差点令金融世界崩塌的数学公式
隨著金融危機的發生，金融業界越來越重視金融風險的控制，現在金融風險管理已經成為金融數學研究中的一個重要分支。本文討論的布萊克-斯科爾斯方程給出了還沒完成的金融合同低價的理性依據，開創了復雜的投資新時代，催生出了巨大的全球金融產業。
在Black-Scholes公式中，符號表示這些變量：
σ=標的資產的回報波動/期貨，S =其現貨價格（當前）;
δ=變動率，V =金融衍生品的價格;
r =無風險利率;?
t =時間。
這是投資者的必殺技（holy grail）。Black-Scholes方程 ，這一經濟學家Fischer Black 和Myron Scholes的心血結晶，提供一個合理的給未履行完的財務契約定價的方式。就像在比賽中途買進或賣出一匹馬的賭注。它開辟了一個新的越來越復雜的投資環境，綻放成一個巨大的全球性行業。但是當次級抵押貸款(sub-prime mortgage)市場變壞，金融市場的寵兒變成永無止境地吸吮金錢的‘黑洞’。
任何關注危機的人就會明白企業和商品實體經濟，被稱為衍生產品的復雜的金融工具的搶占風頭。這些不是金錢或貨物。而是投資中的投資，投注中的投注。衍生工具創建了一個繁榮的全球經濟，但同時也導致市場動蕩，信貸緊縮，銀行體系瀕臨崩潰和經濟衰退。正是Black-Scholes方程開辟了衍生工具的市場。
方程本身不是真正的問題。它是實用的，精確的，其局限性也明確指出。它提供了一個行業標準的方法來評估金融衍生品的可能價值。因而衍生品可以在它們成熟之前買賣。如果明智地使用它和市場條件不適用時放棄它，該公式是好的。麻煩的是其潛在的濫用。它允許衍生工具成為以它們自己的方式交易的商品。金融部門把它叫做Midas公式，視它為可使一切都變為黃金配方。但市場忘了Midas國王的故事是如何結束。
布萊克 - 斯科爾斯支撐大規模的經濟增長。到2007年，國際金融體系交易衍生品的價值為每年一萬億美元。這是世界制造業在過去一個世紀所有產品創造價值總值的10倍（調整通貨膨脹后）。更加復雜的金融工具的發明的缺點是，其價值和風險越來越不透明。因此，公司聘請了有數學才能的分析師，制定類似的公式，來告訴他們這些新工具的價值和它們的風險。不好的是，他們忘了問當市場條件改變時結果的可信度。
Black和Scholes在1973年發明的方程;Robert Merton不久后提供了額外的評論。它適用于簡單，古老的衍生工具：期權。主要有兩種：認沽期權賦予買方有權在指定的時間以商定的價格出售商品。看漲期權是相似的，但它賦予的權利，是買，而非賣。方程提供了一個系統化的方法來計算到期前期權的價值。期權可以在任何時間出售。因方程的高效，Merton和Scholes贏得了1997年的諾貝爾經濟學獎。（當時Black已去世，他無資格參選。）
1997年諾貝爾經濟獎得主Merton與Scholes
任何人都會同意，如果每個人都知道衍生工具的精確的價值，人們怎么賺錢？該公式需要用戶估計數值的數量。但用衍生產品賺錢的主要方式，贏得您的賭注 - 買以后可以以更高的價格出售的，或比預期具有較高的價值的成熟的衍生工具。贏家從失敗者獲得他們的利益。在任何一年，介于75％和90％之間的期貨貿易商都賠了錢。當次貸泡沫破滅時，全球的銀行失去了數百十億美元。在隨后的恐慌中，納稅人被迫依據法案，但法案是政治，而不是數理經濟學。
布萊克 - 斯科爾斯公式涉及四個量。三個可以直接測量：時間，安全期貨資產的價格，無風險利率。這是理論的利率，指投資人可以零風險賺取利潤，如政府債券。第四個量是該資產的波動性。這是描述市場價值變化的不穩定的量。該公式假定資產的波動性保持不變，這是需要修正的。波動可以通過價格變動的統計分析來測定，但它不能精確測量，不能保證萬無一失，測量與現實不相符合。
許多金融模型背后的想法可以追溯到1900年的Louis Bachelier，他認為股市波動可以用被稱為布朗運動的隨機過程來建模。在每一個瞬間，股票價格或者增加或減少，該模型假定這些事件有固定的概率。它們可能是等可能的，或某個比其它的可能性大。這就像人站在街道上，反復擲硬幣來決定是否向前移動一小步或向后，他向前向后反復無常。他的位置對應股票價格，隨機上漲或下跌。布朗運動的最重要的統計特征是它的均值和標準差。均值是短期的平均價格，通常在一個特定的方向漂移，上升或下降取決于股市。標準差可以認為是價格偏離均值的平均量，它有標準的統計公式來計算。對于股票價格，這被稱為波動，它衡量價格波動的穩定性。在時間價格圖上，波動對應鋸齒狀的曲折走勢。
布朗運動
萊克 - 斯科爾斯實現巴舍利耶的想法。它不直接給出期貨的（它應該被出售或購買的）價格。這是數學家稱為的偏微分方程，表達了就其它變量變化時價格的變化率。方程提供了具體的認沽期權的價值公式，看漲期權公式，幸運的是方程可以求解。
布萊克 - 斯科爾斯的早期成功，鼓勵金融部門發展一系列針對不同的金融工具的相關方程。傳統銀行可以利用這些方程，評估貸款和交易，預測潛在的麻煩。但是，多的傳統銀行，沒那么謹慎。很快，銀行也隨之進入越來越多的投機企業。
任何現實的數學模型依賴于簡化和假設。建立在套利定價理論基礎上的Black-Scholes方程，其中浮動和波動是不變的常數。這個假設在金融理論中很普遍，但對真正的市場往往是不對的。方程式還假定沒有交易成本，賣空沒有任何限制，錢總是可以以一個已知的，固定的，無風險利率借出和借入。但現實往往是非常不同的。
次貸危機相關金融產品鏈示意圖
因為股市大波動應該是極為罕見的，這些假設是有效的，風險通常也很低。但1987年10月19日，黑色星期一，全球股市在幾個小時內失去超過20％價值，。根據模型的假設，這種極端事件幾乎是不可能的。金融數學方面的專家，Nassim Nicholas Taleb，在他的暢銷書《黑天鵝》中，稱之為這種黑天鵝般的極端事件。但在1697年，荷蘭探險家Willem de Vlamingh在后來被稱為‘澳大利亞天鵝河’發現了大量黑天鵝 。因此，現在這句話是指一個假設，在事實上會出現，但隨時可能被廣泛訛傳。
股市的大幅波動是比布朗運動的預測更為常見。原因是不切實際的假設 - 忽視潛在的黑天鵝。但通常模型非常適用，隨時間的推移信心也增強了，許多銀行家和交易員忘了該模型有其局限性。他們把使用的公式作為一種護身符，如果出了差錯，數學魔術可以保護他們免受批評。
銀行，對沖基金和其他投機者很快就在以大數量交易復雜的衍生工具，如信貸違約互換（credit default swaps）。它們定價后也視為資產。這意味著它們可以作為其他采購的安全支付。當一切都變得更復雜，模型用來評估價值和風險與現實偏離越來越遠。某處下面是房地產，市場假定屬性值將保持永遠上升，故這些投資無風險。
布萊克 - 斯科爾斯方程在數學物理中有解的，解定義在實數軸上，時間連續的和變化率光滑的。這種模型在金融世界中可能是不恰當的。傳統的數理經濟學并不總是符合現實，它失效時，嚴重失效。因此，物理學家，數學家和經濟學家都在尋找更好的模型。
在這些努力的最前沿，是復雜性科學（complexity science），一個新的數學分支，把市場建模為一按照指定的規則的個人相互作用的集合。這些模型顯示一哄而起的群體心理（市場交易商復制其他市場交易者行為）的破壞性影響。幾乎每一個在上個世紀的金融危機就是被一哄而起的群眾推到邊緣的。它使一切在同一時間破產。如果用工程師們的看法，一架橋梁倒下，其它所有的也會倒下。
通過學習生態系統，知道經濟模式的不穩定是常見的，主要是因為金融體系的設計不良。用點擊鼠標來轉移數十億美元的設施，可能會允許越來越快的利潤，但它也使股市沖擊的傳播更快。
金融崩潰應歸咎于方程？該還是不該。布萊克 - 斯科爾斯可能導致崩潰，但僅僅是因為它被濫用。在任何情況下，方程僅是一個在不負責任的金融，政治無能，激勵倒錯和監管不嚴的豐富燉湯中配料的一種成分。
盡管其所謂的專業知識，金融部門沒有比隨機猜測的執行的更好。股市已經度過了20年，不知路向何方。該系統太復雜，以致不能依據錯誤預感和直覺運行，但目前的數學模型不能充分代表現實。整個系統是知之甚少，岌岌可危。世界經濟迫切需要進行大刀闊斧的改革，那需要更多的數學，而不是更少。這可能是火箭科學（rocket science），但它不是魔術。
作者：Lan Stewart??譯者: ?李季
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總結
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