2007年，白蘭恩足球俱樂(lè)部在挪威超級(jí)聯(lián)賽中笑到了最后。球迷們欣喜若狂，他們都覺(jué)得勝利歸屬于于巴西球員阿蘭齊尼奧。只有阿蘭齊尼奧沒(méi)有為白蘭恩效力過(guò)，他曾效力于白蘭恩的對(duì)手斯塔貝克。所以，這到底是怎么回事呢？

阿蘭齊尼奧

在白蘭恩勝利背后隱藏著許多球迷都熟悉但卻又很少被拿出來(lái)談?wù)摰默F(xiàn)象。在天賦異稟的阿蘭齊尼奧的幫助下，斯塔貝克在整個(gè)賽程中所向披靡，擊敗了一個(gè)又一個(gè)對(duì)手。在26輪的比賽中，白蘭恩幸運(yùn)的遇上了剛被斯塔貝克擊敗的對(duì)手。“這被認(rèn)為是白蘭恩的一個(gè)優(yōu)勢(shì)：他們可以有組織地對(duì)抗實(shí)力較弱的球隊(duì)，”來(lái)自根特大學(xué)的運(yùn)籌學(xué)教授Goossens說(shuō)道。由于輸?shù)舻那蜿?duì)與之前對(duì)手的比賽中可能有紅牌或停賽的產(chǎn)生，所以他們的實(shí)力被削弱了，而且他們?cè)谑『笫繗獾吐洹！币虼?#xff0c;這個(gè)賽程讓白蘭恩很容易成為冠軍。”

一般來(lái)說(shuō)，在一輪比賽中，A隊(duì)先和X隊(duì)打，打完之后B隊(duì)再和X隊(duì)打，這種情況下A隊(duì)會(huì)給B隊(duì)帶來(lái)延滯效應(yīng)。如上文提到的例子所示，這種效應(yīng)可能會(huì)給B隊(duì)帶來(lái)優(yōu)勢(shì)，但也會(huì)導(dǎo)致不利。Goossens解釋道：“作為一個(gè)中間球隊(duì)，你可以在第一場(chǎng)比賽中提升士氣，因?yàn)槟愫鸵粋€(gè)弱隊(duì)打了一場(chǎng)比賽，拿下比賽并且滿(mǎn)懷信心地遇上下一個(gè)球隊(duì)。”在這種情況下，X隊(duì)將會(huì)受益，而B(niǎo)隊(duì)也會(huì)受到影響。但無(wú)論誰(shuí)受益，賽程應(yīng)該合理安排，以避免一連串延滯效應(yīng)在相同的兩支隊(duì)伍中不斷發(fā)生，就像挪威聯(lián)賽中發(fā)生的那樣。

自2006年以來(lái)，Goossens和Frits Spieksma一直負(fù)責(zé)安排比利時(shí)職業(yè)聯(lián)賽。當(dāng)他們接手這項(xiàng)工作時(shí)，他們已經(jīng)意識(shí)到了延滯效應(yīng)帶來(lái)的影響，他們決定看看其他足球聯(lián)盟是如何處理的。考慮到許多與足球相關(guān)的因素，如金錢(qián)、大家的關(guān)注、球員的努力等，答案卻是令人驚訝的：許多歐洲聯(lián)盟以最糟糕的方式處理了這一問(wèn)題。

旋轉(zhuǎn)時(shí)鐘

許多主要的聯(lián)賽，包括德甲聯(lián)賽，西班牙的西甲聯(lián)賽和葡萄牙的西甲聯(lián)賽，都使用了一種整潔而非常古老的幾何方法來(lái)進(jìn)行賽程安排。這種時(shí)鐘方法是由英國(guó)數(shù)學(xué)家托馬斯·彭迪恩柯克曼于1850年發(fā)明的，用來(lái)解決所謂的“女生問(wèn)題”。

下面是它的原理。如果賽程包括n個(gè)隊(duì)伍（n為偶數(shù)），則首先將前n-1個(gè)隊(duì)圓形排列。然后將最后一個(gè)隊(duì)伍放在圓心處，按如下所示的方式兩兩配對(duì)（這個(gè)方法適用于任何的偶數(shù)n）：

這樣就能得到賽程的第一輪。然后保持這些字母的位置不變，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)這些線(xiàn)，于是就得到了如下的結(jié)果：

這就是賽程的第二輪。接著就是一直順時(shí)針旋轉(zhuǎn)這些線(xiàn)來(lái)得到所有的賽程安排。在最后一輪，你得到的結(jié)果如下：

這種方法得到的結(jié)果是一個(gè)n-1輪完整的賽程表，其中每個(gè)球隊(duì)只和其他球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽并且沒(méi)有沖突。

Round 1	Round 2	Round 3	Round 4	Round 5	Round 6	Round 7
A-H	A-C	A-E	A-G	A-B	A-D	A-F
B-G	B-H	B-D	B-F	C-G	B-C	B-E
C-F	D-G	C-H	C-E	D-F	E-G	C-D
D-E	E-F	F-G	D-H	E-H	F-H	G-H

一旦賽程的骨架出來(lái)以后，你還要考慮主客場(chǎng)的影響，妥善安排回程的比賽，將真實(shí)的隊(duì)伍名稱(chēng)替代上述的字母，以滿(mǎn)足可能擁有的其他約束條件，例如，兩個(gè)球隊(duì)共享一個(gè)體育場(chǎng)，就不能在同一天進(jìn)行主場(chǎng)比賽。使用旋轉(zhuǎn)時(shí)鐘法也可以確定主客場(chǎng)的比賽，但是我們將忽略這些額外的任務(wù)，將主要的關(guān)注點(diǎn)放在如何創(chuàng)建考慮了延滯效應(yīng)的賽程表。

正如上面表格中的顏色所顯示的，F隊(duì)帶給了A隊(duì)5次延滯效應(yīng)。考慮到在這個(gè)例子中總共只有7輪比賽，所以這可不是好的賽程安排。要了解在整個(gè)錦標(biāo)賽中，延滯效應(yīng)會(huì)對(duì)比賽產(chǎn)生什么樣的影響，我們可以創(chuàng)建一個(gè)個(gè)延滯效應(yīng)有關(guān)的表格。與第X行和列Y對(duì)應(yīng)的條目是X隊(duì)給Y隊(duì)帶來(lái)的延滯效應(yīng)的次數(shù)。我們這個(gè)例子中的延滯效應(yīng)表顯示了一個(gè)非常漂亮的模式，但它不是我們想要的。在7組配對(duì)中，某一個(gè)隊(duì)總的給另一個(gè)隊(duì)帶來(lái)了5次延滯效應(yīng)。

延滯效應(yīng)似乎在某種程度上影響著比賽的結(jié)果，所以Goossens和Spieksma，以及Erik Lambrechts和Annette Ficker，決定對(duì)這個(gè)理論進(jìn)行更深入的研究。他們發(fā)現(xiàn)，并在數(shù)學(xué)上證明了，當(dāng)涉及到延滯效應(yīng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)鐘法可能是糟糕得不能更糟糕的方法。

這是相當(dāng)令人震驚的結(jié)果。“這是足球以及其他運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中最常見(jiàn)的賽程安排，但這樣的安排非常糟糕的，我想我們可以為比賽的相對(duì)公平做點(diǎn)什么”Goossens說(shuō)到。在學(xué)術(shù)文獻(xiàn)中，延滯效應(yīng)在20世紀(jì)80年代首次被提到，但由于某種原因，它并未受到足夠的重視。“人們要么沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)，要么他們意識(shí)到這一點(diǎn)，但他們不知道它的名字或者術(shù)語(yǔ)。”

最壞的結(jié)果

旋轉(zhuǎn)時(shí)鐘法帶來(lái)的最糟糕的影響是什么？衡量延滯效應(yīng)的影響的可行的方法是將影響的次數(shù)求平方和。（我們對(duì)表中數(shù)字的平方進(jìn)行求和的原因是，只計(jì)算數(shù)字本身就會(huì)給出相同的結(jié)果。）在上面的例子中，這個(gè)值是196。Goossens和他的同事證明了使用時(shí)鐘方法產(chǎn)生的賽程表得到的延滯效應(yīng)值總是最大的。相反地，任何具有最大的延滯效應(yīng)值的表都可以用時(shí)鐘方法生成，例如通過(guò)改變字母在圓中排列的方式。

當(dāng)一個(gè)球隊(duì)遭遇停賽時(shí)，他們的對(duì)手在下一輪比賽中可能會(huì)受益。

為了讓你能更直觀(guān)的認(rèn)識(shí)到延滯效應(yīng)是多么糟糕，我們考慮n = 20支球隊(duì)的比賽。最著名的時(shí)間表（在盡量避免延滯效應(yīng)的影響的情況下制定的）得到的延滯效應(yīng)的值是380。而旋轉(zhuǎn)時(shí)鐘法與之對(duì)應(yīng)的值是5548。對(duì)于n = 24，兩者分別是644和10212，這是多么巨大的差異啊！

爭(zhēng)取平衡

旋轉(zhuǎn)時(shí)鐘法肯定是行不通了。理想情況下，我們希望有這樣一個(gè)賽程表：在這個(gè)時(shí)間表中，某個(gè)球隊(duì)在整個(gè)賽程中所施加給其他球隊(duì)延滯效應(yīng)應(yīng)該是均勻分布的，也就是說(shuō)，每個(gè)球隊(duì)都能精準(zhǔn)確定其他球隊(duì)給自己帶來(lái)延滯效應(yīng)的次數(shù)。這樣的賽程表就相對(duì)均衡了。在這種均衡的賽制里，延滯效應(yīng)值為：n(n-1)，而用時(shí)鐘方法得到的值為：((n-3)2+3)(n-1)。

然而，要做到相對(duì)平衡是說(shuō)起來(lái)容易做起來(lái)難。在所涉及的球隊(duì)達(dá)到24支的比賽，我們只能找到n=4，8，16，20，22這些數(shù)目球隊(duì)的平衡的賽程表。對(duì)于其他n的取值，我們要么知道一個(gè)平衡的表不存在，要么不知道它是否存在，或者存在的它是什么樣。下面的表格告訴我們每個(gè)n都適用哪個(gè)選項(xiàng)。更一般的說(shuō)，存在平衡表的n值一般是2的幾次冪，但也有例外的，如20和22。很令人驚訝的是，在足球比賽的賽程安排里竟然也存在著未解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

然而，好消息也是有的。“一旦你不再完全依賴(lài)時(shí)鐘方法，事情就會(huì)很快變得更好，”Goossens說(shuō)到。“只是一些變化已經(jīng)產(chǎn)生了一個(gè)更加平衡的賽程表。”

為了生成可供選用的賽程表，Goossens建議使用一些數(shù)學(xué)方法，這些方法是專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)用來(lái)解決一些約束問(wèn)題的，比如所謂的整數(shù)規(guī)劃。一旦這樣的方法給了你一個(gè)可供挑選的花名冊(cè)，你就可以將它與時(shí)鐘方法相結(jié)合從而獲得更加平衡的賽程表。這樣就可以盡量的減少延滯效應(yīng)的值，并保留旋轉(zhuǎn)時(shí)鐘方法的一些優(yōu)點(diǎn)。

在2007年潰敗之后，挪威出臺(tái)了一項(xiàng)明確的規(guī)則，以確保賽程表是相對(duì)合理平衡的。在比利時(shí)是沒(méi)有明確規(guī)定的，但只要Goossens負(fù)責(zé)賽程安排，我們就可以很確定，延滯效應(yīng)的影響肯定會(huì)被考慮進(jìn)去并得到較好的解決。在世界各地和不同的體育運(yùn)動(dòng)中，人們對(duì)延滯效應(yīng)的認(rèn)識(shí)是否會(huì)增加還有待觀(guān)察。但有一件事是可以肯定的：讓一個(gè)數(shù)學(xué)專(zhuān)家來(lái)做你的日程安排會(huì)是一件好事。

∑編輯?|?Gemini

翻譯 |?山寺小沙彌

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總結(jié)

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