爱琴海上的数学英雄
本文節選自廣西師大出版社《數學現場：另類世界史》！
湛藍湛藍的愛琴海，宛如一枚巨大的藍寶石。大大小小的島嶼星羅棋布，是灑在藍色沙盤里的綠色珍珠。這些珍珠星星點點，把歐亞大陸和希臘半島串聯在一起。靠近亞洲大陸的大島叫希俄斯，它的東南面，幾乎跟小亞細亞連在一起的，叫薩摩斯。愛琴海正中間有一串西北東南走向的群島，群島的最下端，有一個幾乎看不見的小黑點，那就是德洛斯。
幾艘大船正在鼓起白帆，自東向西航行，看樣子是朝著雅典去的。突然，礁石島后面躥出十幾條快船，飛快地排成一圈，把船隊包圍起來。眼看圈子越來越小，其中一艘大船加足馬力，企圖從包圍圈內硬沖出去，小船放箭阻擋，大船上幾個水手中箭，“撲通撲通”跌落海中。
眨眼之間，海盜船上已經投出繩梯，掛住了大船。衣衫襤褸的海盜們身手敏捷，像耗子一樣飛速躥上大船，手持大刀肆意砍殺甲板上四處奔逃的水手。海盜們赤裸的臂膀和胸脯上五彩斑斕的圖案在血光中時隱時現。
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白帆后面猛然跳出一個人來，頭戴青銅盔，胸掛青銅甲，一手持盾，一手持劍，英武異常，直朝海盜們撲去。幾個海盜被打倒在地，可是更多的海盜攀上船舷，把這位武士團團圍住。那個人臨危不懼，拼命搏斗，可是架不住對方人多，眼看著被逼到船舷，進退不得。他猛砍數刀，逼退敵人，自己大吼一聲，縱身跳入大海。
這個人名叫希波克拉底（Hippocrates of Chios，約公元前470—約公元前410），本是希俄斯島上一位大富翁。這次海盜把他的貨物搶劫一空，同伴全部死于非命。希波克拉底能單身一人逃生，實在是太僥幸了。只是他一下子變成了窮光蛋，身無分文。以后的日子如何過下去？希波克拉底把自己關在房間里，冥思苦想了許久。終于有一天，他一跺腳，踢開房門，兩手空空橫渡愛琴海，去了雅典。
從此，茫茫人海少了一個商人，人類歷史上多了一位數學家。
希波克拉底在少年時代曾經到離家鄉希俄斯島不遠的薩摩斯島求學，受到那里的畢達哥拉斯學派的影響，對他們的自然科學研究印象深刻，也為自己打下了相當堅實的數學基礎。他來到雅典以后，潛心研究，兼收并蓄，不久便成就卓然。他寫了一本教科書《幾何原本》，這是古希臘四部有名的《原本》中最早的一部，書中系統地歸納了當時所知的幾何學原理，是人類歷史上利用基本概念、方法和定理來建立數學理論體系的首次嘗試。一百多年后，歐幾里得（Euclid，大約生活在公元前4世紀至公元前3世紀）撰寫《幾何原本》的時候，很可能是以他之前的三部《原本》為基礎的。可惜他的這部手稿僅殘存于后人的書簡之中，而其他兩部則完全逸失了，只有歐幾里得的《原本》存留于世。
數海拾貝
古希臘人留下三大著名的幾何難題。二倍神壇只是其中之一，另外兩個難題，一個是化圓為方，一個是三等分銳角。按照原來的規矩，所有的問題都必須用簡單尺規作圖的方式完成。
所謂化圓為方，就是找到一個正方形，使它的面積跟給定的圓的面積相等。這實際上是尋找圓周率的平方根（下圖）。
三等分銳角的問題比較容易理解：
這三大難題乍看起來都非常簡單，但是嚴格按照尺規作圖的規定來解決卻極為困難，最終都被證明是不可能的。無數后人癡迷于這些難題，他們尋找答案的過程在很大程度上奠定了數學史的發展過程。
希波克拉底來到雅典的時候，那里剛剛經歷了瘟疫的肆虐。他立刻投入到解決二倍神壇的研究浪潮中去，并且很快就意識到這個問題的難度非同尋常。經過幾年的潛心鉆研，他發現這個問題實際上相當于一個等值幾何比例的問題。
古希臘人是人類歷史上首先對幾何問題進行系統抽象研究，并建立理論體系的部族。他們發現了很多定理。這些定理乍一看上去，似乎屬于“百無一用”之類的智力游戲，起碼對升官發財、娶妻生子沒有什么好處。可正是這樣的活動促進了人類知識的發展，使我們逐漸有了現代的科學技術。
現在讓我們考慮一個任意直角三角形ABC（圖5），它的直角在C點的地方。如果從C點作一條直線，使它和線段AB垂直，并且交AB于D點，那么三角形ABC同三角形CBD以及三角形ACD相似，也就是說，它們的形狀是一樣的，不過大小不同。在這種情況下，它們對應的各條邊的長度之間的比例相等，也就是說：
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（4） ? ? ? ? ? ?
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換句話說，點D把線段AB分成兩段AD和BD，它們同CD的關系是。古希臘人把這種關系稱為幾何比例。
花絮 1
古希臘人自稱為海倫的后代（Hellenes）。他們把自己的土地叫作Hellas，中文“希臘”就是從這個名字譯得的。古羅馬人把他們居住的島群稱為Graecia，這在英文里變成了Greece。這個名字后來被大多數語言所采納，因此希臘人就成了Greeks。至今希臘仍自稱為希臘共和國（HellenicRepublic），所以中文的名字更準確。從來沒有一個叫作“古希臘”的國家。希臘由許多獨立的城邦組成，城邦之間的戰爭從來沒有間斷過。
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古希臘人認為自己是一個由移民融合而構成的民族。希臘的地理位置使得它有可能接觸亞、非、歐三大洲的民族。在文化上，古希臘吸納了蘇美爾、巴比倫、古埃及、美索不達米亞等文明的元素。與眾不同的是，古希臘人酷愛抽象思考，想要對世界的構成建立一套自洽的理論。
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古希臘文明是指希臘自公元前8世紀開始的古風時期（ArchaicPeriod）到公元前146年被羅馬帝國征服之前這段時間的希臘文明。在結構上，古希臘是若干城邦組成的松散聯盟，不僅占有希臘半島，還占有小亞細亞很多地區，城邦之間不乏相互征伐。公元前5世紀，波斯王國興起，幾度進攻小亞細亞和希臘半島，史稱波希戰爭。雅典城邦引領希臘其他城邦取得兩次波希戰爭的勝利，雅典城邦在公元前5世紀到公元前4世紀達到鼎盛。
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亞歷山大大帝征服整個希臘半島后，希臘文明在地中海西岸到中亞的大片地區擴展。從亞歷山大大帝逝世前后起，到公元前30年最后的繼業者王國——托勒密王國在埃及滅亡為止，古希臘文明主宰了整個地中海東部沿岸，所以歷史上稱這個時期為希臘化時代（HellenisticPeriod）。希臘化時代是希臘古典時代和羅馬文化之間的過渡。同希臘古典時代相比，這個時期文化呈現逐漸下降或衰退的趨勢。這個時期的特點之一是新一波的希臘殖民活動，以在埃及和西亞的各地區內建立殖民城市為主。
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花絮 2
你知道嗎？古希臘人是最早利用數學來研究和描述音樂里的音階的。他們早就知道，兩根琴弦，如果它們的長度比是2∶1，它們所奏出來的音節就相差一個八度；長度比為4∶3，那音節就相差一個純四度；長度比為3∶2，音節就相差一個純五度。于是他們說：世間萬物的關系都能通過數字表達出來！正是這種信念使他們為人類的科學文化開創了嶄新的天地。
那個多才多藝的阿基塔斯把古希臘的數學樂理提高到一個空前的高度。他證明了，全音階的音程之間的關系具有n+1比n的關系，比如，2∶1、4∶3、3∶2、9∶8，等等，而不可能具有等值幾何比那樣的關系。
阿基塔斯的另一個天才發明是機械鳥，他稱之為“飛鴿”。根據史書上的記載，飛鴿是以蒸汽為動力飛翔的。今天仍有許多人在想辦法復制他的發明。
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希波克拉底發現，二倍立方的問題實際上等價于這樣一個問題：給定兩條已知的直線段，它們的長度分別是a和b，現在需要找出另外兩條直線段，長度是x和y，使得a與x之比既等于x與y之比，又等于y與b之比。用代數符號表示，就是：
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（5）
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用現在的數學語言來說，x是數值a和y的比例中項，y是x和b的比例中項。由于這個比例關系，，。所以x是a和y的幾何平均值，y是x和b的幾何平均值。等式（5）的特殊之處在于，這里有兩套數值（a，x，y和x，y，b），它們的比例中項相等。這一類的比例中項叫作雙比例中項。希波克拉底說，對邊長是a的立方體和一條線段b，使b=2a，如果能找出它們之間的雙比例中項x和y，使得它們滿足等式（5），那么x就是要找的立方體的邊長。
從今天代數學的角度來看，這兩個等值幾何比例跟二倍立方的關系是很明顯的，因為如果等式（5）成立，那么：
所以已知一個邊長為a的立方體，要想得到另一個立方體，使其體積是已知立方體的a/b倍，我們只需要找到上面等式中的x。在兩千五百多年前，人們既不具有這種代數知識，也沒有這種代數語言，能夠看出兩個問題的等價性是非常不簡單的。古希臘人不會利用代數來思考，希波克拉底以后，古希臘的幾何學家們就都去努力尋找滿足式（5）的線段。
希波克拉底還花了大量時間研究化圓為方的問題，他唯一幸存下來的工作就是這方面的研究。他擅長演繹推理和歸納，常常把具體特定的數學問題轉化為適用廣泛的普遍問題，一旦普遍問題得到解決，特定問題就自動解決了。他還首次提出邏輯上的反證法，并且在數學論證中廣泛應用；這個方法后來被亞里士多德在哲學上發揚光大。
他的另一個重要的發明是在幾何作圖證明當中使用字母，使得邏輯表述簡潔而清晰。比如圖5中的三角形；我們現在說，三角形ABC，線段AB、AC，點A、B、C，等等，這種表達方式歸功于希波克拉底。
希波克拉底去世不久，塔倫騰（Tarentum，在今天意大利南部）出了一位多才多藝的阿基塔斯（Archytas，公元前428—公元前347）。
意大利半島的形狀很像一只女士的長筒靴，塔倫騰就在靠近靴子跟的地方。這個城邦原是斯巴達殖民者在公元前706年建立的。它有意大利海岸最好的海港，因此對希臘的海洋活動具有重要戰略意義。塔倫騰與斯巴達的歷史淵源使它在伯羅奔尼撒戰爭中與雅典為敵。在阿基塔斯領導塔倫騰的時候，這個城邦的實力完全可以和雅典相抗衡。
阿基塔斯既是政治家、軍事家、哲學家，又是數學家和天文學家。他在塔倫騰集軍政大權于一身，運籌帷幄，號稱一輩子沒有打過敗仗。大概是出于這個原因，他連續七屆被選舉為塔倫騰的總領。這違反了古希臘時代總領不可連續任職的規矩。但是，有一次他讓出總領位置不久，塔倫騰的保衛戰就出現失利，于是公民又擁戴他做總領。據說他和柏拉圖是摯友，兩個人甚至連生卒年份都很相近。柏拉圖在敘拉古國王的手下遭難時，阿基塔斯曾經試圖出兵相救。當時，柏拉圖正在敘拉古努力推行他在《理想國》里面闡發的理論，不過成績實在讓人不敢恭維。柏拉圖先是被敘拉古國王狄奧尼西奧斯一世（Dionysius I of Syracuse，約公元前432—公元前367）販賣為奴，后來又被其子狄奧尼西奧斯二世（Dionysius II of Syracuse，約公元前397—公元前 343）變相軟禁。有人說，柏拉圖在《理想國》中描述的烏托邦的哲學家國王，就是以阿基塔斯為原型的。阿基塔斯公正廉潔、仁義博愛，而且目光遠大。在科學方面，他是歐多克斯（Eudoxus of Cnidus，約公元前390—約公元前337）的老師，而歐多克斯是柏拉圖看好能夠攻克二倍立方難題的人選之一。
希波克拉底對雙幾何比的發現使無數希臘幾何學家大為振奮，紛紛躍躍欲試，爭取第一個找到那個神秘的比值。他們大多從類似于圖5的平面三角形出發，但求得結果的希望非常渺茫。阿基塔斯卻找到了一個絕妙的辦法，極其美妙地解決了問題——他跳到三維空間里去了。他的方法在數學史上備受贊嘆，現在讓我們用圖6—圖8來介紹一下他的思路。
設想在xy平面上有一個圓OBA，它的直徑是OA=a（圖6a）。OB是一條直線，點B落在圓弧上，線段的長度是OB=b。我們的目的是找到a和b之間的雙比例中項。現在把線段OB延長到點C，使得AC是圓OBA在A點的切線。現在想象圓OBA沿著跟這本書的紙頁垂直的方向朝外“長”出這本書的紙面，變成一個空心的圓柱。再想象直線OC繞著x軸旋轉，變成一個空心的圓錐。最后，想象圓OBA繞著x軸旋轉90度，變成一個落在xz平面上的圓，然后把這個圓繞著過點O的z軸旋轉360度。這是一個什么形狀呢？對了，這是一個中心縮成一點的輪胎，或是甜甜圈。圖6b是這三個三維曲面在xy平面上方的樣子。
現在，讓我們先看看甜甜圈和圓柱這兩個曲面能切出什么樣的曲線來。如果把甜甜圈通過中心點垂直切開，那么每個截面都是直徑為a的圓（圖7a）。這些圓對應于圖7b、7c、7d中的半圓ODP。圓OAQ是在圖6a里面位于xy平面的圓，由它生成的圓柱（圖7a中藍色的半個圓柱面）同這些半圓ODP交于點P。從點P沿著圓柱的表面向xy平面做垂線，垂線與圖6a中的圓OAB交于點Q。想象半圓ODP繞著通過點O的z軸旋轉，甜甜圈和圓柱的交點P隨著旋轉而變化，就構成一條在空間彎曲的線段。用現代數學的話說，這條曲線是點P的軌跡。
下面我們再把圓錐曲面考慮進來。圖8a中，半圓ZBM是圓錐曲面通過點B同圓OAB垂直的截面，而且線段BZ垂直于線段OA。M是半圓ZBM上任意的一點。從點M向xy平面（圓OAB所在的平面）作垂線，交ZB線段于點T。
現在回到圖7中，在點P的軌跡中選擇一個點，使半圓形截面OPD的底邊OD與線段OT重合。換句話說，把線段OT延長到點D，把線段OM延長到點P，使半圓ODP與圓柱相交于點P。從圖7中，我們知道，這總是可以做到的。而且根據圖8，點P的垂線交圓OAB于點Q。這樣，三角形OPD里面包含了若干較小的三角形，比如三角形OMQ和三角形OTM（圖8b）。
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既然角OPD所對應的線段OD是圓OPD的直徑，角OPD一定是圓周角，根據泰勒斯定理，它一定是90度。換句話說，三角形OPD是直角三角形。三角形OTM也是直角三角形，因為MT是點M向xy平面所作的垂線。這兩個三角形又有一個共同的角（角POQ或角MOT），所以它們是相似三角形。因此：
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（5a）
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因為線段OB和OM都在圓錐截面的半圓形ZMB上面，所以OM=OB=b。又因為OD和OP都在xy平面內的甜甜圈上，所以OD=OA=a。這樣，上面的等式就可以寫成：
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（5b）
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這不就是等式（4）嗎？根據我們關于等式（4）的討論，找到了OP，也就找到了問題的解。二倍立方的問題，相當于。點B是可以利用尺規作圖的辦法找到的。在圖8里，OM=OB=b，OD=a，有了這幾個參數以后，圓柱、圓錐和甜甜圈的大小就都確定了。下面的問題就是如何建立三維圖形，尋找那個點P了。但這僅僅利用尺規作圖是得不到的。
阿基塔斯制造了一種機械裝置，根據上述作圖的原理，專門用來計算兩條比值為的線段。他是所謂“機械數學”方法（也就是利用機械來解決數學問題）的創始人之一。可惜他的機械裝置已經失傳了。這種“機械數學”方法實際上有著深刻的含義：他把數學問題轉化為物理（機械）問題來解決。這在我們對圖6—圖8的描述里可以看得很清楚：他是利用一些點按照某種規則在空間運行的軌道來處理二倍立方問題的。
阿基塔斯的過人之處不為他同時代的人所理解。與他同時的幾何學家們幾乎都看不懂他的分析，就連他的好朋友柏拉圖對他的工作也不以為然。我們從歷史學家普魯塔赫（Plutarch，公元46—公元120）的著作中知道，柏拉圖對利用機械解決幾何問題的方式相當反感，認為它使幾何學失去了永恒的純潔和神圣。也許在柏拉圖看來，幾何學永遠是平面的。
阿基塔斯兩千三百年前的工作至今讓很多數學家驚詫莫名。一些學者強調，我們對古希臘科學的發展還非常缺乏了解，這是因為許多珍貴的古希臘文獻要么逸失，要么被故意銷毀了。文藝復興以來，大物理學家和數學家們都強調要仔細研讀古希臘數學，從字里行間抓到它的“靈魂”。
梅內克繆斯（Menaechmus，公元前380—公元前320）走的是和阿基塔斯類似的路子—在三維曲面中尋找平均比的解。他把注意力放在圓錐上，發現如果用平面去切割一個正圓錐，平面與曲面相交，可以得到幾種不同的曲線，這就是后來所謂的圓錐曲線（圖9）。梅內克繆斯的幾何推導也不容易理解，還是用現代的代數語言描述比較方便（也有點“投機取巧”）。先回到希波克拉底的問題，也就是方程式（4）。
由于，所以xy = ab——這種曲線今天稱為雙曲線；
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由于，所以——這是拋物線；
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又由于，所以——也是拋物線，只不過把上面那條拋物線的變量（x、y）對調，再把b換成a而已。
有一些基本代數知識的讀者馬上可以看出，這三條曲線當中任何兩條的交點都是幾何比的解。所以梅內克繆斯給出兩個解，一個相當于尋求拋物線和雙曲線xy = ab的交點，另一個是找出兩條拋物線和的交點。這當然不是梅內克繆斯的具體做法。和阿基塔斯一樣，他也是通過一系列幾何推理得到與此等價的結果的。
不過，盡管梅內克繆斯發現了圓錐曲線，他還不曉得任何含有兩個變量的方程都對應一條曲線。代數學還需要一千年才會開始——正因為如此，古希臘人利用幾何原理所達到的水平才更加令人欽佩。
一晃五六百年過去了，五花八門的解決方法層出不窮。還有一些天才人物，他們已經越過，去研究更復雜的三次方程了。
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對于數學家來說，最重要的莫過于數學的基礎，而這個基礎相當大的一部分來自古希臘。是古希臘人建立了基本原則，發明了第一性原理，并修正了基本術語。簡言之，無論現代數學分析帶來或將要帶來什么新的內容，數學歸根到底是希臘人的科學。
沒有什么能比希臘數學史更驚人地、令人敬畏地表現出希臘人的天才。不僅是古希臘數學家所成就的那種神奇的廣度和數量，更需要注意的是這些巨量的工作是在一個難以置信的短暫時間內完成的，而他們所具有的手段十分有限——至少在我們看來——僅僅是純幾何，加上一點平平常常的算法操作。
本文節選自廣西師大出版社《數學現場：另類世界史》，作者：王雁斌。
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總結
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