十六世紀(jì)以來(lái)，歐洲封建社會(huì)日趨沒(méi)落，代之以資本主義的興起。航海、天文、力學(xué)、軍事、生產(chǎn)等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都向數(shù)學(xué)提出各種問(wèn)題：如何進(jìn)一步掌握行星運(yùn)行規(guī)律；確定地球的經(jīng)緯度；準(zhǔn)確分析物體受力情況；精確計(jì)算炮彈運(yùn)行軌跡以及研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的特性等等。

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從數(shù)學(xué)角度歸納起來(lái)有四類(lèi)問(wèn)題：

1．已知變速運(yùn)動(dòng)的路程為時(shí)間的函數(shù)，求瞬時(shí)速度及加速度；或相反。

2．求曲線(xiàn)的切線(xiàn)。

3．求函數(shù)的最大值、最小值。

4．求曲線(xiàn)長(zhǎng)、曲線(xiàn)圍成的面積、曲而包圍的體積等。

解決這四類(lèi)問(wèn)題，就數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)要用到導(dǎo)數(shù)、微分與積分的概念。

?圖1

恩格斯說(shuō)：“社會(huì)一旦有技術(shù)上的需要，則這種需要就會(huì)比十所大學(xué)更能把科學(xué)推向前進(jìn)。”（《馬恩選集》四卷505頁(yè)）社會(huì)的發(fā)展，生產(chǎn)的需要，科學(xué)的進(jìn)步，向數(shù)學(xué)提出了解決上述四類(lèi)問(wèn)題的要求。于是，十七世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們踏著前輩的足跡向微積分挺進(jìn)了。?

01

微積分的先驅(qū)者

早在古代就有了微積分思想的萌芽。比如古代的人民用方磚砌圓；我國(guó)魏晉時(shí)劉徽的“割圓術(shù)”；祖暅原理及莊子的“一尺之棰，日去其半，萬(wàn)世不竭”等等，都涉及到以直代曲和極限觀(guān)念，屬于微積分的樸素思想。古希臘歐多克薩斯、阿基米德利用“窮竭法”確定曲線(xiàn)圍成的面積，依據(jù)的是無(wú)窮小分析原理，這也是微積分思想的萌芽。但是真正形成微積分思想是十七世紀(jì)的事情。

十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家羅伯瓦、費(fèi)馬，英國(guó)的巴魯，他們都各自研究出求曲線(xiàn)切線(xiàn)的方法。費(fèi)馬在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中討論了求函數(shù)極值的問(wèn)題；法國(guó)開(kāi)普勒的《測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)》（1615年）涉及到求面積、體積、重心等問(wèn)題；意大利卡瓦列利的《不可分連續(xù)量幾何》（1635年）用不可分原理制定了一種簡(jiǎn)單的微積分。

圖2

特別值得提出的是英國(guó)人瓦里斯的《無(wú)窮小算術(shù)》（1655年），運(yùn)用了代數(shù)學(xué)形式，分析學(xué)方法及函數(shù)極限的初步概念，計(jì)算出很多閉曲線(xiàn)的面積：格列哥里的《論圓和雙曲線(xiàn)的求積》（1667年）明確指出求面積、體積、曲線(xiàn)長(zhǎng)度需要用到與加、減、乘、除、乘方不相同的極限運(yùn)算方法；巴魯?shù)摹稁缀螌W(xué)講義》（1760年）還提出了積與商的微分法則及求定積分的一些個(gè)別的方法。這三位數(shù)學(xué)家是創(chuàng)立微積分的重要的先驅(qū)者。笛卡兒建立了坐標(biāo)系，把變數(shù)引進(jìn)了數(shù)學(xué)，為微積分的研究提供了工具。

02

牛頓和萊布尼茲的貢獻(xiàn)

世界著名的英國(guó)科學(xué)家牛頓（1642—1727）少年時(shí)就矢志獻(xiàn)身科學(xué)，甘愿受“荊棘冠冕”的刺痛，三十多歲就熬白了頭發(fā)。他的橫溢的才華閃耀在數(shù)學(xué)、物理、天文等各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。

圖3?牛頓

牛頓在倫敦劍橋大學(xué)即將畢業(yè)時(shí)，為躲避當(dāng)時(shí)流行的瘟疫返回家鄉(xiāng)。牛頓的“流數(shù)術(shù)”（微積分）就是這時(shí)發(fā)明的。

牛頓受業(yè)于數(shù)學(xué)教授巴魯，從他的《幾何學(xué)講義》里學(xué)到了微積分的初步思想和無(wú)窮小分析的一些方法。此外，正如牛頓所說(shuō)：“我從費(fèi)馬的切線(xiàn)作法中得到了這個(gè)方法（流數(shù)術(shù)）的啟示。我推廣了它。把它直接地并且反過(guò)來(lái)應(yīng)用于抽象的方程上。”牛頓還受到瓦里斯的直接影響，利用他的《無(wú)窮小算術(shù)》提出的求閉合曲線(xiàn)面積的結(jié)果，研究出了流數(shù)術(shù)。牛頓在1665年5月20日的手稿里第一次提出“流數(shù)術(shù)”。有人就把這一夭當(dāng)做微積分的誕生日。形成牛頓流數(shù)術(shù)理論的，主要有三個(gè)著作：《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》、《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》和《求曲邊形的面積》。

第一篇著作寫(xiě)于1669年，正式發(fā)表于1771年。其中給出了求瞬時(shí)變化率的普遍方法，并證明面積可由變化率的逆過(guò)程求得。這是個(gè)重要的突破，它闡明了微分與積分的聯(lián)系，即現(xiàn)在所謂的微積分基本定理。當(dāng)然，牛頓的推導(dǎo)在方法上與邏輯上是不嚴(yán)密的。

第二篇著作寫(xiě)于1671年，1763年發(fā)表。在這篇著作里，他改變了過(guò)去靜止的觀(guān)點(diǎn)，認(rèn)為變量是由點(diǎn)、線(xiàn)、面連續(xù)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的。他把變量叫做“流”，把變量的變化率叫做 “流數(shù)”。牛頓還明確指出“流數(shù)術(shù)”的中心內(nèi)容包括：（1）已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路程，求某一確定時(shí)刻的速度（即微分法）。（2）已知運(yùn)動(dòng)的速度求某一確定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程（即積分法）。（3）將流數(shù)術(shù)用于求曲線(xiàn)的極值，計(jì)算曲線(xiàn)的切線(xiàn)、曲率、弧長(zhǎng)、面積等。

最后一篇著作寫(xiě)于1676年，發(fā)表于1704年。是研究可求積（可積分的）曲線(xiàn)的經(jīng)典文獻(xiàn)。牛頓為了建立沒(méi)有“無(wú)窮小”的微積分，消除不嚴(yán)密的“無(wú)窮小”的說(shuō)法，在這篇文章里代之以“最初和最后的比”的說(shuō)法，但這仍是一個(gè)不嚴(yán)格的模糊概念。

牛頓在微積分上取得了極為重要的創(chuàng)造性的成果。但由于缺乏清晰嚴(yán)格的“極限”和“無(wú)窮小”的概念，未能把微積分建立在牢固的基礎(chǔ)上，因而遭到了一些人的批評(píng)和攻擊。

萊布尼茲（1646—1716）是德國(guó)杰出的博學(xué)多才的科學(xué)家。他的學(xué)識(shí)涉及到數(shù)學(xué)、物理、機(jī)械、哲學(xué)、歷史、語(yǔ)言以至神學(xué)方面。大學(xué)畢業(yè)后，他長(zhǎng)期從事外交工作，研究數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好。他是數(shù)理邏輯學(xué)的開(kāi)山祖師，是機(jī)械計(jì)算機(jī)的發(fā)明人之一。

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圖4?萊布尼茲

萊布尼茲在治學(xué)上思緒奔放，厚積薄發(fā)，1671至1677年間寫(xiě)下了大量數(shù)學(xué)筆記，卻從未發(fā)表出來(lái)。正是在這段時(shí)間里，他引進(jìn)常量、變量與參變量等概念，從研究幾何問(wèn)題入手，完成了微積分的基本計(jì)算理論。他研究了巴魯?shù)闹?#xff0c;理解到微分和積分是互逆的運(yùn)算。他還創(chuàng)造了微分符號(hào) dx、 dxⁿ以及積分符號(hào)∫；并給出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及和、差、積、 商、冪、方根的求導(dǎo)法則；還于1680年得出用微積分求旋轉(zhuǎn)體體積的公式。

萊布尼茲1680年公開(kāi)發(fā)表了數(shù)學(xué)史上第一篇微分學(xué)論文《一種求極大、極小和切線(xiàn)的新方法》，1686年公開(kāi)發(fā)表了第一篇積分學(xué)論文。萊布尼茲的微積分，雖然在與物理學(xué)的結(jié)合上不如牛頓，但方法更富有想象力與啟發(fā)性。他首創(chuàng)的微積分符號(hào)簡(jiǎn)明精確，對(duì)微積分的發(fā)展起了強(qiáng)大的推動(dòng)作用，一直在全世界流傳至今。但是他的理論不系統(tǒng)、不嚴(yán)密，很難為一般人理解。幸好，歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們，如瑞士數(shù)學(xué)家族的伯努利兄弟等，熱衷于他的學(xué)說(shuō)，整理并發(fā)展了他那些綱領(lǐng)性的、摘要式的著作，陸續(xù)發(fā)表了《微積分初步》等著作，使萊布尼茲的微積分得以發(fā)揚(yáng)光大。

?圖5?伯努利家族

03

微積分發(fā)明權(quán)的無(wú)聊爭(zhēng)論

牛頓與萊布尼茲在微積分的創(chuàng)立上，都做出了杰出的貢獻(xiàn)。可是，數(shù)學(xué)史上圍繞微積分的發(fā)明權(quán)卻發(fā)生了一場(chǎng)歷時(shí)百年的無(wú)聊爭(zhēng)論。這場(chǎng)爭(zhēng)論是由瑞士的丟利埃于1699年挑起來(lái)的，他斷言萊布尼茲的微積分是抄襲了牛頓的成果。萊布尼茲當(dāng)即反駁，在1605年反唇相譏，暗示牛頓剽竊了他的成果。一石激起了兩個(gè)民族情感上的軒然大波。英國(guó)皇家調(diào)查會(huì)的報(bào)告說(shuō)：“牛頓是微積分的創(chuàng)始人”，“萊布尼茲抄襲了牛頓的流數(shù)術(shù)”。英、德兩國(guó)各持一端，愈爭(zhēng)愈烈。直到牛頓與萊布尼茲都去世了，他們的追隨者們?nèi)匀粻?zhēng)論不休，綿延到十九世紀(jì)二十年代才算平息。

圖6?牛頓與萊布尼茲的爭(zhēng)論

牛頓曾回憶道：1676年“在和非常博學(xué)的數(shù)學(xué)家G?W?萊布尼茲的通信中，我告訴他我發(fā)明了一種可以求出極大值和極小值、畫(huà)出切線(xiàn)并解答類(lèi)似數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法……我沒(méi)有把方法告訴他。這位著名人物回信告訴我，他也想到了同類(lèi)型的一種方法，并把它告訴了我。他的方法除了定義、符號(hào)、公式和產(chǎn)生數(shù)的想法在形式上和我的不一樣以外，幾乎沒(méi)有多大的差異。”1675年10月29日，萊布尼茲的手稿中已經(jīng)有了微積分的符號(hào)。可見(jiàn)，萊布尼茲在沒(méi)有得到牛頓的消息之前已經(jīng)發(fā)明了微積分，他倆是各自獨(dú)立發(fā)明的。牛頓發(fā)明的時(shí)間比萊布尼茲早十年，而萊布尼茲公開(kāi)發(fā)表的時(shí)間比牛頓早三年。

無(wú)聊的爭(zhēng)論攙雜進(jìn)了偏激的民族感情。英國(guó)當(dāng)時(shí)固執(zhí)于對(duì)牛頓的迷信，拒絕接受萊布尼茲及大陸學(xué)者對(duì)微積分的發(fā)展，致使英倫三島的數(shù)學(xué)水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于歐洲大陸。

04

人類(lèi)精神的最高勝利

微積分的主要理論基礎(chǔ)是極限論。可是，當(dāng)時(shí)“極限”、“無(wú)窮小”、“連續(xù)”等基本概念是不精確的，極限論是不完善的。微積分理論基礎(chǔ)不穩(wěn)固的缺點(diǎn)，被一些唯心主義者抓住，進(jìn)行了猛烈的攻擊。

英國(guó)神學(xué)家貝克萊就是攻擊微積分的典型代表。牛頓的好友、數(shù)學(xué)家哈雷不信仰宗教，勸說(shuō)貝克萊的病中的朋友拒絕了宗教的祈禱。貝克萊大怒，于1734年發(fā)表了一本小冊(cè)子，名為《分析學(xué)家——與一個(gè)不信神的數(shù)學(xué)家的對(duì)話(huà)》。咒罵微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”，污蔑微積分“招搖撞騙，把人們引入歧途”。他極盡謾罵之能事，實(shí)質(zhì)在兜售唯心論，維護(hù)宗教神學(xué)。

與此同時(shí)，萊布尼茲在大陸上也遭到荷蘭紐文提的責(zé)難。紐文提認(rèn)為萊布尼茲說(shuō)不清“無(wú)窮小量”與“0”的區(qū)別，并認(rèn)為在推導(dǎo)過(guò)程中不應(yīng)略去無(wú)窮小量。法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾也曾經(jīng)反對(duì)過(guò)微積分。

在貝克萊的挑動(dòng)下，造成了數(shù)學(xué)史上的“第二次危機(jī)”。展開(kāi)了一場(chǎng)關(guān)于微積分奠基問(wèn)題的大論戰(zhàn)，長(zhǎng)達(dá)十多年之久。當(dāng)時(shí)的著名物理學(xué)家朱林，數(shù)學(xué)家馬克勞林、泰勒等，對(duì)貝克萊進(jìn)行了強(qiáng)烈的反駁。同時(shí)，這場(chǎng)論戰(zhàn)也激勵(lì)著大批數(shù)學(xué)家，如法國(guó)的達(dá)蘭貝爾、拉格朗日等對(duì)微積分的基礎(chǔ)概念做了深入的探討，促進(jìn)了微積分理論基礎(chǔ)的建設(shè)。這正是“皆知敵之害，而不知為利之大”（柳宗元：《敵戒》）的道理。微積分在實(shí)踐中的勝利，迫使貝克萊后來(lái)也

不得不承認(rèn)：“流數(shù)術(shù)是一把萬(wàn)能的鑰匙，借著它，近代數(shù)學(xué)家打開(kāi)了幾何以至大自然的秘密。”

圖7?馬克思

馬克思在《數(shù)學(xué)手稿》中深入地研究了微積分的發(fā)展史，對(duì)微積分的本質(zhì)進(jìn)行了精湛的剖析，最后完成了微積分的奠基工作。恩格斯說(shuō)：“在一切理論成就中，未必再有什么像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了。”（恩格斯：《自然辯證法》244頁(yè)）

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