相信很多同學都知道“貝塞爾曲線”這個詞，我們在很多地方都能經常看到。但是，可能并不是每位同學都清楚地知道，到底什么是“貝塞爾曲線”，又是什么特點讓它有這么高的知名度。

貝塞爾曲線的數學基礎是早在 1912 年就廣為人知的伯恩斯坦多項式。但直到 1959 年，當時就職于雪鐵龍的法國數學家?Paul de Casteljau?才開始對它進行圖形化應用的嘗試，并提出了一種數值穩定的?de Casteljau 算法。然而貝塞爾曲線的得名，卻是由于 1962 年另一位就職于雷諾的法國工程師?Pierre Bézier?的廣泛宣傳。他使用這種只需要很少的控制點就能夠生成復雜平滑曲線的方法，來輔助汽車車體的工業設計。

正是因為控制簡便卻具有極強的描述能力，貝塞爾曲線在工業設計領域迅速得到了廣泛的應用。不僅如此，在計算機圖形學領域，尤其是矢量圖形學，貝塞爾曲線也占有重要的地位。今天我們最常見的一些矢量繪圖軟件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，無一例外都提供了繪制貝塞爾曲線的功能。甚至像 Photoshop 這樣的位圖編輯軟件，也把貝塞爾曲線作為僅有的矢量繪制工具（鋼筆工具）包含其中。

貝塞爾曲線在 web 開發領域同樣占有一席之地。CSS3 新增了?transition-timing-function?屬性，它的取值就可以設置為一個三次貝塞爾曲線方程。在此之前，也有不少 JavaScript 動畫庫使用貝塞爾曲線來實現美觀逼真的緩動效果。

下面我們就通過例子來了解一下如何用 de Casteljau 算法繪制一條貝塞爾曲線。

在平面內任選 3 個不共線的點，依次用線段連接。

在第一條線段上任選一個點 D。計算該點到線段起點的距離 AD，與該線段總長 AB 的比例。

根據上一步得到的比例，從第二條線段上找出對應的點 E，使得?AD:AB?=?BE:BC。

連接這兩點 DE。

從新的線段 DE 上再次找出相同比例的點 F，使得?DF:DE?=?AD:AB?=?BE:BC。

到這里，我們就確定了貝塞爾曲線上的一個點 F。接下來，請稍微回想一下中學所學的極限知識，讓選取的點 D 在第一條線段上從起點 A 移動到終點 B，找出所有的貝塞爾曲線上的點 F。所有的點找出來之后，我們也得到了這條貝塞爾曲線。

如果你實在想象不出這個過程，沒關系，看動畫！

回過頭來看這條貝塞爾曲線，為了確定曲線上的一個點，需要進行兩輪取點的操作，因此我們稱得到的貝塞爾曲線為二次曲線（這樣記憶很直觀，但曲線的次數其實是由前面提到的伯恩斯坦多項式決定的）。

當控制點個數為 4 時，情況是怎樣的？

步驟都是相同的，只不過我們每確定一個貝塞爾曲線上的點，要進行三輪取點操作。如圖，AE:AB?=?BF:BC?=?CG:CD?=?EH:EF?=?FI:FG?=?HJ:HI，其中點 J 就是最終得到的貝塞爾曲線上的一個點。

這樣我們得到的是一條三次貝塞爾曲線。

看過了二次和三次曲線，更高次的貝塞爾曲線大家應該也知道要怎么畫了吧。那么比二次曲線更簡單的一次（線性）貝塞爾曲線存在嗎？長什么樣？根據前面的介紹，只要稍作思考，想必你也能猜出來了。哈！就是一條直線

貝塞爾曲線數學公式

一階貝塞爾曲線(線段)：

意義：由 P0 至 P1 的連續點， 描述的一條線段

二階貝塞爾曲線(拋物線)

原理：由 P0 至 P1 的連續點 Q0，描述一條線段。?
????? 由 P1 至 P2 的連續點 Q1，描述一條線段。?
????? 由 Q0 至 Q1 的連續點 B(t)，描述一條二次貝塞爾曲線。

經驗：P1-P0為曲線在P0處的切線。

三階貝塞爾曲線：

通用公式：

4階曲線：

5階曲線：

上面介紹的內容并不足以展示貝塞爾曲線的真正威力。推廣到三維空間的貝塞爾曲面，以及更進一步的非均勻有理 B 樣條（NURBS），早已成為當今計算機輔助設計（CAD）的行業標準，不論是我們平常用到的各種產品，還是在電影院看到的精彩大片，都少不了它們的功勞。

動態繪制貝塞爾曲線的在線演示：http://myst729.github.io/bezier-curve/

∑編輯?| 裴奕霖

來源 | 部分轉自CSDN博客

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的动感的贝塞尔曲线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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