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真實世界的復(fù)雜性使得獲取對它透徹且直接的認(rèn)知，不能說是不可能，但也是非常艱難的。所以一直以來，世界的征服者秉持“分而治之”的原則，試圖減小難度或是對其進(jìn)行分層。例如柏拉圖在對話錄《斐多篇》中提及：“人必須理解思想在由顯著的多樣性向統(tǒng)一知識轉(zhuǎn)變的過程中所起的作用。”

在一個逐漸簡化和提煉的過程中，真實的描述首先被縮減為概念和表意文字，然后是文字、字母這些構(gòu)成了一套能夠代表語言的整體復(fù)雜性，而非思想的整體復(fù)雜性的工具。雖然字母的數(shù)量局限在幾十個，但這并不影響它們通過互相結(jié)合產(chǎn)生無限詞匯的潛力。

但似乎對于萬物而言，不論是其表征還是其物理實際，都能上溯至一個有限量的詞庫，在那里真實可以在不同的層次被重新建構(gòu)。其中兩個例子已經(jīng)進(jìn)入了科學(xué)的工具箱，任何高中學(xué)生都可以使用。首先是構(gòu)成門捷列夫元素周期表的一百多種元素，它們之間的結(jié)合產(chǎn)生了所有化學(xué)分子。然后是幾十個電子或夸克之類的基本粒子，演化出了整個亞原子物理。

數(shù)學(xué)領(lǐng)域的情況并無不同，整數(shù)均可以被拆分為一系列基本數(shù)，并可以重新組合成為新的整數(shù)。如果重建是通過加法實現(xiàn)的，那么基本數(shù)甚至是唯一的，那就是1。每一個整數(shù)都可以由0開始，通過該數(shù)字?jǐn)?shù)量的1相加得到。雖然看起來是個自循環(huán)，但這個過程恰恰是“整數(shù)”真正的定義，并于1921年由維特根斯坦在著名的《邏輯哲學(xué)論》中首次提出。

若重建的過程是乘法，事情就變得更復(fù)雜也更有趣了。首先，我們可以簡單地推斷出這種情況下也應(yīng)該存在一些基本數(shù)，即無法再被除了1和它本身以外其他數(shù)整除的數(shù)字。這些數(shù)字叫作質(zhì)數(shù)，包括2，3，5，7，11，13……

又一次，我們可以很快地搞明白，每個數(shù)字都可以分解為一系列質(zhì)數(shù)。若出現(xiàn)某個數(shù)字無法被（除1及它自身以外的）其他數(shù)字整除的情況，那么它本身就是質(zhì)數(shù)，拆解就此結(jié)束；否則，它就一定能被其他數(shù)字整除，因此成為兩個因數(shù)的產(chǎn)物，這兩個因數(shù)中的任何一個，要么是質(zhì)數(shù)，要么還可以被其他數(shù)整除。

第一種情況下，我們得到了一個構(gòu)成開端的基本數(shù)。如果是第二種情況，只需要重復(fù)前面的過程，再獲得另外兩個因數(shù)，以此類推。在除法的力量下，它們不得不保持基本數(shù)的形式，因為每做一次除法運(yùn)算，因數(shù)就會變得更小，遲早達(dá)到無法再除的程度。

幾乎是在無意間，我們展示了一個重要的算術(shù)定理：每個整數(shù)最終都可被拆分為質(zhì)數(shù)。但實際上，歐幾里得在經(jīng)典作品《幾何原本》中，就已天才般地做出了更深入的研究，研究結(jié)果更是被稱為“算術(shù)基本定理”。這一定理說明，這種因數(shù)分解是唯一的，無論過程如何，最終得到的質(zhì)因子均相同，按大小排列后只有一種寫法。

所以說，質(zhì)數(shù)確實是算術(shù)的磚石，對于一個數(shù)字可以提出的最顯而易見的問題就是：它是不是一個質(zhì)數(shù)？人們?nèi)粲凶銐虻哪托?#xff0c;總能得到答案，因為只需要用它一一除以較小數(shù)。最后如果能找到至少一個數(shù)字可將其整除，那么它就不是質(zhì)數(shù)，反之若找不到這樣的數(shù)字，那它就是一個質(zhì)數(shù)。

這一切說起來簡單，但隨著數(shù)字不斷變大，所需要的驗證時間會可怕地增長。只是數(shù)百位的數(shù)字，所需要的計算時間就已經(jīng)超過了宇宙的年齡！幾百年甚至幾千年以來，人們一直在努力縮短進(jìn)程，減小難度。直到2002年一個快速而準(zhǔn)確的判斷方法誕生了。三個印度數(shù)學(xué)家曼英德拉·艾格拉沃（Manindra Agrawal）、尼拉杰·卡亞爾（Neeraj Kayal）和尼汀·薩克塞納（Nitin Saxena）找到了它。

但很遺憾，他們的研究結(jié)果沒有提供一個快速和精確的方法分解出合數(shù)的因數(shù)。相反，卻能對所謂P/NP問題給出有效解決方案。P/NP問題是理論信息學(xué)最重要的問題，也是“千禧年七大難題”之一。美國億萬富翁蘭頓·克雷，為其中每一個問題的解決方案提供百萬美元大獎，基思·德夫林則以這七大難題為主題出了一本同名書（The MillenniumProblems: the Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time）。

信息學(xué)之所以對質(zhì)數(shù)感興趣，是因為最近密碼學(xué)領(lǐng)域開始使用質(zhì)數(shù)，來創(chuàng)造足夠穩(wěn)定的信息編碼方式。這些編碼方法的實現(xiàn)前提，即人們認(rèn)為不可能快速且精確地找到數(shù)字的質(zhì)因子。

在三位印度數(shù)學(xué)家的研究發(fā)布后，全世界的銀行、工業(yè)、政治家和間諜都開始恐懼了。因為，如果有人再前進(jìn)一步，就能跳過整個世界的密碼系統(tǒng)，那么從銀行卡到信用卡，從電話到郵箱，所有的密碼都形同虛設(shè)。1994年彼得·秀爾發(fā)現(xiàn)了量子計算機(jī)關(guān)于該問題的演算方法。所以，解決質(zhì)因數(shù)分解問題的另一條途徑，便是造出一臺量子計算機(jī)——這在目前看來還只是紙上談兵而已。

如果說計算質(zhì)因子是典型的實用信息學(xué)問題，那么分析質(zhì)數(shù)如何分布就是同樣典型的理論數(shù)學(xué)問題。為它們做出了（或者至少是傳述了）第一次大跨越的依然是歐幾里得的《幾何原本》，它解決了“質(zhì)數(shù)的數(shù)量是不是有限的”這個問題。

人們也許會這樣回答：“質(zhì)數(shù)明顯是無限的，因為整數(shù)是無限的。”但是有限字母組成無限單詞的例子表明，理由不會這么簡單。歐幾里得的答案是：“質(zhì)數(shù)是無限的，但并不明顯。”他的證明過程堪稱數(shù)學(xué)領(lǐng)域之明珠，方法是：假設(shè)質(zhì)數(shù)有限，那么總能找到不在它們的集合中的另一個質(zhì)數(shù)。

歐幾里得的想法是，把假設(shè)有限的那些質(zhì)數(shù)全部相乘，獲得的乘積加1，得到的數(shù)字顯然要么是質(zhì)數(shù)，要么不是。如果它是質(zhì)數(shù)，我們就創(chuàng)造出了一個新的質(zhì)數(shù)。如果不是質(zhì)數(shù)，那它必有一個質(zhì)因子不屬于之前的質(zhì)數(shù)集合，否則它就能同時被該乘積和該乘積加1所得的數(shù)字整除，因此也就能被它們的差，即1所整除，但事實是，沒有任何一個非平凡數(shù)可以被1整除。

盡管數(shù)量是無限的，質(zhì)數(shù)的分布卻并不平均，而是逐漸減少的。100之內(nèi)有25個質(zhì)數(shù)，1000以內(nèi)168個，10000以內(nèi)1229個，100000以內(nèi)9592個……如果要構(gòu)建一個類似化學(xué)中門捷列夫元素周期表的表格來精確表示它們的分布，我們便迎來了千禧年七大難題的另一位成員——所謂的黎曼猜想。

黎曼猜想與前面提到的P/NP問題一起，說明了現(xiàn)代數(shù)學(xué)和信息學(xué)領(lǐng)域最重要、最難解的問題所涉及的對象和概念，其實早已被古希臘人引入并研究了。它們?nèi)菀桌斫?#xff0c;卻難以掌控。人們?yōu)榇私g盡腦汁，數(shù)千年來從不止息，證明了人的思想具有無法超越的局限性，同時又有一往無前的勇氣。

→本文選自[意]皮耶爾喬治·奧迪弗雷迪《叛逆的思想家》

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意大利“國民科普爺爺”繼《人類愚蠢辭典》之后

[吐槽式]盤點(diǎn)人文科學(xué)八大領(lǐng)域的78種思想

這本書不僅是單純的科普作品

更是一部真正的思想史漫談

《叛逆的思想家》

[意]?皮耶爾喬治·奧迪弗雷迪 著

姚軼苒 譯

2019年8月 未讀 · 思想家出品

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