数学学习的心理——关于数学中的挫败的反思及若干启示
抽象數學研究的歷史啟示
數學體系發展至今，根深葉茂，枝盛果繁，其盤根錯節之復雜已至于經無法對其給出確切定義的境地。這無疑成為了數學學習溝通、交流、繼承的最重大問題，事實表明，自龐加萊謝世以后，這種局面至今已經完全實現并有愈演愈烈的趨勢。隨即引發對一個問題的思考：我們是否會因此而無法把握數學之全局？希爾伯特所謂的“我們必須知道，我們一定能夠知道”的豪言究竟要如何落實？
從三次數學危機以后分裂為三大流派的歷史事實來看，數學從傳統的悖論驅動、問題驅動逐漸發展到本質驅動。邏輯學的淵源是沿襲一直以來悖論危機的慣性動力。形式主義的淵源是源自歐式幾何、非歐幾何以來的公理化進程。構造主義強調數學對象的可構造，排斥一切無法實際構造的對象的存在性。
邏輯主義學派遠承萊布尼茲的衣缽，近承康托爾的偉大思想，致力于數學體系在邏輯歸納體系中的重建。羅素和懷特海的偉大著作《數學原理》昭示了邏輯路徑的偉大勝利。邏輯學是數學的少年，數學是邏輯學的青壯年。這種偉大的思想直接揭示了數學探索的全部心理本質，尤其重要的是，這一論斷明確地把數學作為邏輯學的本體而非分支，由此明確地承認了邏輯學是“發展著的學科”，廣義邏輯方法則是數學的本質核心。
其次看形式主義的思想，形式主義其實可以說是抽象層面的構造主義，但凡形式，或必有其形，或必其式。一般來說，形是原始存在的式，式則是抽象以后的形。希爾伯特的思想可謂遠承歐幾里德、羅巴切夫斯基，近承黎曼，認為形式是自然的語言，自然則是公理的示現。換句話說，形式主義可以簡單地理解為“但凡可知的必可表達；但凡可表達必可推演；但凡可推演必可有限步驟”，所謂“有限步驟”實際上是對“公理”的存在性的另類表達——因為命題自身本征邏輯的有限性，因此所需論證的子命題數量有限；因為公理本身數量的有限性，則子命題所須引注的基礎定理也有限。可以說，然而從哥德爾不完全定理可知由于自指證明的悖論導致了任意系統的不完備，不完備定理直接導致了形式主義淪入了“徒具其形”的黑洞（即僅僅立足于形式上的自洽），而逐漸背離了希爾伯特的本來意圖——形式是邏輯的語言，純粹形式必須以廣義邏輯公理為其本質。但同時，形式的絕對化也極大程度地對傳統狹義邏輯觀念產生了沖擊——究竟什么是邏輯判決的依據，即什么樣的邏輯是可信的，邏輯究竟應該服從什么樣的規律。事實上，不完備定理不光是導致了，事實上還揭示了公理化系統探索的極限所在——也就是說，如果公理體系除自指證實盲區以外，對既有，便就。由此可知我們可以充分的地理解，所謂“嚴格證明”的內涵——“嚴”即嚴密推導，“格”即基于公理化歸納邏輯體系的純粹形式。由此可知，邏輯的縝密依托于嚴謹的傳遞，嚴謹的傳遞則依托于嚴格的形式。而所謂“嚴格證明”只是一種暫時的可信證明（所謂“可信”翻譯過來即是“在當前尚能完全解釋已知邏輯的公理化假說邏輯體系內的純粹形式推演結果”），并非終極意義上之絕對正確。可以說，在不完備定理與形式主義共同構成了數學行為自明性的基礎。
再來看構造主義，構造主義遠承卡丹、牛頓、歐拉的幾何思想，近承高斯、加羅瓦的解釋構造方法，對邏輯主義同樣產生了很大的沖擊（典型如羅素悖論；又如Tarski球，一個球按某方案分解后可以重構出2個同樣的球），實際上在經歷了分析體系嚴格化歷程以后，數理邏輯基礎只是步入了一個暫時穩定的期間。可以說，從表面上看，構造主義是邏輯主義的最大對立面，也是邏輯主義最有益的補充。構造主義的本質實際上是深度的解釋主義，以深度的解釋主義以求得組合思維的解放（譬如用良序集概念歸納自然數集合），并由此構筑起基于基本元素的綜合抽象理論（例如實變泛函）用以指導構造。
由此可知，形式主義其實是邏輯主義的方面。構造主義則是邏輯主義的慣例。實際上，從某種意義上講，構造主義還是形式主義的一個分支，因為構造主義所強調的“可構造”實際上是旨在得到一種顯式形式，也就是說構造主義實際上是以“邏輯需求在形式上的綜合”為其中心立足的。換言之，只要無法找到與其他邏輯找到綜合方案的概念（數學體系中的任何概念要想與其他概念自洽，就必須明確其與其他概念之間的綜合關系，換言之，任意在數域中引入的要素都必須明確其基本運算法則）就無從獲得成立（即無法在以既有數理邏輯體系為參照的邏輯空間內存在）的理由——這就意味著如果非要兼容該該概念，則必須重構當前體系的數理基礎。也就是說，必須訴諸尋求能夠兼容當前體系和引入要素的本體概念作為新基礎。
對數學學習的心理體驗及啟示
數學學習本身必須具備充分的直觀性，構造主義提示我們，在數學的數、形乃至各種形式轉化的過程之間，用以支配行為導向的是最基本邏輯單元其實是類比與擬合，擬合的內涵是組合與嵌套，由此可以得到構造的指導流程如下：
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? ? 目標：模糊屬性邏輯信息——具體對象
? ? 具體對象無外乎函數（只要定義出運動方式，幾何體也可以通過解析函數的交集來描述），因此問題轉化為“模糊屬性邏輯——函數”，
? ??步驟一：模糊屬性邏輯——>函數表面關系需求交集
? ? 該步驟即完成模糊屬性邏輯的直接轉化，任意函數都是一個映射，而任意映射都是一種對應關系。既然最終要得到函數，最直觀的想法是完全有理由訴諸于直接的途徑獲取函數的表面關系需求信息。
? ? 比照我們日常的逆向推理，我們往往針對我們的目標所需的必要條件試圖尋找獲得它們的最直接的邏輯路徑。同時，當我們在既有的要素范圍內無從獲得方案時，往往會突破當前的集合范圍前提，擴大范圍，引入其他因素以實現整合式探索。可以說，這是引導我們的邏輯推理前行的兩大驅動。
? ? 要把所有的模糊屬性邏輯放在一起處理是極其復雜的，可以利用集合容斥原理對所得到的函數表面關系需求信息進行選擇。這里最為困難的是函數表面關系的推演。因為如果僅僅推導出作為必要條件的需求信息，那么這些信息必須求并集才能覆蓋全部的模糊屬性邏輯。而只有推導出作為充分條件的需求信息，集合元素的數量才能盡可能壓縮，才能為下一步構造函數提供更充分的自由空間。
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? ?步驟二：表面需求信息交集——>點區間映射劃分方案
根據實變函數的定理和泛函理論，通過猜想和論證，我們盡可能將得到的抽象信息集合向具備蘊含更多幾何直觀信息的方向傳遞轉化。
既然是為了獲取幾何直觀信息，那么為什么要在這里采用“點區間映射劃分方案”這一提法呢？因為這才是本階段獲取幾何直觀信息的全部目的歸宿。有了這個才知道函數內部的粗略結構
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? ?步驟三：點區間映射劃分方案——>根據函數理論、泛函理論歸納抽象屬性原因集合
??? 回歸到抽象屬性原因集合實際上是對上一步驟獲得的幾何直觀信息集合的進一步嚴格化規約和確認，同時數學推導必須嚴格等價，也是為了解決最終求解信息的充分性問題和解集的有限性問題，有必要對函數的信息做進一步外推。
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? ??步驟四：屬性原因集合—>反向生成函數
? ? 函數方程實際上是構造的最后一個環節。結合屬性原因列舉方程，求解或回歸目標函數。
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從外觀到內蘊——對低維向高維空間拓展的數學心理
“何以識其類？”是類比過程中最根本的問題。比照線性代數中的向量維度，其實幾何問題代數化實際上是一種形式結構的轉換，由此相應帶來的是形式視覺心理的變換。高維空間的延拓在直觀上的想象是極其不易的，我們之所以無法建立自己在高維空間的視角，實際上是因為我們生存的環境本身，因此我們只有將高維空間做降維壓縮以后才能幫助我們稍微理解高維向量的概念。但若將幾何的關系表為代數形式，則延拓很容易在形式上得到證明——直接的原因是，運算符號的增加并不構成我們的內在思維視覺角度的困難。維度的增加在運算符號的反映于我們心理上的暗示意義是“加綴”而并非“延展”，問題的關鍵在于，我們如何確認低維空間代數形式上示現的“同構”是幾何結構的本征？
從上述的視覺心理的變換不難察覺，這實際上是在幾何結構系統與代數符號系統之間的一個關系映射。由此，高維空間的認知角度就從傳統的“外觀”轉為“內蘊”（傳統上我們都習慣處身于高維空間內觀察低維空間，那么我們所觀察到的性質往往是低維空間的外在性質，是一種沿襲著“解構——演繹”角度的認知結果；如果我們立足于低維空間來研究高維空間，由于無法開展直觀的可視化分析，是沿襲著一種“結構——分析”角度的認知結果）。也就是說，我們處在一個高維空間的子空間里，同樣也可以認識到高維空間的性質，之所以能夠這么做的根本原因，是因為符號表示歸納了幾何基本元的全部信息。換言之，我們在高維子空間里觀察的性質一定蘊含了普遍空間的本征信息，由此可以聯想到抽象代數中“同構”、“同態”的定義。不難證明映射在二維、三維空間內為“同構”，那么根據算子的代數形式規律則可以順利地延拓算子作用在高維空間中單元函數上的代數形式，從而利用同構映射的概念反推出高維空間的同構規律。換言之，把低維規律向高維空間延拓的本質依據是“同構”。維數增加所造成的
由此可以確認，數形結合實際上是一種匹配我們認知心理慣性的問題處理手段。數、形之間通過形式結構的轉化（數的形式結構單元是符號及集合空間，），形成了結構關系映射，相對基于“具體——特例”（幾何向代數轉換則“視覺具體—函數特例”，代數向幾何轉換則“函數具體——幾何特例”）的數形結合初級階段，這種基于“結構—映射”是數形結合的高階階段。
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對偶、對稱思想在延拓中的驅動作用
數學證明成立的充分條件是“嚴謹”。對此的理解可以分為2個層次：一種是邏輯直覺意義上的嚴謹，這個層面的邏輯依賴于數理邏輯符號的推演，所面臨的要解決的中心問題是相容性問題。其次就是形式意義上的嚴謹，即所謂形式邏輯必須嚴格，即在形式邏輯系統內部必須是一致的。
相容性問題的直接原因是悖論，為了協調悖論，同時為了兼容既有的理論成果，最直接的解決方案是引入新的概念、理論與方法——這種引入既不是自娛自樂的無中生有，也不是漫無邊際的無病呻吟，而是一種新的觀念視角以及由此衍生出的理論體系。悖論中最為常見也最為典型的有2種：一種是出現了無法自圓其說的情況（這最符合悖論的字面含義）；另一種是由于形式邏輯系統的局限性所造成的解釋缺陷。后者長期為人所熟悉但卻很少作為悖論為人所認識——事實上，當數學被作為自然的語言和模式的科學來定位時，這種情況就在事實上完全獲得了悖論的存在方式。
以實無窮概念為例，這個概念時至今日仍有爭議，其邏輯淵源值得一再探討。試圖思考這樣的問題：高斯至死不承認實無窮，何以康托爾對實無窮概念的信念能夠從一而終，堅持到底？羅素悖論看上去樸素直觀，但何以康托爾竟似從未察覺到？歸根結底，恐怕是在邏輯直覺意義上的嚴謹認知存在根本分歧。高斯反對實無窮的理由實際上源于他折衷主義的事物觀，即在高斯的思想里，抽象概念必須是形而下邏輯經驗或慣例的歸宿，也就是說邏輯概念的建立必須以“實有其事”作為檢驗標準。康托爾的觀念里實際上有2個前提：
一、一切邏輯外觀的事物均可找到歸納它的抽象本體；
二、任意抽象本體均要符合普遍算子規則，算子一致性其實可以分為2類：一是收斂，二是發散，算子收斂的充要條件為“結果可確”，所謂發散，實際上是在數域的值性質上無一致性，具體可表現為無方向性（如交錯發散），無界性（持續增大）。
于是就要問，這種思想觀念差異的根源何在？觀念的差異根源實際上仍在于對概念的本體根據的看法不同。淺白地說，觀念決定角度，實際上，觀念的立足本身也是一種角度，這在根本上決定了觀念的格局。由此我們也可以得到一個啟發：數學研究的不斷變換角度實際上是一個不斷擴大歸納容量的過程，各個立足角度之間的兼容程度其實都只能覆蓋本體的局部，角度之間的過渡會不斷地擴大覆蓋的范疇。
數域的延拓是協調第二種悖論的直接方案。從自然數擴展到分數，是立足于乘法逆運算（除法）的拓展。由分數得到小數（分形數），是立足于十進制進位逆運算的拓展，是自然數到分數擴展的進一步延伸。從正數到負數，是立足于加法逆運算的拓展，從有理數到無理數，是立足于冪運算（盡管冪運算的本質是乘法，但在概念獨立區別于一般乘法）及化圓為方的逆運算（pi的出現源于“以方求圓”）的拓展。冪運算還直接驅動了從實數到虛數的拓展。由此可見，數域拓展的內在原因其實是“解釋”。解釋成立的依據則是計算規則上的自洽，即依從運算的基本映射法則（對于任意數，在正運算算子作用下，擴展數（所謂“逆運算結果”）與狹義數的集合映照恒等于狹義數與單位圓的集合映照，即“數對自己的映照”），同時，數域拓展的直接動力是“對稱”，是對運算盲區的突破。更重要的是，數域的拓展不是自娛自樂，究其思想本質也不是現實需要的產物（現實需要只是導致其被發現的緣起），而是由“作為解釋邏輯的基本元——數的本質”的認知需求驅動的。本質的外觀是形態，因此可以存在研究數論的不同角度（分形的角度，如小數；分類的角度，如超越數和代數數）
從有窮到無窮，其實是立足于突破“有窮域內算子結果為單一數值”這一傳統，無窮與有窮之間存在對偶性質：有窮數可確為一個“點”或“分割”，而無窮則確為一個存在若干外在數值公共性質之集合。算子作用下，有窮數值運算結果為一個數值，而無窮之可確運算結果則為一個集合。無窮集合的出現直接擴展了“0”的內涵（此前，0僅作為一個于實與虛之間的符號整數存在，其引入的直接目的是便于計算，其數值性質只到了“無窮小量”出現時才引起關注），并改變了傳統的精確數學的思維觀念，改變了傳統數學的理論基礎——即數學運算結果可唯一確定，并不代表計算的產物必然唯一，必須將產物的極限視作數學計算結果的本質，即將0賦予“無窮小”內涵，才能圓融地解釋無窮小量和數學計算結果之間存在的矛盾。
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“事物”邏輯認知觀念的若干啟示
邏輯是包括觀察范圍內對象要素及相關相互作用關系在內的表達。辯證法。傳統上理解的“事物”，事為物內邏輯，物乃事理的實現。進一步推理：“事物”也分稱為“物事”、“軍事”、“政事”、“人事”，則前者為對象定語，后者為主語成分，由此可見“事”其實是物的全部本質。進而可知實際上“事”的全部本質內涵就是邏輯。
反觀我們的數學概念，其實都不外乎一種“事”，所謂“事物”，其實可以理解為古代儒家經典所謂的“必有所事焉”，也就是說我們認識“物”的方式總是以“事”為基本線索的。由此可知，假設事物為可知（或者至少存在可知的部分），則可知事物必然服從“事外無它物”的規律，換言之，也就是物不外乎事，這就給予我們以極大的啟發：要想獲得科學而自由的數學觀念，重新審視我們傳統的指稱觀念和關系邏輯觀念是首要的。
不難發現，我們對中文稱謂語法里詞性定義的認知其實不自覺地固化了我們的觀念，我們總是習慣認為一切事情都必須圍繞“物”為中心開展討論，而這個“物”必須是名詞指代（可以是現實名詞，也可以是抽象名詞）而不是一個任意的抽象綜合邏輯對象，而事實上，物的指代在英文語法邏輯中的體現則要寬容得多，英文將名詞按“格”劃分（譬如主格、賓格、物主格、動名詞格）、將謂語按“時”、“態”劃分（譬如現在進行時，過去進行時，過去現在進行時）的背后是一種映射思想。這與中文中不分時態的語法邏輯形式形成鮮明對比：
由此可見，英語的語法組織指導思想與中文有所不同：
中文的“稱”與“謂”在邏輯上是極其寬泛的，因此一種具象的稱謂往往被廣泛地應用于極其廣泛乃至抽象的表達場合，這么做的根據是中文旨在“意會”的內在邏輯稟賦（例如得體、實用、性質），而于關系（這里的關系是廣義的關系，既可以是本體和外用的關系，也可以是任意事物之間的任意相互作用）的“形容”上才極其貼切，這種貼切的心理體驗實際上也是基于“意態”的譬喻的——即具體現象向抽象意義作感覺象征式引申的（譬如高明，涼薄、端倪，由此可以理解中文含蓄之意）。也有人把這種譬喻描述為“類比”，其實這并不完全準確，準確地說，譬喻只是類比的一種形式，但仍可窺見所謂“類比”的“類”實際上指的是“抽象邏輯關系”，即表面關系背后的邏輯模式。所謂“比”實際上是一種移借式的引申。之所以會存在這種現象，與中文的語言心理的歷史息息相關。也就是說，無論是寬泛的還是貼切的，中文都將“表意”作為表達的立足中心（表達的本質任務是“達義”），
而英文的“稱”與“謂”的格律是極其精確的（其實中文詩詞中的格律要求也極其嚴格，填詞頗有似于構造函數），而在關系形容方面則要模糊得多，有別于旨在意會的形容，英文的引申邏輯近乎“形象”（譬如 re-search之于研究，ex-traction之于血統，university之于大學）：語言必先明確其稱謂時態背景，前者的精確反映西方分析思維特點，也就是說，分析的宗旨是明確事物的態性；關系之形容必以視覺象征。而后者的粗疏則反映西方歸納思維的特點，即西方的歸納表達也是基于對象方面特征模式的同比（譬如extraction,“血統”與“提煉”在原始體和自體的內涵繼承上均有相同含義；又譬如research，研究探索和反復搜索在鎖定目標過程的行為表現上有相同含義），而在構詞設計過程中，針對對不同方面的特征模式，其選擇原則的邏輯必須保證其相對其他詞匯的唯一區別性，即所選擇的方面特征模式必須是該詞匯的區別性本征。
由此可知，語言系統其實也完全可以采取如數學邏輯系統的建構原則——語言的復雜詞匯通過簡單詞匯組合而成，。意識中的事物完全可以較之現實中的事物廣義得多。事既可以作為一般意義上的“物”的屬性邏輯，其本身也完全可以成其為對象意義上的“物”，同理也可以推出“事”的屬性邏輯。以歐拉公式為例，將視作，則不難得到的導數；于是通過構造微分方程就不難證明，我們對方程的習慣認知是“事”，而通過“事”的對象化就解決了。盡管這并非唯一的論證角度，但對拓寬論證的思路觀念是很有好處。
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數學中的典型概念演變
關于數學學習中的挫敗的反思
俗話說的好：失敗乃成功之母。這句話在實際科研的過程中簡單地理解為一種不畏科研高峰艱險的豪情與勇氣。在傳統的官方作品中，科學家形象總是被習慣性賦予了政治家的豪情和藝術家的怪癖。事實上，失敗乃成功之母，但文學作品總是立足于“不謬”的實證角度，卻無助于在學生心理上形成“誠哉斯言”的反響。失敗乃成功之母明確地提示了失敗對探索成功路向的重要提示、啟發意義。
有一種廣泛而根深蒂固的觀念：即認為數學是計算、演算的學問。應該說，這種觀念是導致數學學習疲倦感和恐懼感的根本障礙。事實證明，人的計算能力、記憶能力其實并不比動物優勝（考究鴿子、馬的識途即可知此言不虛），而在想象力和抽象概念能力方面則為萬靈之長。如果認為數學是一種神秘的計算技術，那么所謂“算術”就很容易在普遍心理上淪為一種類似星相占卜的不可知論，導致這種現象的重要原因是對失敗原因缺乏實質性的心理把握，即對失敗的根本原因并未在達至“因明”。僅舉數例如下：
（1）從計算的抵牾表面來看，是實際計算不合數理導致了計算的謬誤和推演的抵牾。我們習慣上的直接反應是覺得“猜錯了”，進而認為我們應該重新猜測，這種觀念在于把計算和概念認知本身形成割裂，事實上，計算是推理構造的工具，也就是推理內核的一種外在作用，之所以對應計算存在諸多的技巧和方案，其本質都是計算背后的概念的支配結果。由此可知，算法的本質依賴不在于形式而在于概念關系本體的證明。
（2）從幾何的論證上看，我們總覺得是論證的角度出現了問題導致了演繹的寸步難行。我們習慣上也認為這種角度“行不通”，進而在心理上形成謬誤的印象，但事實上，幾何推演是一種條件組合的過程，條件組合以后并未構成足以揭示關系本體的信息并不意味著條件組合本身的謬誤，只能說明組合于論證目的的不恰當性。
事實上，數學是概念的產物。數學論證的簡潔實際上是建立在的心理基礎之上的。從戴德金關于“數的是一種分割”的定義來看，這種形而上的定義似乎很難為人所接受。那么究竟是什么造成了我們心理上的郁結呢？比對如下：
（1）“分割”是一個動作指代，如何能夠成為“數”這個名詞的本質呢？
（2）作為“分割”存在的數，何以能夠證實它本身與此前一切的基本數值性質就是相容的？
這便涉及到上述的“事物”觀念。針對問題（1），試讀這句話，The nature of real-number Is kind of Division（動名詞）.理解起來就要自然、容易一些。針對問題（2），“分割”僅僅強調了數之間的位置區別性（即建立數的疏朗性）而并無其余信息之附加，盡管如此，分析體系構建過程中所謂“相容”從本質上講是暫時的，是“目前尚未發現不相容”前提下的相容。
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對幾何論證的困境的思考
由此我們可以回顧一個重要的觀點：即我們并未看見幾何圖形，我們所獲得的只是對幾何圖形本身的視角。這個觀點具有重要的啟示意義。也就是說我們在實際論證幾何圖形的過程中也忽略了很多信息。盡管我們自身似乎并不容易覺察到這一點，但確是事實，論證的推演實際上是以論證的邏輯對象為中心的探索，而幾何圖形則是其中一切邏輯的整合。這也就提示了一個重要的信息：所謂證明，實際上是以若干視角（即該對象的部分關系信息或內蘊信息）為分析對象的中心角度，這些視角之所以能夠作為依據，是由于視角本身來源于幾何對象本身，即視角的作用本身與幾何對象的構造外觀完全吻合的，也就是說，觀察視角實際上是幾何對象的某種內蘊組織模式。
幾何論證往往會陷入難以演進的困境，卻鮮有人在題目謎底揭開以后對此前的挫敗做充分的反思，以探明自失敗通向成功的邏輯路徑。這種買櫝還珠的行為是極其令人遺憾的。從困難的直接表面來看，是由于幾何論證推進到了信息不足的環節。一般對此的直接理解是幾何論證的角度即視角出現了問題。進而令人不禁懷疑幾何的認知是否存在某種神秘的密鑰，必須嚴格沿襲這個唯一的路徑才能揭開論證的謎底。應該清楚地看到，論證路徑是否唯一其實是不絕對的，或者說，在終極意義上講，我們至少應該相信論證路徑肯定不止于一種。這信心來自于對，而從現實的角度上講，值得樂觀的是，重要我們存在足夠的耐心，至少我們能夠找出但從困難的根本性質上講，但事實上是幾何論證的策略出現了問題。視角本身是無誤的（只要推演符合數理邏輯），但關系的組織邏輯本身卻未必盡如猜想——或者關鍵的中間環節邏輯根本不如解題者所以為的，或者邏輯的傳遞并不具備足夠的裕度：打個比方，譬若我們走在一個迷宮的死角里，迷宮的死角假若打開了一個口，沿襲我們的思路未嘗就不能到達終點，但可惜的是，既然迷宮的設定已然，那么我們的思路，這個時候不能徑直認為我們的來路便就是錯，而只能說明來路之初無從估計——這里所謂的來路之初是針對站在地面上進入迷宮的人而言的，這就好比我們任意選擇了一個觀察視角。當然，如果凌空俯瞰了迷宮地圖的人，自然是知所適從，無往不利的，因為他的見解建立在了透徹問題的邏輯的組織結構即所謂“模式”的基礎上。要想獲得針對高度抽象而晦澀的問題的這種能力很不容易，對地面上走迷宮的人而言暫時不可企及。但這不代表地面上的人無從得到進入獲得這種能力的途徑的機會，關鍵是在必須經歷了多次的進退維谷以后，他才能獲得足夠多的提示信息，才有可能得以退到合適的位置重新開始。。而更重要的是，迷宮里的人只有充分意識到多次進退維谷背后的邏輯共同點，他才能知道問題背后的“模式”的輪廓，才能有望總結出最簡潔的方案來解決問題。
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數學簡潔性訴求的必要性
為什么數學就必須訴諸簡潔性呢？這是數學成其為自然語言的重要原因。科學家相信自然原理先驗地排斥邏輯冗余。因為冗余邏輯不符合自然邏輯演化的“步態”原則，也就是說，數學家的觀念里，在必要邏輯以外多出的邏輯，其來源是沒有根據的。那么就要問，究竟什么是簡潔呢？
對“簡潔”的直觀理解是論證的邏輯很直接，步驟非常少，但事實上，“簡潔”的本質含義是要找到一個新的邏輯本體中心。因為一切的簡潔就其本質而言，都是邏輯的傳遞。而事實上，數學的抽象動力并不源于表面的邏輯推演，而源于邏輯歸納和傳遞方式的需要。之所以要試圖找到一個立足的中心本體以簡化邏輯傳遞的模式，實際上正是數學認識論的中心思想。
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范數的啟示
范數這個東西在初學者看來極其突兀，定義也沒有明確的說明。我們先看看范數的定義
設X是實（或復）的線性空間，如果對每個向量，有一個確定的數，記為與之相對應，并且滿足
1、
2、（其中α為任意實復數）
3、
則稱為向量x的范數，稱X按范數成為線性賦范空間
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從上述的情況來看，范數的性質實際上就是實數域（復數域）的全部幾何關系規約，即這里的幾何關系規約全部都是“內稟”的（所謂內稟的，即完全由其自身存在而自然賦予，無需另行外賦。之所以認定為內稟的，是因為復數本身就具備這樣的屬性），而這些內稟屬性集合又被認為是與數值空間等價的，之所以認為是等價的，與連續統本身的幾何本征有關。那么換言之，范數的性質同樣適用于任意維度的數值空間，是以謂之“范”，即數值空間的規范。于是有范數空間，即“規范”的數值空間——換言之，就是等價于連續統數值空間（幾何本征關系）的任意維代數空間。范數是幾何視角看代數空間的思想產物，先從幾何本征角度規范代數，最終還是反過來用代數歸納、描述高維幾何。
也就是說，在代數、幾何分別獨立發展的期間，聯系二者的唯一樞紐就是“數值”和“關系”。在解析幾何坐標提出以后，幾何問題獲得了代數化的觀察、解決角度。但實際上，從解析幾何的向量概念進行導引，線性代數開啟了以“空間”為中心視角的解釋研究角度，把許多關系性質的研究歸結到代數空間上進行解決（典型如矩陣的乘法，空間與空間的相互作用，從狹義向量幾何的角度來看是一種結構作用關系，所謂“投影”，從單一向量與單一向量的點積可以理解為“單一向量在單一坐標維度上的作用[理解為狹義物理功是狹隘的，之所以這么說，是由于廣義“功”的計算本身只要滿足“點積”，而物理功則必須要以量綱為必要條件，所以應理解為“廣義功”，即如果一定要進一步剖析解釋，理解為在該坐標維度上的梯度的作用效應（即所謂“廣義功”）]?效果”，但單一向量與多向量構成的向量空間的點積可以理解為“該向量在某向量空間內的作用綜合效果”），那么代數空間的基本抽象運算定義也可以通過在復數空間內的同類運算意義來做類比理解（之所以能夠這么做，其背后的原因必須充分說明，否則會令人陷入“何以識其類”的困惑當中。）。由此回顧杰出代數幾何學家肖鋼先生的名言“代數是一種解釋”，信哉斯言。
幾何是純粹的結構，解析幾何則是將幾何置于純粹分析的邏輯尺度下的分支。拓樸是對“樸素”的“延拓”，即純粹的分析學科。結合上述分析再推延開去，便可以窺得一點數學分支發展動力的端倪：幾何代數是立足幾何結構角度研究代數關系，代數幾何則是立足代數綜合角度看待幾何問題；拓撲代數是立足于純粹分析角度重新建構代數體系，由此可見，數學的分支發展進入了純粹形式邏輯的時代，各自均以其所選擇的形式邏輯中心對其他分支進行解析、解釋和構造。但無論如何，所謂“千里之行，始于足下”，先找到自身關于“結構”關系認知的中心本體，以此為根據對其他體系進行重構都是必須而首要的。
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數學技術在演算中的作用及地位
演算在心理上往往以兩種形式存在：一是結果計算實現的工具形式；二是，事實上，演算分為分析類的演算（譬若我們計算無窮級數的收斂和）和綜合類（譬若我們要歸納機器的動作為矩陣運算）的演算，前一種要靠“技”，后一種要靠“術”。所謂“技”，實際上是一種組合的謀略（譬如我們希望知道，），所謂“術”，則更多的是一種歸納匹配。
回顧我們的演算心理，常常會遭遇這樣的尷尬：我們總希望事物、事情如己所想，但計算的結果卻很令人沮喪。我們總因為事情不如我們的預期而迅速地放棄原先的構想，但事實上，有一個鐵一般的事實我們無法回避：和上述的幾何問題一樣，我們實際上并不清楚演算失敗的真正原因。
事實上，綜合演算的場景一般是這樣的：根據某些形跡和朦朧的感覺，依稀覺得復雜運算中的基本概念的印象模型實體是XXX的，由此得出運算的意義實際上就是YYY，進而在概念層面設想出一番數值等價關系，由此驗證而發現抵牾。這種問題最直接的原因往往是對運算的意義存在似是而非的“以為”，一般的表現是根據運算所呈現出的某些特性與某些物理事件的作用機制相符，即將該運算與所認為的物理事件的相互作用等價起來。這種邏輯不但不是毫無道理，可以說很有意義，實際上是數學作為整體發展的一個重要的邏輯樞紐，但在實際應用中必須充分注意其必要條件。只有在該運算完整地涵蓋了物理事件作用的全部內涵，才能保證這種猜想的成立。盡管常有謬誤，但這種思想仍舊重要，猜想實際上就是由這種思想驅動的。
分析類的演算的謬誤則往往源于“技”的枯竭。技的枯竭源于對概念本質把握的貧乏。尤其是抽象概念，多數的技能枯竭都是由于對抽象概念缺乏實質性把握導致的。要解決這個問題，必須先理解抽象概念的實質性把握機制。抽象概念本體往往是一個極其難以描述的對象，因此這些概念本體的描述在應用中往往是間接的，也就是說這些概念本體在應用場景中總是以這樣那樣的具體性質的形式存在的。這其中就發生了一個問題，就是說在把握抽象概念的過程中，一般分為如下幾種角度：
（1）利用抽象概念的必要性質（含性質的組合）即可解決問題
（2）必須借助本征性質的簡約組合重構抽象概念（即以若干本征性質的組合等價該抽象概念），以匹配實際計算的策略需求
區別于“以有限列舉逼近”、“以集總形式歸納”、“以循環形式表達”這三種具象對象的處理方式，抽象概念的處理就是“以必要局部等價全局”的思維。
信息論是用來衡量信息關系傳遞模式的，不同的求解思路實際上就是不同的信息組合，在邏輯推導的過程中，可以借助基于概率論的信息論來衡量（傳統上認為決定論和概率論之間存在絕對邊界，但事實上并非如此，當分析數學的基礎建構于極限概念之上時，確定性實際上是隨機性的收斂極限，因此完全可以借助信息論的推導來提示、引導思想的探索方向，這就為純粹抽象的嚴謹無差數學探索和概率性思維實驗之間搭建了溝通的橋梁）。
數學中的擬合不僅僅是一種工具，譬如要構造一個未知的滿足某些條件的函數，一般有以下幾種角度：
一是求滿足單一條件的集合的交集。
二是盡量分析既有慣性思路中存在的可分析盲點，例如構造某點可導但任意鄰域不可導的函數，就是利用了實數中無理數、有理數且無理數存在于有理數任意小領域內的特點。
三是理解并掌握數學基礎單元的特性，將之視為模塊化響應函數，通過系統組合設計來進行擬合
數學證明過程中不可避免地會涉及到依靠“所得即所見”（這個依據的最大前提約束是“處身于高維空間觀察低維空間”）推導所得的部分。這樣的論證總是普遍地存在于中、小學生的。事實上，中小學數學教育的最大盲點在于沒有揭示出這個階段“證明”行為的本質——即這種基于外觀的所謂“證明”行為本質上只是一種外觀層面上的形式關系演繹。也就是說，分析體系內的關系語法是以集合論中所定義的基本關系為其基礎的，更進一步說，一切純粹分析論證均可回歸到基于集合論的關系算子的描述式上。所以要得到純粹分析意義上的證明，必須首先將視覺直觀邏輯全部歸納到分析邏輯中去，由此形成完全基于抽象解釋的分析邏輯體系，才能徹底擺脫幾何直觀對數學論證的干擾。從這個角度上看，就不難理解何以集合論、點論、測度論相繼以往，即必須依次實現對基本關系的純粹形式歸納，典型關系的純粹形式表達、量度本性解釋，才能切入到積分論和泛函空間中去。
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一些多余的話
論述說到此處似乎應該告一段落，但事實上弦已停而音猶在，而繞梁之音不去，則必有回蕩共鳴之聲。我們不難看出，所謂“嚴謹”，事實上是以形式之“嚴”保障邏輯之“謹”，我們習慣上認為，嚴謹的邏輯推理與不嚴謹的邏輯推理之間是完全互斥的，其實這種觀念是數學學習的大礙，蒙特卡羅方法是概率性與確定性之間漸進的思想產物。同理，嚴謹的邏輯推理與不嚴謹的邏輯推理之間也并無鴻溝，對于不嚴謹邏輯而言，嚴謹邏輯是其內在的作用規律。而對于嚴謹邏輯而言，不嚴謹邏輯其實是其分支特征（特例）邏輯的產物。由此啟發我們，應用數學中的不完全嚴密論證其實完全可以作為抽象理論建構的探索性思維實驗存在。西方的分析性思維在這里其實是致力于求取思維實驗共性的最小邏輯因素交集，而東方的綜合性思維在這里則是致力于求取最小邏輯因素集合的簡約化方案。前者以要素為觀察中心，以要素的性質劃分關系信息，形成標準定義；而后者以關系為觀察中心，以關系的劃分實現要素的分析，形成標準定義。
當數學問題的表面描述不足以求解問題時，就要考慮變換形式觀念的本體。譬如三次方程的求解，實際上是對變量形式的轉換，以求得次數的降維。另外，譬如幾何問題列舉承代數方程求解，是將幾何視覺結構序列歸結為以數量或函數關系為核心來計算；而代數問題轉化為幾何模型求解（譬如線性代數中解線性方程組），則是將數量關系歸結為視覺結構序列關系求解。線性代數對高維方程的求解與幾何向量空間投影等價起來，由此，高維空間的投影作用均可通過向量計算來判斷。
實變范疇積分的困難轉化為算子空間變換，是以運算規則為觀察中心實現簡并。轉化為復變函數積分，是以外推出更廣數域的基本規律作為計算算法的根據，即以探索更深層次內在規律以解脫當前的方法角度困境。高次方程求解歸結為群論問題，也是試圖對內在基本規律的探索，試圖要么是歸納出充分要素對高次方程給出通解，要么是以必要本征判斷解的存在性。從上述這些動機來看，從方法背景、結構邏輯、運算規則各個角度都可以想辦法解脫數學問題的困境，數學實際上是一種思維轉換技術。
習題本質上是一種關系場景的構造，做習題的目的是為了充分認識一種關系并體察上述的技術思想，上述的技術不是單一存在的，而是綜合使用的，或依次序列，或復合嵌套，或分部分節分別解決，不一而足。
最后引用一段牛人的話結束此文，并與所有和我一樣尚在數學的迷茫之中“不識廬山真面目，只緣身在此山中”仍不放棄探索的同好共勉——“學任何東西都要有一個基礎，在學生階段，就是以某個重要理論為目標，然后去補習essential的背景知識，但是無論學什么，都有一個底層基礎，包括實分析、復分析、點集拓撲、抽象代數、泛函分析。然后是第二層基礎，包括調和分析，多復變，微分拓撲、代數拓撲、交換代數、同調代數、拓撲群、群表示、黎曼面，微分幾何和偏微分方程。這兩層基礎打好以后，就可以隨意看書。”——煙花不堪剪
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学学习的心理——关于数学中的挫败的反思及若干启示的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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