定義

記一個(gè)排列 (P) 的升高為 (k) 當(dāng)且僅當(dāng)存在 (k) 個(gè)位置 (i) 使得 (P_i<P_{i+1})。

那么定義歐拉數(shù) (leftlangleegin{matrix}n\kend{matrix}ightangle) 表示長(zhǎng)度為 (n) 且有 (k) 個(gè)上升的排列的數(shù)量。

遞推式

通過(guò)討論 (n) 在最左邊，最右邊還是中間可以得出轉(zhuǎn)移：

[leftlangleegin{matrix}n\kend{matrix}ightangle = (k + 1)leftlangleegin{matrix}n - 1\kend{matrix}ightangle + (n - k) leftlangleegin{matrix}n - 1\k - 1end{matrix}ightangle
]

計(jì)算

高妙的組合意義

考慮計(jì)算 (leftlangleegin{matrix}n\kend{matrix}ightangle / n!) 也就是概率，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于 (n) 個(gè)實(shí)數(shù)的均勻分布 ((a_1, a_2, cdots, a_n) in (0, 1)^n) 產(chǎn)生和排列 (P) 相同的偏序關(guān)系的概率是 (frac 1{n!})，這樣我們就可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 (a_i < a_{i + 1}) 有 (k) 個(gè)的概率。

將 (a) 進(jìn)行差分，定義 (a_0 = 0, b_i = (a_i - a_{i - 1}) mod 1)，顯然 (b_i in (0, 1))。

考慮 (b_i) 的實(shí)際意義，發(fā)現(xiàn)當(dāng) (a_{i - 1} < a_i) 時(shí)，(b_i = a_i - a_{i - 1})，否則 (b_i = 1 + a_i - a_{i - 1})，而 (a_{i - 1} < a_{i}) 有 (k + 1) 個(gè)（(a_0 = 0)），所以說(shuō) (sum b_i = n - k - 1 + a_n in (n - k - 1, n - k))。這樣，問(wèn)題就變?yōu)榱私o定 (n) 個(gè) ((0, 1)) 之間的實(shí)數(shù) (x_1, x_2, cdots, x_n)，求滿足 (sum x_i in (n - k - 1, n - k)) 的概率，可以轉(zhuǎn)化為 (sum x_i < n - k) 的概率然后差分，設(shè)其為 (F(n - k))。

使用幾何概型，由于樣本空間的“體積”是 (1)，所以答案就是滿足條件的區(qū)域的“體積”。

設(shè) (G(k)) 表示 (n) 個(gè)隨機(jī)變量沒(méi)有限制的情況下的滿足 (sum x_i < k) 的區(qū)域的“體積”。

考慮容斥有多少個(gè) (x_i > 1)，能夠列出式子：

[F(k) = sum_{i = 0}^k (-1)^i inom ni G(k - i)
]

接下來(lái)只需要知道如何計(jì)算 (G(k)) 即可。

將 (n) 個(gè)變量做前綴和，設(shè)為 (t_i)，那么只需要滿足 (t_i < t_{i + 1}) 且 (t_n < k) 的條件即可，由最開(kāi)始的性質(zhì)，可以將其對(duì)應(yīng)到排列上得出概率為 (frac 1 {n!})。又因?yàn)?(G(k)) 是“體積”，所以 (G(k) = frac {k^n}{n!})，即：

[F(k) = frac 1 {n!} sum_{i=0}^k (-1)^i inom ni (k - i)^n
]

于是 (leftlangleegin{matrix}n\kend{matrix}ightangle) 可以做到計(jì)算一個(gè) (mathcal O(n))，計(jì)算一行 (mathcal O(n log n))。

直接容斥

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設(shè) (F(n, k)) 表示長(zhǎng)度為 (n) 的排列，欽定有 (k) 個(gè) < 的方案數(shù)。

考慮將 < 看成邊，那么排列中將會(huì)形成 (n - k) 個(gè)連通塊，而連通塊內(nèi)部必須有序，連通塊之間可以任意打亂順序，所以方案數(shù)就是 ((n - k)!egin{Bmatrix} n\n - k end{Bmatrix})。

由二項(xiàng)式反演：

[egin{aligned}
leftlangleegin{matrix}n\kend{matrix}ightangle &= sum_{i = k}^n (-1)^{i - k} inom ik (n - i)!egin{Bmatrix} n\n - i end{Bmatrix}\
&=sum_{i = k}^n (-1)^{i - k} inom ik sum_{j = 0}^{n - i} inom{n - i} j (-1)^{n - i - j} j^n\
&=sum_{j = 0}^{n - k} j^n (-1)^{n - k - j} sum_{i} inom ik inom {n - i}j\
&= sum_{j = 0}^{n - k} (-1)^{n - k - j} j^n inom {n + 1} {k + j + 1}
end{aligned}
]

解釋一下最后一步吧，由于 (inom ik = [x^{i - k}] frac 1{(1 - x)^{k + 1}}, inom {n - i}j = [x^{n - i - j}] frac 1{(1 - x)^{j + 1}})，所以 (sum_i inom ik inom {n - i}j = [x^{n - j - k}] frac 1 {(1 - x)^{k + j + 2}} = inom {n + 1}{k + j + 1})。

同樣可以直接卷積求出一行歐拉數(shù)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的「学习笔记」欧拉数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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