于1920年在該定理前面冠以'中心'一詞，由此后續(xù)人們都稱之為中心極限定理。

數(shù)學(xué)家們總是極其嚴(yán)謹(jǐn)苛刻的，在一個給定條件下嚴(yán)格證明了中心極限定理之后，數(shù)學(xué)家就開始探尋中心極限定理成立的各種條件，詢問這個條件是否充分必要條件，并且進(jìn)一步追問序列和在該條件下以什么樣的速度收斂到正態(tài)分布。從1922年Lindeberg基于一個比較寬泛容易滿足的條件，給中心極限定理提出了一個很容易理解的初等證明。這個條件我們現(xiàn)在稱之為Lindeberg條件。然后概率學(xué)家費勒和列維就開始追問Lindeberg條件是充分必要的嗎？基于Lindeberg的工作，費勒和列維都于1935年獨立的得到了中心極限定理成立的充分必要條件，這個條件可以用直觀的非數(shù)學(xué)語言描述如下：

[中心極限定理充要條件]假設(shè)獨立隨機(jī)變量序列Xi的中值為0。要使序列和S=∑i=1nXi的分布函數(shù)逼近正態(tài)分布，以下條件是充分必要的:

· ? ? ? ?1. 如果Xi相對于序列和S的散布(也就是標(biāo)準(zhǔn)差)是不可忽略的，則Xi的分布必須接近正態(tài)分布

· ? ? ? ?2. 對于所有可忽略的Xi,取絕對值最大的那一項，這個絕對值相對于序列和也是可忽略的

事實上這個充分必要條件發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)，費勒和列維之間還著實出現(xiàn)了一些爭論，當(dāng)然他們倆都是獨立的在幾乎同一時間解決了這一個問題。在列維證明這個充分必要條件的過程中，他發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的一個有趣的性質(zhì)：我們在數(shù)理統(tǒng)計中都學(xué)過，如果兩個獨立隨機(jī)變量X,Y具有正態(tài)分布，則S=X+Y也具有正態(tài)分布；奇妙的是這個定理的逆定理也成立：

[正態(tài)分布的血統(tǒng)]如果X,Y是獨立的隨機(jī)變量，且S=X+Y是正態(tài)分布，那么X,Y也是正態(tài)分布。

正態(tài)分布真是很奇妙，就像蚯蚓一樣具有再生的性質(zhì)，你把它一刀兩斷，它生成兩個正態(tài)分布；或者說正態(tài)分布具有極其高貴的優(yōu)良血統(tǒng)，正態(tài)分布的組成成分中只能包含正態(tài)分布，而不可能含有其它雜質(zhì)。一流的數(shù)學(xué)家都是接近上帝的人，善于猜測上帝的意圖；1928年Levy就猜到了這個定理，并在1935年使用這個定理對中心極限定理的充分必要條件作了證明。有意思的是列維卻無法證明正態(tài)分布的這個看上去極其簡單的再生性質(zhì)，所以他的證明多少讓人覺得有些瑕疵。不過列維的救星很快就降臨了，1936年Cramer證明他的猜想完全正確。

中心極限定理成為了現(xiàn)代概率論中首屈一指的定理，事實上中心極限定理在現(xiàn)代概率論里面已經(jīng)不僅是指一個定理，而是指一系列相關(guān)的定理。統(tǒng)計學(xué)家們也基于該定理不斷地完善拉普拉斯提出的元誤差理論，并據(jù)此解釋為何世界上正態(tài)分布如此常見。而中心極限定理同時成為了現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)中大樣本理論的基礎(chǔ)。

6.2 進(jìn)軍近代統(tǒng)計學(xué)

花開兩朵，各表一枝。上面說了正態(tài)分布在概率論中的發(fā)展，現(xiàn)在來看看正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中發(fā)展的故事。這個故事的領(lǐng)銜主演是凱特勒(Adolphe Quetelet)和高爾頓(FrancisGalton)。

由于高斯的工作，正態(tài)分布在誤差分析中迅速確定了自己的地位。有了這么好的工具，我們可能拍腦袋就認(rèn)為，正態(tài)分布很快就被人們用來分析其它的數(shù)據(jù)，然而事實卻出乎我們的意料，正態(tài)分布進(jìn)入社會領(lǐng)域和自然科學(xué)領(lǐng)域，可是經(jīng)過一番周折的。

首先我要告訴大家一個事實：誤差分析和統(tǒng)計學(xué)是兩個風(fēng)馬牛不相及的兩個學(xué)科；當(dāng)然這個事實存在的時間是19世紀(jì)初之前。統(tǒng)計學(xué)的產(chǎn)生最初與“編制國情報告”有關(guān)，主要服務(wù)于政府部門。統(tǒng)計學(xué)面對的是統(tǒng)計數(shù)據(jù)，是對多個不同對象的測量；而誤差分析研究的是觀測數(shù)據(jù)，是對同一個對象的多次測量。因此觀測數(shù)據(jù)和統(tǒng)計數(shù)據(jù)在當(dāng)時被認(rèn)為兩種不同行為獲取得到的數(shù)據(jù)，適用于觀測數(shù)據(jù)的規(guī)律未必適用于統(tǒng)計數(shù)據(jù)。19世紀(jì)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析處于一個很落后的狀態(tài)，和概率論沒有多少結(jié)合。而概率論的產(chǎn)生主要和賭博相關(guān)，發(fā)展過程中與誤差分析緊密聯(lián)系，而與當(dāng)時的統(tǒng)計學(xué)交集非常小。將統(tǒng)計學(xué)與概率論真正結(jié)合起來推動數(shù)理統(tǒng)計學(xué)發(fā)展的便是我們的統(tǒng)計學(xué)巨星凱特勒。

凱特勒這名字或許不如其它數(shù)學(xué)家那么響亮，估計很多人不熟悉，所以有必要介紹一下。凱特勒是比利時人，數(shù)學(xué)博士畢業(yè)，年輕的時候曾追隨拉普拉斯學(xué)習(xí)過概率論。此人學(xué)識淵博，涉獵廣泛，腦門上的桂冠包括統(tǒng)計學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、社會學(xué)家、國際統(tǒng)計會議之父、近代統(tǒng)計學(xué)之父、數(shù)理統(tǒng)計學(xué)派創(chuàng)始人。凱特勒的最大的貢獻(xiàn)就是將法國的古典概率引入統(tǒng)計學(xué)，用純數(shù)學(xué)的方法對社會現(xiàn)象進(jìn)行研究。

1831年，凱特勒參與主持新建比利時統(tǒng)計總局的工作。他開始從事有關(guān)人口問題的統(tǒng)計學(xué)研究。在這種研究中，凱特勒發(fā)現(xiàn),以往被人們認(rèn)為雜亂無章的、偶然性占統(tǒng)治地位的社會現(xiàn)象，如同自然現(xiàn)象一樣也具有一定的規(guī)律性。凱特勒搜集了大量關(guān)于人體生理測量的數(shù)據(jù)，如體重、身高與胸圍等，并使用概率統(tǒng)計方法來對數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。但是當(dāng)時的統(tǒng)計分析方法遭到了社會學(xué)家的質(zhì)疑，社會學(xué)家們的反對意見主要在于：社會問題與科學(xué)實驗不同，其數(shù)據(jù)一般由觀察得到，無法控制且經(jīng)常不了解其異質(zhì)因素，這樣數(shù)據(jù)的同質(zhì)性連帶其分析結(jié)果往往就有了問題，于是社會統(tǒng)計工作者就面臨一個如何判斷數(shù)據(jù)同質(zhì)性的問題。凱特勒大膽地提出：

【把一批數(shù)據(jù)是否能很好地擬合正態(tài)分布，作為判斷該批數(shù)據(jù)同質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)。】

凱特勒提出了一個使用正態(tài)曲線擬合數(shù)據(jù)的方法，并廣泛的使用正態(tài)分布去擬合各種類型的數(shù)據(jù)。由此，凱特勒為正態(tài)分布的應(yīng)用拓展了廣闊的舞臺。正態(tài)分布如同一把屠龍刀，在他的帶領(lǐng)下，學(xué)者們揮舞著這把寶刀在各個領(lǐng)域披荊斬棘，攻陷了人口、領(lǐng)土、政治、農(nóng)業(yè)、工業(yè)、商業(yè)、道德等社會領(lǐng)域，并進(jìn)一步攻占天文學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、社會統(tǒng)計學(xué)及氣象學(xué)等自然科學(xué)領(lǐng)域。

正態(tài)分布的下一個推動力來自生物學(xué)家高爾頓，當(dāng)正態(tài)分布與生物學(xué)聯(lián)姻時，近代統(tǒng)計學(xué)迎來了一次大發(fā)展。高爾頓是生物統(tǒng)計學(xué)派的奠基人，他的表哥達(dá)爾文的巨著《物種起源》問世以后，觸動他用統(tǒng)計方法研究遺傳進(jìn)化問題。受凱特勒的啟發(fā)，他對正態(tài)分布懷有濃厚的興趣，開始使用正態(tài)分布去擬合人的身高、胸圍、以至考試成績等各類數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布擬合得非常好。他因此相信正態(tài)曲線是適用于無數(shù)情況的一般法則。

然而，對高爾頓而言，這個無處不在的正態(tài)性給他帶來一些困惑。他考察了親子兩代的身高數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)遵從同一的正態(tài)分布，遺傳作為一個顯著因素是如何發(fā)揮作用的？1877年，高爾頓設(shè)計了一個叫高爾頓釘板(quincunx,或者Galton board)的裝置，模擬正態(tài)分布的性質(zhì)用于解釋遺傳現(xiàn)象。

如下圖中每一點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等。當(dāng)小圓球向下降落過程中，碰到釘子后皆以1/2的概率向左或向右滾下。如果有n排釘子，則各槽內(nèi)最終球的個數(shù)服從二項分布B(n,1/2),當(dāng)n較大的時候，接近正態(tài)分布。

【高爾頓釘板】

設(shè)想在此裝置的中間某個地方AB設(shè)一個擋板把小球截住，小球?qū)⒃贏B處聚成正態(tài)曲線形狀，如果擋板上有許多閥門，打開一些閥門，則在底部形成多個大小不一的正態(tài)分布，而最終的大正態(tài)分布正式這些小正態(tài)分布的混合。

【高爾頓釘板解釋遺傳現(xiàn)象】

高爾頓利用這個裝置創(chuàng)造性的把正態(tài)分布的性質(zhì)用于解釋遺傳現(xiàn)象。他解釋說身高受到顯著因素和其它較小因素的影響，每個因素的影響可以表達(dá)為一個正態(tài)分布。遺傳作為一個顯著因素，類似圖中底部大小不一的正態(tài)分布中的比較大的正態(tài)分布，而多個大小不一正態(tài)分布累加之后其結(jié)果仍然得到一個正態(tài)分布。

高爾頓在研究身高的遺傳效應(yīng)的時候，同時發(fā)現(xiàn)一個奇特的現(xiàn)象：高個子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趨勢，而矮個子父母的子女，其身高有高于其父母的趨勢，即有“回歸”到普通人平均身高去的趨勢，這也是“回歸”一詞最早的含義。高爾頓用二維正態(tài)分布去擬合父代和子代身高的數(shù)據(jù)，同時引進(jìn)了回歸直線、相關(guān)系數(shù)的概念，從而開創(chuàng)了回歸分析這門技術(shù)。

可以說，高爾頓是用統(tǒng)計方法研究生物學(xué)的第一人，他用實際行動開拓了凱特勒的思想；為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。無論是凱特勒還是高爾頓，他們的統(tǒng)計分析工作都是以正態(tài)分布為中心的，在他們的影響下，正態(tài)分布獲得了普遍認(rèn)可和廣泛應(yīng)用，甚至是被濫用，以至有些學(xué)者認(rèn)為19世紀(jì)是正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中占統(tǒng)治地位的時代。

6.3 數(shù)理統(tǒng)計三劍客

最后，我們來到了20世紀(jì)，正態(tài)分布的命運如何呢？如果說19世紀(jì)是正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中獨領(lǐng)風(fēng)騷的話，20世紀(jì)則是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)蓬勃發(fā)展、百花齊放的時代。1901年，高爾頓和他的學(xué)生卡爾·皮爾遜(Karl Pearson)、韋爾登（W.F.R Weldon)創(chuàng)辦《生物計量》(Biometrika)雜志，成為生物統(tǒng)計學(xué)派的一面旗幟，引導(dǎo)了現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的大發(fā)展。統(tǒng)計學(xué)的重心逐漸由歐洲大陸向英國轉(zhuǎn)移，使英國在以后幾十年數(shù)理統(tǒng)計學(xué)發(fā)展的黃金時代充當(dāng)了領(lǐng)頭羊。

在20世紀(jì)以前，統(tǒng)計學(xué)所處理的數(shù)據(jù)一般都是大量的、自然采集的，所用的方法以拉普拉斯中心極限定理為依據(jù)，總是歸結(jié)到正態(tài)。到了19世紀(jì)末期，數(shù)據(jù)與正態(tài)擬合不好的情況也日漸為人們所注意：進(jìn)入20世紀(jì)之后，人工試驗條件下所得數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析問題，日漸被人們所重視。由于試驗數(shù)據(jù)量有限，那種依賴于近似正態(tài)分布的傳統(tǒng)方法開始招致質(zhì)疑，這促使人們研究這種情況下正確的統(tǒng)計方法問題。

在這個背景之下，統(tǒng)計學(xué)三大分布χ2分布、t分布、F分布逐步登上歷史舞臺。這三大分布現(xiàn)在的理科本科生都很熟悉。在歷史上，這三個分布和來自英國的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的三大劍客有著密切的關(guān)系。

【數(shù)理統(tǒng)計三劍客】

第一位劍客就是卡爾·皮爾遜(KarlPearson)，手中的寶劍就是χ2分布。χ2分布這把寶劍最早的鍛造者其實是物理學(xué)家麥克斯韋，他在推導(dǎo)空氣分子的運動速度的分布的時候，發(fā)現(xiàn)分子速度在三個坐標(biāo)軸上的分量是正態(tài)分布，而分子運動速度的平方v2符合自由度為3的χ2分布。麥克斯韋雖然造出了這把寶劍，但是真正把它揮舞得得心應(yīng)手、游刃有余的是皮爾遜。在分布曲線和數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度檢驗中，χ2分布可是一個利器，而皮爾遜的這個工作被認(rèn)為是假設(shè)檢驗的開山之作。皮爾遜繼承了高爾頓的衣缽，統(tǒng)計功力深厚，在19世紀(jì)末20世紀(jì)初很長的一段時間里，一直被數(shù)理統(tǒng)計武林人士尊為德高望重的第一大劍客。

第二位劍客是戈塞特(W.S.Gosset)，筆名是大家都熟悉的學(xué)生氏(Student)，而他手中的寶劍是t分布。戈塞特是化學(xué)、數(shù)學(xué)雙學(xué)位，依靠自己的化學(xué)知識進(jìn)釀酒廠工作，工作期間考慮釀酒配方實驗中的統(tǒng)計學(xué)問題，追隨卡爾·皮爾遜學(xué)習(xí)了一年的統(tǒng)計學(xué)，最終依靠自己的數(shù)學(xué)知識打造出了t分布這把利劍而青史留名。1908年，戈塞特提出了正態(tài)樣本中樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比值的分布，并給出了應(yīng)用上極其重要的第一個分布表。戈塞特在t分布的工作是開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計學(xué)的先河。

第三位劍客是費希爾(R.A.Fisher)，手持F分布這把寶劍，在一片荒蕪中開拓出方差分析的肥沃土地。F分布就是為了紀(jì)念費希爾而用他的名字首字母命名的。費希爾劍法飄逸，在三位劍客中當(dāng)屬費希爾的天賦最高，各種兵器的使用都得心應(yīng)手。費希爾統(tǒng)計造詣極高，受高斯的啟發(fā)，系統(tǒng)地創(chuàng)立了極大似然估計劍法，這套劍法現(xiàn)在被尊為統(tǒng)計學(xué)參數(shù)估計中的第一劍法。

費希爾還未出道，皮爾遜已經(jīng)是統(tǒng)計學(xué)的武林盟主了，兩人歲數(shù)相差了33歲，而戈塞特介于他們中間。三人在統(tǒng)計學(xué)擂臺上難免切磋劍術(shù)。費希爾天賦極高，年少氣盛；而皮爾遜為人強(qiáng)勢，占著自己武林盟主的地位，難免固執(zhí)己見，以大欺小；費希爾著實受了皮爾遜不少氣。而戈塞特性格溫和，經(jīng)常在兩人之間調(diào)和。畢竟是長江后浪推前浪，一代新人換舊人，在眾多擂臺比試中，費希爾都技高一籌，而最終取代了皮爾遜成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)第一大劍客。

20世紀(jì)初，統(tǒng)計學(xué)這三大劍客成為了現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的奠基人。以哥塞特為先驅(qū)，費歇爾為主將，掀起了小樣本理論的革命，事實上提升了正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中的地位。在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，除了以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的小樣本理論獲得了空前的勝利，其它分布上都沒有成功的案例，這不能不讓人對正態(tài)分布刮目相看。在隨后的發(fā)展中，相關(guān)回歸分析、多元分析、方差分析、因子分析、布朗運動、高斯過程等等諸多統(tǒng)計分析方法陸續(xù)登上了歷史舞臺，而這些和正態(tài)分布密切相關(guān)的方法，成為推動現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)飛速發(fā)展的一個強(qiáng)大動力。

—THE END—

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的正态分布的前世今生（3）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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