? ? 首先二項(xiàng)分布和多項(xiàng)分布都是離散型分布

一 、二項(xiàng)式分布

（一）二項(xiàng)分布的基本概念

? ? 首先說(shuō)一下伯努利試驗(yàn)，即n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在同樣的條件下重復(fù)、相互獨(dú)立進(jìn)行的一種隨機(jī)試驗(yàn)。

? ? 伯努利試驗(yàn)的特點(diǎn)是：

? ? ? ? （1）每次試驗(yàn)中事件只有兩種結(jié)果：事件發(fā)生或者不發(fā)生，如硬幣正面或反面，患病或沒(méi)患病；

? ? ? ? （2）每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是相同的，注意不一定是0.5；

? ? ? ? （3）n次試驗(yàn)的事件相互之間獨(dú)立。

? ? 舉個(gè)實(shí)例，最簡(jiǎn)單的拋硬幣試驗(yàn)就是伯努利試驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中硬幣要么正面朝上，要么反面朝上，每次正面朝上的概率都一樣p=0.5，且每次拋硬幣的事件相互獨(dú)立，即每次正面朝上的概率不受其他試驗(yàn)的影響。如果獨(dú)立重復(fù)拋n=10次硬幣，正面朝上的次數(shù)k可能為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中的任何一個(gè)，那么k顯然是一個(gè)隨機(jī)變量，這里就稱(chēng)隨機(jī)變量k服從二項(xiàng)分布。

? ? 我們推導(dǎo)下隨機(jī)變量X=k的分布律。顯然0<=k<=n，n次拋硬幣中獲得k次正面，第1次正面在n次拋硬幣中出現(xiàn)有n種方式，則第2次正面在n次拋硬幣中出現(xiàn)有n-1種方式，以此類(lèi)推，則出現(xiàn)的總可能方式是：n(n-1)...(n-k+1)種，如果我們并不考慮這k次正面出現(xiàn)的排列順序，因此恰好出現(xiàn)k次的總可能性是n(n-1)...(n-k+1)/k！種，分子和分母同時(shí)乘以(n-k)！，則該式等于n！/(k！*(n-k)！)，也就是通常的組合公式C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)。

? ? 那么對(duì)于拋n次硬幣，其中正面出現(xiàn)的次數(shù)是k，反面出現(xiàn)的次數(shù)必然為n-k次，不考慮順序的情況下，則每一次恰好獲得k次正面的概率是p^k*(1-p)^n-k，而n次試驗(yàn)中恰好出現(xiàn)k次正面的可能性是C(n,k)=n！/(k！*(n-k)！)種，因此，n次拋硬幣中恰好出現(xiàn)k次的概率為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P(X=k) = C(n,k) * p^k*(1-p)^n-k

? ? 這就是二項(xiàng)分布的分布律，即二項(xiàng)分布的的概率質(zhì)量函數(shù)，記作X~B(n,p)，其中C(n,k)是組合數(shù)，在數(shù)學(xué)中也叫二項(xiàng)式系數(shù)，這就是二項(xiàng)分布名稱(chēng)的來(lái)歷。

? ? 二項(xiàng)分布的均值：E(x)=np

? ? 二項(xiàng)分布的方差：Var(x)=np(1-p)

（二）二項(xiàng)分布的實(shí)現(xiàn)（python）

? ? numpy給出的api是：

numpy.random.RandomState.binomial(n, p, size=None)

? ? 表示對(duì)一個(gè)二項(xiàng)分布進(jìn)行采樣（size表示采樣的次數(shù)），參數(shù)中的n,p分別對(duì)應(yīng)于公式中的n,p，函數(shù)的返回值表示n中成功（success）的次數(shù)（也即k）。我們以一個(gè)具體的實(shí)例進(jìn)行闡釋：

說(shuō)野外正在進(jìn)行9（n=9）口石油勘探井的發(fā)掘工作，每一口井能夠開(kāi)發(fā)出油的概率是0.1（p=0.1）。請(qǐng)問(wèn)，最終所有的勘探井都勘探失敗的概率？

? ? ?我們手動(dòng)用公式計(jì)算得：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? python實(shí)現(xiàn)如下：

import numpy as np n, p = 9, .1 a=sum((np.random.binomial(n, p, size=30000)==0))/30000. print a

　運(yùn)行結(jié)果為：0.387333333333

二、多項(xiàng)式分布

（一）基本概念

? ? 多項(xiàng)式分布是指單次試驗(yàn)中隨機(jī)變量的取值不在是0-1，而是有多種離散值可能（1，2，3，4.....k）。比如投6個(gè)面的骰子試驗(yàn)，N次試驗(yàn)結(jié)果服從K=6的多項(xiàng)分布。其中：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 多項(xiàng)分布的概率密度函數(shù)為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? 其中：? ? ? ?

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?（二）例子

? ? 假設(shè)螢火蟲(chóng)對(duì)食物的喜歡程序，我們給三種選擇：花粉，蚜蟲(chóng)，面團(tuán)。假設(shè)20%的螢火蟲(chóng)喜歡花粉，35%的螢火蟲(chóng)喜歡蚜蟲(chóng)，45%的螢火蟲(chóng)喜歡面團(tuán)。我們對(duì)30只螢火蟲(chóng)做實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)8只喜歡花粉，10只喜歡蚜蟲(chóng)，12只喜歡面團(tuán)，這件事的概率為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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參考來(lái)源：

https://blog.csdn.net/qq280929090/article/details/53156655

https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/50172659

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/171207xiaohutu/p/9335258.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二项分布和多项分布的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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