數學里也能耍流氓

本文作者：matrix67

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數學一向以嚴謹的思維著稱，每一步推理都需要嚴格的理由。但在數學歷史中，漏洞百出的數學推理也頻頻出現。有趣的是，即使是這些不嚴格的思路也充滿著智慧，在數學中的地位不亞于那些偉大的證明。今天，果殼死理性派會用幾個經典例子告訴你，在數學里也是可以耍流氓的

”

邏輯中的那些流氓

耍流氓是各種數學悖論的來源。你能想一個命題，使得它和它的否定形式同時成立嗎？令人難以置信的是，這樣的命題真的存在。“這句話是七字句”就是這樣一種奇怪的命題。它的否定形式是“這句話不是七字句”，同樣是成立的。

你肯定會大叫“賴皮”，命題的真假與這個命題本身的形式有關，這樣的命題算數學命題嗎？沒錯，這些涉及到自己的命題都叫做“自我指涉命題”，它們的出現會引發很多令人頭疼的問題。從說謊者悖論（Liar paradox）到羅素悖論（Russell's paradox），各種邏輯悖論的產生根源幾乎都是自我指涉。數理邏輯中的流氓遍地都是，它們直接引發了數學史上的第三次數學危機。

歐拉的流氓證明法

在數學史上，很多漂亮的定理最初的證明都是錯誤的。最典型的例子可能就是 1735 年大數學家歐拉（Euler）的“證明”了。他曾經仔細研究過所有完全平方數的倒數和的極限值，并且給出了一個漂亮的解答：

這是一個出人意料的答案，圓周率 π 毫無征兆地出現在了與幾何完全沒有關系的場合中。歐拉的證明另辟蹊徑，采用了一種常人完全想不到的絕妙方法。他根據方程 sin(x)/x = 0 的解，對 sin(x)/x 的級數展開進行因式分解，再利用對比系數的方法神奇地得到了問題的答案。不過，利用方程的解進行因式分解的方法只適用于有限多項式，在當時的數學背景下，這種方法不能直接套用到無窮級數上。雖然如此，歐拉利用這種不嚴格的類比，卻得出了正確的結果。歐拉大師耍了一個漂亮的流氓。

最經典的“無字證明”

一些定理的直觀理解雖然毫無邏輯可言，完全算不上是數學證明，但這些精巧而歡樂的視角，依然讓數學家們如癡如醉。

1989 年的《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上有一個貌似非常困難的數學問題：下圖是由一個個小三角形組成的正六邊形棋盤，現在請你用右邊的三種（僅朝向不同的）菱形把整個棋盤全部擺滿（圖中只擺了其中一部分），證明當你擺滿整個棋盤后，你所使用的每種菱形數量一定相同。

文章末尾提供了一個非常帥的“證明”。把每種菱形涂上一種顏色，整個圖形瞬間有了立體感，看上去就成了一個個立方體在墻角堆疊起來的樣子。三種菱形分別是從左側、右側、上方觀察整個立體圖形能夠看到的面，它們的數目顯然應該相等。

嚴格地說，這個本來不算數學證明的。但它把一個純組合數學問題和立體空間圖形結合在了一起，實在讓人拍案叫絕。因此，這個問題及其鬼斧神工般的“證明”流傳甚廣，深受數學家們的喜愛。《最迷人的數學趣題——一位數學名家精彩的趣題珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一書的封皮上就赫然印著這個經典圖形。在數學中，類似的流氓證明數不勝數，不過上面這個可能算是最經典的了。

《最迷人的數學趣題——一位數學名家精彩的趣題珍集》的封面

旋輪線的面積

旋輪線 ?圖片來源：Wikipedia

車輪在地上旋轉一圈的過程中，車輪圓周上的某一點劃過的曲線就叫做“旋輪線”。在數學和物理中，旋輪線都有著非常重要而優美的性質。比如說，一段旋輪線下方的面積恰好是這個圓的面積的三倍。這個結論最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）發現的。不過，在沒有微積分的時代，計算曲線下方的面積幾乎是一件不可能完成的任務。伽利略是如何求出旋輪線下方的面積的呢？

他的方法簡單得實在是出人意料：它在金屬板上切出旋輪線的形狀，拿到秤上稱了稱，發現重量正好是對應的圓形金屬片的三倍。

在試遍了各種數學方法卻都以失敗告終之后，伽利略果斷地耍起了流氓，用物理實驗的方法測出了圖形的面積。用物理實驗解決數學問題也不是一件稀罕事了，廣義費馬點（generalized Fermat point）問題就能用一套并不復雜的力學系統解出，施泰納問題（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜實驗瞬間秒殺。

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總結

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