歐拉：他停止了生命和計算

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一 小國里出現(xiàn)的巨匠

在一個小國家里誕生一位科學(xué)巨匠，這在世界史上并不多見，瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家萊昂納爾·歐拉便是其中最出色的一位。雖然他成年以后一直生活在兩座遙遠(yuǎn)的異國城市——彼得堡和柏林，他的肖像畫卻出現(xiàn)在瑞士法郎上，與英鎊上的牛頓一起成為至今仍流通歐洲的紙幣上僅有的兩位大科學(xué)家。1707年4月15日，歐拉出生在瑞士西北部鄰近法國和德國的巴塞爾，這座通用德語的城市至今人口仍不足二十萬，卻擁有瑞士最古老的學(xué)府——巴塞爾大學(xué)（1460），萊茵河蜿蜒著穿過它的中心。德國哲學(xué)家尼采年輕時曾在巴塞爾大學(xué)擔(dān)任過十年的古典文獻(xiàn)學(xué)教授，在那里完成了他的代表作《悲劇的誕生》，并與在近郊安度晚年的音樂家瓦格納成為莫逆之交。

讓我們先把時光推進(jìn)到歐拉二十歲那年，即1727年。對歐拉來說，這是一個關(guān)鍵性的年份，那一年牛頓在倫敦去世，那一年歐拉開始了學(xué)術(shù)生涯，他首次參加了巴黎科學(xué)院的有獎競賽——在船上安置桅桿。這一傳統(tǒng)的競賽活動起始于1721年，吸引并激勵了歐洲各國難以計數(shù)的年輕人，它對科學(xué)的貢獻(xiàn)超過了諾貝爾獎的設(shè)立。不幸而又幸運(yùn)的是，歐拉落選了，加上此后求職母校未果，當(dāng)年他便動身去了俄國，受聘于彼得堡科學(xué)院。可是，就在歐拉踏上俄羅斯領(lǐng)土的那一天（5月17日），這個國家的女皇葉卡捷琳娜一世去世了。作為俄國最偉大的君王——彼得大帝的情婦和妻子，這位出身卑微的立陶宛女子在許多方面都表現(xiàn)得非常開明，在她僅僅兩年多的在位時間里，實現(xiàn)了丈夫建立科學(xué)院的愿望。

牧師家庭出身的歐拉之所以選擇后來的科學(xué)道路，不能不說是與當(dāng)?shù)匾粋€姓貝努利的數(shù)學(xué)世家有關(guān)。貝努利家族原先居住在比利時的港口城市安特衛(wèi)普（當(dāng)時隸屬荷蘭），因為遭受宗教迫害而于16世紀(jì)末逃難到內(nèi)陸的法蘭克福，爾后又遷至瑞士，在巴塞爾安頓下來。這個家族的三代人中出現(xiàn)了八位極有成就的數(shù)學(xué)家，其中最年長的一位雅各布在巴塞爾大學(xué)做了數(shù)學(xué)教授，并成為歐拉父親的老師。盡管老歐拉頗具數(shù)學(xué)才華，卻差點犯下一個錯誤，在教會兒子數(shù)學(xué)的同時又要求他繼承自己鄉(xiāng)村牧師的職位。事實上，在那個年代里對非顯貴家庭出身的西方年輕人來說，牧師、醫(yī)生和律師不失為安身立命的三個好職業(yè)。

于是小歐拉進(jìn)了巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)神學(xué)和希伯來語，但他的數(shù)學(xué)才能很快引起了雅各布的弟弟約翰的注意。約翰在雅各布去世后繼承了兄長的職位，他的兩個兒子尼古拉和丹尼爾也與歐拉結(jié)為摯友（兄弟倆均為數(shù)學(xué)家）。十七歲那年，歐拉獲得哲學(xué)碩士學(xué)位，同時也面臨對未來職業(yè)的抉擇。老歐拉仍固執(zhí)己見，幸虧諸位貝努利前輩的熱情勸告和擔(dān)保，做父親的才最后放棄自己的主張，數(shù)學(xué)王國里才不至于失去這樣一位偉大的創(chuàng)造者。尼古拉和丹尼爾后來應(yīng)聘到新成立的彼得堡科學(xué)院，正是在他們兄弟的舉薦之下，歐拉告別了父老鄉(xiāng)親，從此踏上了不歸的數(shù)學(xué)之路。雖然歐拉沒有做成牧師，但父親篤信的加爾文教賦予了他一顆溫厚、仁慈之心，他畢生為人都十分謙遜。

歐拉被公認(rèn)為是純粹數(shù)學(xué)的奠基人之一，也是歷史上最卓越、最多產(chǎn)的科學(xué)家之一，被同代數(shù)學(xué)家視為“分析的化身”，此外他在數(shù)論、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、力學(xué)諸方面均有重大的原創(chuàng)性貢獻(xiàn)，并把成果廣泛應(yīng)用到物理學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域。在我看來，歐拉的一個無與倫比的優(yōu)點在于他的精細(xì)和耐心，這使得以他名字命名的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)無處不在，并且總是處在各個領(lǐng)域引人矚目的位置，例如歐拉函數(shù)和歐拉定理（數(shù)論）、歐拉常數(shù)（微積分）、歐拉公式（復(fù)變函數(shù)）、歐拉線和歐拉圓（幾何學(xué)）、歐拉圖（圖論）、歐拉示性數(shù)（拓?fù)鋵W(xué)）、歐拉角（動力學(xué)）、歐拉方程式（流體力學(xué)），等等。

雖然歐拉從沒擔(dān)任過教職，卻是一位出色的教科書作者，他撰寫的《無限小分析引論》《微分學(xué)原理》和《積分學(xué)原理》均是數(shù)學(xué)史上里程碑式的著作，其中包含了他本人的大量創(chuàng)造，在很長時間里它們被當(dāng)作分析課本的典范。此外，歐拉還為俄國編寫了初等數(shù)學(xué)教程，幫助改革度量衡制度，設(shè)計計算稅率、年金和養(yǎng)老保險等的公式。歐拉也是對數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家之一，這項工作的意義極其重要，卻往往容易被人們忽視。歐拉率先用f(x)表示函數(shù)，e表示自然對數(shù)的底，i表示虛數(shù)，s表示三角形的周長，a、b、c表示三角形的邊，π表示圓周率，Σ表示求和，正弦sin、余弦cos和正切tg也是歐拉引入的，這些符號沿用至今并為世人熟知。

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二 與女皇和國王相處

正如拿破侖是結(jié)交數(shù)學(xué)家最多的君王，與君王打交道最多的數(shù)學(xué)家是歐拉。直到18世紀(jì)，歐洲的大學(xué)依然不是主要的學(xué)術(shù)研究中心，不過比起物理學(xué)等近代科學(xué)分支來，數(shù)學(xué)因為與古典傳統(tǒng)較為接近而受到重視。可是，盡管微積分學(xué)誕生已經(jīng)一個世紀(jì)，但大學(xué)教授的主要精力仍在對付初等數(shù)學(xué)，他們很少花精力做前沿研究。與17世紀(jì)法國那些偉大的業(yè)余愛好者不同，真正的學(xué)者有了自己的靠山和贊助人，那便是專業(yè)的科學(xué)研究機(jī)構(gòu)。由于萊布尼茨的大力倡導(dǎo)，在有遠(yuǎn)見的統(tǒng)治者的支持下，柏林科學(xué)院和彼得堡科學(xué)院相繼成立，加上此前成立的意大利（山貓）科學(xué)院、英國皇家學(xué)會和法國皇家科學(xué)院（梅森學(xué)院），數(shù)學(xué)史上最活躍的時期已經(jīng)來臨。

可是，歐拉初到彼得堡的日子，處境十分艱難。葉卡捷琳娜一世死后，權(quán)力旁落到一伙粗魯殘暴的家伙手里，甚至年幼的沙皇也在能夠行使自己的職權(quán)以前死去。那些當(dāng)權(quán)者把科學(xué)院及其研究者看成是可有可無的擺設(shè)，他們甚至考慮取消它，遣返所有的外籍人員。也算是不幸中的大幸，貝努利兄弟原先推薦歐拉去的是醫(yī)學(xué)部，因為只有那兒有空缺，為此他突擊學(xué)習(xí)了生理學(xué)并在巴塞爾大學(xué)旁聽了醫(yī)學(xué)講座。科學(xué)院混亂的管理正好給了歐拉機(jī)會，他偷偷溜進(jìn)了數(shù)學(xué)部。那以后的六年時間里，歐拉埋頭于自己的研究，完全沉浸在數(shù)學(xué)王國，直到他的引路人之一丹尼爾·貝努利（尼古拉·貝努利在歐拉抵達(dá)前一年溺水身亡）決定離開俄國，返回自己的祖國。

在丹尼爾回到瑞士以后，歐拉接替了他在彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)教授職位，那年歐拉二十六歲，準(zhǔn)備在俄羅斯安家了，新娘是彼得大帝西游時帶回來的畫師的女兒，也是歐拉的瑞士同胞。那時俄國早有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊萬諾夫娜。雖說在安娜的情夫的間接統(tǒng)治下俄羅斯經(jīng)受了歷史上最血腥的恐怖時期，但科學(xué)院的境況并沒有變得更糟，歐拉這樣的數(shù)學(xué)家對當(dāng)權(quán)者無害。歐拉喜歡孩子，他的兩任妻子（第二個妻子是第一個妻子的同父異母的妹妹）先后生下了十三個孩子。歐拉常常一邊抱著嬰兒一邊寫論文，稍長的孩子們則圍繞著父親嬉戲，他是在任何地方、任何條件下都能工作的少數(shù)幾位大科學(xué)家之一。

1740年，安娜女皇退位并于當(dāng)年去世，歐拉遂接受了普魯士國王腓特烈大帝的邀請，到柏林科學(xué)院擔(dān)任數(shù)學(xué)部主任。傳說王太后很喜歡老實持重的歐拉，有一次她故意逗他說話，但是歐拉的回答總是很簡潔，“是”或者“不是”。“為什么你不愿意跟我多說話呢？”太后問。“太后，我剛從那樣一個國家來，在那里你要是說多話，就會被吊死。”相比之下，歐拉與普魯士國王相處并不愉快，因為國王喜歡溜須拍馬的大臣。他之所以支持?jǐn)?shù)學(xué)只是感到那是一種責(zé)任，但他從內(nèi)心里討厭這門學(xué)問，因為他自己的數(shù)學(xué)很蹩腳，這方面他無法與法蘭西皇帝拿破侖相比，后者自稱是個幾何學(xué)家，并與同時代所有的巴黎數(shù)學(xué)家都交上了朋友。

在很多時候，歐拉代理柏林科學(xué)院院長的職務(wù)。他在柏林不受歡迎的另一個原因是，他對腓特烈大帝津津樂道的哲學(xué)問題一無所知。有一次，法國啟蒙主義思想家伏爾泰來訪，在竭盡所能取悅了一番國王之后，他又以一套近乎玄學(xué)的語匯拿歐拉逗樂。忠厚老實的歐拉耐著性子接受了這一切，但國王卻感覺自己丟了面子，他決心物色一位能說會道的數(shù)學(xué)家來領(lǐng)導(dǎo)他的科學(xué)院，結(jié)果法國人達(dá)朗貝爾被邀請到了柏林。比歐拉年輕十歲的達(dá)朗貝爾是偏微分方程的開拓者，他最早寫出了動力學(xué)原理的著作。此外，他又是著名的《百科全書，或科學(xué)、藝術(shù)和工藝詳解詞典》的副主編（主編是哲學(xué)家狄德羅）。顯而易見，這樣一位全才的人物足以讓腓特烈大帝的虛榮心得到滿足，沒想到的是，達(dá)朗貝爾卻是一位頭腦清醒、判斷力精確的人，雖然他和歐拉在學(xué)術(shù)上有過一些不快。這位法國客人十分坦率地告訴普魯士國王，把任何其他數(shù)學(xué)家置于歐拉之上都是一種錯誤的行為。可惜的是，這不僅沒有讓自負(fù)的國王改變對歐拉的看法，反而變本加厲使得歐拉更難以忍受。為了自己子女的前途，歐拉只好打點行裝，離開了生活了二十五年之久的柏林，再次回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和兒孫們也一同返回。

此時俄羅斯又有了一位新女皇，即葉卡捷琳娜二世，她本是德意志親王的女兒，因為嫁給彼得大帝的外孫來到俄國，有機(jī)會接近并攫取王位。葉卡捷琳娜二世在位的三十四年里，繼承了彼得大帝未竟的事業(yè)，領(lǐng)導(dǎo)俄國全面參與歐洲的政治和文化生活，制訂法典并厲行改革，同時奪取了波蘭和克里米亞的大部分領(lǐng)土，故又被稱作葉卡捷琳娜大帝。在歐拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的規(guī)格接待他，撥給他一棟可供全家十八人居住的大房子和成套的家具，并?去自己的一個廚子。惱羞成怒的普魯士國王只得寫信給法國數(shù)學(xué)家拉格朗日：“歐洲最偉大的國王希望歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家在他的宮里。”顯而易見，他對歐拉的離任耿耿于懷。

有一件事可以說明葉卡捷琳娜二世與腓特烈大帝的行事風(fēng)格截然有別。她曾經(jīng)邀請法國哲學(xué)家狄德羅來訪，就是那套著名的《百科全書》的主編先生。本來彼得堡就是彼得大帝仿巴黎建造起來的，俄羅斯人一直對法國文化非常推崇。沒想到狄德羅為了表明自己被邀請是非常值得的，努力說服在場的大臣們改信無神論，這下子可惹惱了女皇，她命令歐拉用法語讓這位只會空談的哲學(xué)家閉嘴。歐拉徑直朝狄德羅走去，以一種極為平穩(wěn)認(rèn)真的語調(diào)說：“先生，因為（a+b^n）/n=x，故而上帝是存在的！”因為心比天高而拒絕上大學(xué)的狄德羅對數(shù)學(xué)可是一竅不通，他聽了以后不知所措，周圍的大臣們報之以熱烈的笑聲。可憐的哲學(xué)家感到自己受到了羞辱，他請求女皇準(zhǔn)許他立刻回國，女皇神態(tài)自若地同意了。

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三 孜孜不倦的失明者

在人類文明史上，不乏失明的歌唱者，從古代希臘的荷馬到中世紀(jì)波斯的魯達(dá)基，從近代英國的彌爾頓到上世紀(jì)阿根廷的博爾赫斯。可是，在科學(xué)家中這類人物極為罕見。如同創(chuàng)作不朽旋律的貝多芬雙耳先后失聰一樣，從事數(shù)學(xué)研究的歐拉也在晚年雙目失明，但這絲毫不減少他們的創(chuàng)造力。貝多芬一生寫作了九部交響曲、五部鋼琴協(xié)奏曲、十部鋼琴和小提琴協(xié)奏曲，還有難以計數(shù)的鋼琴奏鳴曲、弦樂四重奏、聲樂和歌劇作品。而歐拉完成了八百多篇（部）論文和著作，其中百分之五十八是數(shù)學(xué)方面的，物理學(xué)-力學(xué)和天文學(xué)各占了百分之二十八和百分之十一，其余百分之三是關(guān)于航海學(xué)和建筑學(xué)。從1907年歐拉誕辰二百周年開始，瑞士政府著令有關(guān)部門編輯《歐拉全集》，那是七十二卷大四開本的巨著，至今尚未完成。

必須指出的是，歐拉的失明并非由于家族的遺傳。第一次災(zāi)難降臨時歐拉只有二十八歲，為了贏得一項天文學(xué)的巴黎大獎，他連續(xù)工作了三天三夜，把這個難題給解決了，而當(dāng)時其他幾位主要數(shù)學(xué)家都認(rèn)為那需要數(shù)個月的時間。結(jié)果引發(fā)了一場疾病，歐拉從此失去了右眼的視力，這一點我們從他本人留下來的幾幅肖像畫中也可以看出。歐拉的左眼患上白內(nèi)障是在他第二次居留俄國期間，那時他快六十歲了。雖然歐拉的通信者如法國數(shù)學(xué)家拉格朗日、達(dá)朗貝爾等表示了深深的憂慮，他本人倒是能夠泰然處之。在完全失明之前，他努力嘗試用粉筆把公式寫在大石板上，然后讓兒子或秘書抄下來，他自己再口述對公式的說明和其他文字。這樣一來，他寫作論文的效率非但未有降低，反而提高了。

與許多失明者一樣，歐拉有著非凡的記憶力。除了幾乎把那個時代的全部數(shù)學(xué)結(jié)果銘記于心以外，他還長于心算。更讓人不可思議的是，歐拉能背出古羅馬大詩人維吉爾的十二卷史詩《埃涅阿斯紀(jì)》每一頁的首句和末句。這部史詩描述了特洛伊淪陷以后王子埃涅阿斯歷盡艱辛，在異國他鄉(xiāng)（羅馬）重新建立居留地的故事，其優(yōu)美智慧的詩句、結(jié)構(gòu)和韻律達(dá)到了盡善盡美的地步，以至于但丁在《神曲》里讓維吉爾引領(lǐng)他到達(dá)天堂。或許，歐拉從中獲得了某種共鳴，他的數(shù)學(xué)發(fā)明總是以優(yōu)美的形式出現(xiàn)。晚年當(dāng)被友人問起在哪個地方度過的時光最美好時，他不假思索地回答說是彼得堡。在歐拉完全失明的十七年間，最讓他得意的工作是發(fā)現(xiàn)月球的運(yùn)動規(guī)律，那曾是唯一使牛頓頭痛的問題，被歐拉通過復(fù)雜的分析和心算推導(dǎo)出來了。

在歐拉生活的年代，尚未有專門刊載數(shù)學(xué)論文的期刊。但在倫敦《皇家學(xué)會哲學(xué)紀(jì)要》和《法國科學(xué)院紀(jì)要》創(chuàng)刊半個多世紀(jì)之后，《彼得堡科學(xué)院通訊》和《柏林科學(xué)院紀(jì)要》也相繼誕生。后兩種雜志的問世當(dāng)然與歐拉有關(guān)，他本人也是主要作者之一。傳說歐拉在家人兩次叫他吃飯的半小時里，就能夠?qū)懗梢黄撐摹６鴮σ话愕难芯空邅碚f，這么短的時間至多只能推導(dǎo)出一個定理。歐拉從不為投稿費(fèi)神，寫完一篇論文后，他就把它放在一堆不斷增高的文章的最上頭。當(dāng)院報需要時，編輯便從那最上頭取走一篇或兩篇論文。于是經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情況，論文的寫作和發(fā)表日期并不一致。更為有趣的是，由于歐拉每每圍繞著一個問題寫出系列文章，這樣一來，讀者在閱讀他的論文時有時會摸不著頭腦。

除了失明以外，歐拉一生還遭遇了許多不幸：八個孩子先后夭折；晚年的一場大火幾乎奪走了他的生命和手稿，幸虧瑞士仆人的奮力搶救，但他的房子連同藏書全被燒毀了。葉卡捷琳娜二世獲悉后馬上補(bǔ)償了全部經(jīng)濟(jì)損失，歐拉重又投入了工作。值得一提的是，在安娜和葉卡捷琳娜二世之間，俄國還有一位女皇伊麗莎白，那便是彼得大帝的女兒。她在位的二十年間，歐拉一直生活在柏林，盡管如此，俄國方面照付給他院士津貼。也是在她在位期間，彼得堡科學(xué)院第一次有了本國院士——科學(xué)家兼詩人羅蒙諾索夫。有一年，俄羅斯軍隊入侵柏林遠(yuǎn)郊，歐拉的農(nóng)場遭到了搶劫，女皇知道后加倍賠償了他的損失。可以說，歐拉的一生得到了俄國四位女皇的垂青。

1783年9月18日，一個晴朗的秋日下午，歐拉像往常一樣在石板上寫著什么，那可能是在計算氣球上升的軌跡。然后，他和家人一起吃晚飯，談?wù)撝陆l(fā)現(xiàn)的天王星。那會兒，在德國中北部的不倫瑞克，一座離柏林不到兩百公里的小城里，園丁的兒子高斯已年滿六歲，充分顯露出了數(shù)學(xué)神童的天賦。晚餐后，歐拉一邊喝著茶，一邊和小孫女玩耍，突然之間，煙斗從他手中掉了下來。他說了一句“我死了”，隨即歐拉“停止了生命和計算”。后面這句經(jīng)常被數(shù)學(xué)史家引用的話出自法國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家孔多塞之口，他是大革命時期的急先鋒，后來不幸死于獄中。不知為何，這句話使我聯(lián)想起歐拉喜愛的維?爾的詩句：“錨拋下去，飛泿的船停住了。”

每個人都有時代的局限性，在歐拉研究過的諸多難題中，有的尚未完全解決，例如天文學(xué)中的三體問題，即太陽、地球和月亮在相互引力下如何運(yùn)動的問題，這個問題至今仍然存在。由于歐拉涉足的研究范圍十分廣泛，即使在他為之傾心的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，仍有許多未解決的問題：例如畢達(dá)哥拉斯時代遺留下來的完美數(shù)和友好數(shù)問題，這方面以歐拉的貢獻(xiàn)最大；再如費(fèi)爾馬大定理，歐拉也有出色的貢獻(xiàn)，但最終的解答由英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在上個世紀(jì)末給出；又如哥德巴赫猜想，是歐拉和數(shù)學(xué)家哥德巴赫通信時提出來的，至今未有證實或否定——哥德巴赫的故鄉(xiāng)在普魯士的哥尼斯堡，誕生于這座城市的“七橋問題”是拓?fù)鋵W(xué)的出發(fā)點，而把這個世俗問題抽象到數(shù)學(xué)高度并予以解決的正是歐拉。

確切地說，歐拉是歷史上最著名的宮廷數(shù)學(xué)家，他畢生往返于兩個敵對的國度——俄羅斯和德意志之間，侍奉不同的國王和皇后。一次，腓特烈大帝命令歐拉給他的侄女授課，他便動筆寫下了一系列文筆優(yōu)美的散文，后來變成暢銷數(shù)十個國家的《給一位德國公主的信》，這是出自科學(xué)家手筆的科普著作的早期范本。盡管如此，由于歐拉既不像前輩牛頓那樣建立起一門新科學(xué)（微積分學(xué)）和完整的力學(xué)體系，也不像后來的高斯那樣建立起一個數(shù)學(xué)學(xué)派（哥廷根學(xué)派），加上他來自小國家，他的公眾知名度并不特別高。有許多時候歐拉以一種謙遜之心默默做著別的大數(shù)學(xué)家不愿意做的工作，如同歐拉早年的導(dǎo)師約翰·貝努利給他信中所寫的：“我在教高等分析的時候，它還是個孩子，而您正在將它帶大成人。”

談到18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，盡管法國人更愿意抬高自己的同胞拉格朗日，歐拉仍被更多的同行推崇為最有成就的一位。還有不少數(shù)學(xué)史家把歐拉與阿基米得、牛頓和高斯并列為有史以來最偉大的四位數(shù)學(xué)家。他們擁有一個共同點，即在創(chuàng)建純粹理論的同時，還把自己發(fā)明的數(shù)學(xué)工具用以解決大量天文、物理和力學(xué)問題。他們不斷地從實踐中吸取營養(yǎng)，同時又絕不滿足于解決具體問題；他們把宇宙看成是一個有機(jī)的整體，力圖揭示出它的內(nèi)在奧秘和規(guī)律。有著“法蘭西的牛頓”之譽(yù)的拉普拉斯贊嘆道：“學(xué)習(xí)歐拉吧，他是我們所有人的老師。”“數(shù)學(xué)王子”高斯也曾經(jīng)說過：“對于歐拉工作的研究，將仍舊是數(shù)學(xué)人能上的最好的無可替代的學(xué)校。”從某種意義上講，自從歐拉去世以后，數(shù)學(xué)再也不像從前那樣美好了。

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來源 | 《數(shù)學(xué)傳奇：那些難以企及的人物》

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總結(jié)

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