?數(shù)的進(jìn)化

回顧從自然數(shù)1，2，3，4，…開始，再加上分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)，直到成為實(shí)數(shù)的發(fā)展過程，可以說它很像是許多涓涓細(xì)流匯成一條大河。

[注：本文涉及的自然數(shù)不包括0。]

自然數(shù)添上分?jǐn)?shù)，再添上負(fù)數(shù)就成為了有理數(shù)（當(dāng)然還要添上0）；有理數(shù)再加進(jìn)無理數(shù)就成為實(shí)數(shù)。可是光有實(shí)數(shù)還不夠，再加上新來的虛數(shù)，這就誕生了更廣泛的數(shù)——復(fù)數(shù)。

那么，為什么在數(shù)的世界里，要從自然數(shù)擴(kuò)大到實(shí)數(shù)呢？他細(xì)想一想，這里有個(gè)一貫的原則。比如說，有一個(gè)人只知道10以內(nèi)的數(shù)。

1，2，3，…，10

當(dāng)然對(duì)這個(gè)人來說：加法也是不太行的。也就是說，即使取其中任意兩個(gè)數(shù)相加，也有可能答不上來。如果是2+3，他知道是5。要是6+7的話，他就只好說“不知道”了。他即使知道10000以內(nèi)的數(shù)也是一樣。因?yàn)?000+7000的答案不可能在10000以內(nèi)的數(shù)里找出來。因此，為了無限制地進(jìn)行＋運(yùn)算，就必須有無限多的自然數(shù)。這樣就產(chǎn)生了所謂無限多的自然數(shù)的整體的想法，這就是

1，2，3，…

想象有這樣一個(gè)自然數(shù)的整體，就可以自由的進(jìn)行＋運(yùn)算了。這時(shí)，自然數(shù)的整體對(duì)于＋來說叫做閉合。由于乘法也是自然數(shù)的相乘，是加法的重復(fù)，因此也能自由地進(jìn)行。也就說自然數(shù)的整體對(duì)于×是閉合的。所以在只考慮＋或×的時(shí)候。只要自然數(shù)就夠用，沒有必要再考慮新的數(shù)。

可是要考慮×的逆運(yùn)算÷的時(shí)候，自然數(shù)就不再閉合。因?yàn)槿我馊蓚€(gè)自然數(shù)作除法結(jié)果卻不一定是自然數(shù)。例如2÷3的結(jié)果就不是自然數(shù)。

自然數(shù)的范圍太狹窄了，要想自由地進(jìn)行除法運(yùn)算，就必須增加新的數(shù)，這就是分?jǐn)?shù)。在自然數(shù)與分?jǐn)?shù)合起來的更寬廣的數(shù)的范圍內(nèi)，＋，×，÷就可以自由地進(jìn)行。

然而，想到＋的逆運(yùn)算－的時(shí)候，這個(gè)范圍又窄了。因?yàn)椴荒軓男?shù)減去大數(shù)，例如2－5，即使寫出這個(gè)式子，也得不出答案。為了讓這個(gè)式子也能有答案，就必須想出－3這樣一個(gè)新數(shù)。也就是說要自由地做－運(yùn)算，需要有一種新的數(shù)——負(fù)數(shù)。把數(shù)的范圍擴(kuò)大到正的自然數(shù)、負(fù)的自然數(shù)及分?jǐn)?shù)，即有理數(shù)時(shí)，＋，－，×，÷四則運(yùn)算可以自由的無限制地進(jìn)行。換句話說有理數(shù)對(duì)于四則運(yùn)算是閉合的。

19世紀(jì)的天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦把對(duì)于四則運(yùn)算閉合的數(shù)的集合叫做域。按照這個(gè)叫法，也可以說整個(gè)有理數(shù)的集合是域。當(dāng)然，叫域的除了有理數(shù)之外還有許多，對(duì)于我們來說最熟悉的首先就是有理數(shù)。

當(dāng)數(shù)的世界擴(kuò)展到有理數(shù)時(shí)，＋，－，×，÷的計(jì)算雖然能自由地進(jìn)行，但是還不具有連續(xù)性，所以仍然不能表示直線上所有的點(diǎn)。填滿這些空缺就需要無理數(shù)。有理數(shù)與無理數(shù)合起來就是實(shí)數(shù)。有了實(shí)數(shù)就可以表示直線上所有的點(diǎn)。

總而言之，實(shí)數(shù)的集合就是對(duì)于＋，－，×，÷閉合的一個(gè)域，同時(shí)還具有連續(xù)性。到此為止，似乎可以認(rèn)為數(shù)的世界擴(kuò)展可以暫時(shí)停止了。

可是，如果實(shí)數(shù)世界就是終點(diǎn)，數(shù)的交響樂不過是缺少最后樂章的未完成的交響樂而已。隨著實(shí)數(shù)而來的最后的樂章就是復(fù)數(shù)。

四則逆運(yùn)算

以前擴(kuò)大數(shù)的世界時(shí)，在很多情況下它的契機(jī)是逆運(yùn)算。例如，由于×的逆運(yùn)算÷而增加了新的分?jǐn)?shù)；由＋的逆運(yùn)算－而產(chǎn)生了新的負(fù)數(shù)。從實(shí)數(shù)產(chǎn)生復(fù)數(shù)的契機(jī)也仍然基于逆運(yùn)算。假如我們對(duì)于x這樣一個(gè)實(shí)數(shù)任意進(jìn)行＋，－，×，÷四則運(yùn)算時(shí)，可得到以下的式子：

不管這些式子多么復(fù)雜，也只是＋，－，×，÷的組合，所以只要x是實(shí)數(shù)，代入計(jì)算的值就也是實(shí)數(shù)。比如設(shè)下面式子等于y：

假定這個(gè)式子是從x算出y的，這就是四則運(yùn)算。

現(xiàn)在來考慮四則運(yùn)算的逆運(yùn)算，也就是從y求出x。例如當(dāng)y=2時(shí)，x等于多少呢？這個(gè)計(jì)算就是

為此，只要解答下面的式子求出x，

去掉分母

移項(xiàng)得

解滿足這個(gè)方程的x，結(jié)果呢？所謂的逆運(yùn)算不過是解代數(shù)方程，只此而已。

以前也有這樣的事，就是逆運(yùn)算要比原來順運(yùn)算難，如－比＋難，÷比×難。現(xiàn)在的情況也是如此，解代數(shù)方程的運(yùn)算是比四則運(yùn)算要難。

那么在實(shí)數(shù)的范圍里，能不能自由地進(jìn)行解這個(gè)代數(shù)方程的運(yùn)算呢？答案是否定的。請(qǐng)看下面的實(shí)例。

在四則運(yùn)算??中，要是反過來從y求x的話，就不是任何時(shí)候都能行得通的。如果y是正數(shù)

可以求出實(shí)數(shù)x。如果y是負(fù)數(shù)，例如y=－1就不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)找出與之對(duì)應(yīng)的x。因?yàn)?#xff08;實(shí)數(shù)）2 決不會(huì)是負(fù)數(shù)。

因此我們知道，在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，對(duì)于四則運(yùn)算的逆運(yùn)算“解代數(shù)方程”來說，不是閉合的。要想自由地解代數(shù)方程，就必須打破實(shí)數(shù)的框框，導(dǎo)入新的數(shù)。這個(gè)新的數(shù)就是虛數(shù)。

來源：《數(shù)學(xué)與生活》，轉(zhuǎn)自中國數(shù)學(xué)會(huì)

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總結(jié)

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