（想借該模型 講清直積態以及TB Model哈密頓量）

入手復雜的事物之前，從手算幾個簡單的例子開始是最好的。

所以，不妨談談二維方格子吧。

一個復雜的晶體，其內部的具有復雜的元胞（最小重復單元），每個元胞內有多個原子，每個原子內有多個軌道，即使在做各種近似之后，完整地求解一個真實體系也是一件相當不容易的事，為了清晰地認識物質的屬性，因此會有專門凝聚態物理工作者從事這里的研究（當然完全只做算法的人并不多）。所以我想在這里談一個Toy Model介紹一個凝聚態物理中常用的近似手段，當然它也是也是一個構造拓撲Model和尋找對稱性保護拓撲態的手段（Tight-Binding Model）。

目錄：

1.方格子TB Model *2.Hofstadter Model (在方格子上加磁場)

*3.“降維”(周期性邊界條件+傅里葉變換)：

*4. Magnetic unit cell and Hall Conductance （

）

“*”表示可能不寫。因為這些東西教材和文獻上講的比較清楚，似乎并不需要我的贅述。如果什么時候想寫了再補充。

最后想強調一點：我寫的東西都事不能保證嚴格且正確，僅僅只是我理解中的物理。如果找出明顯錯誤請在評論區指出，我會加以改正并補全。

方格子（Square Lattice）

方格子TB Model

首先，我們考慮如上方格子（二維晶體體系），每個格點（交叉點）上放一個各向同性的電子軌道（能級）（s軌道電子）。體系近似的哈密頓量可寫成：

首先使用微擾論的觀點處理這個問題，認為每個格點上都有一個初始波函數：

：

，且認為不同格點之間的波函數相互正交： 。

這也就是書上講的，緊束縛（Tight Binding Model）近似的核心是原子軌道線性組合：

(其中 為在（m,n）格點觀察到電子的概率幅度， 表示體系本征波函數。) ，然后就是 不同格點間軌道的正交性假設。

本質上它就是一個陣力學的問題，或者說是一個一階簡并微擾論的問題，每個格點間電子電子庫倫相互作用被當作了微擾，然后我們在希爾伯特空間

里做計算。

由此我們可以按照套路，直接計算哈密頓量矩陣

,其矩陣元為： ,然后對角化哈密頓量，我們便得到了體系的本征能量以及本征波矢。 我們可以求出哈密頓量的矩陣元：

由于在希爾伯特空間里總的哈密頓量是一個矩陣，直接寫起來不夠方便也不直觀，由此我們可以換用投影算符的形式來描述這樣一個哈密頓量矩陣如下：

其中

.( 表示 )

（其實這個也可以通過二次量子化語言來表示，關于這個問題或許可以之后如果想寫了，我會把它連著密度矩陣一起寫一篇小note）。

實際上關于這個

一般都不是直接計算得到，一般是情況是自己設值或者通過從DFT自洽計算等手段求出一個體系中的 數值如（wannier_90）。

考慮到不同格點之間的波函數交疊很小，在我們寫Toy Model 時候一般只考慮最近鄰格點之間的交疊。因此認為處理最近鄰的相互作用，其他的

均勻0。由此哈密頓量可寫成：

其實在這種一階微擾論的框架下處理問題的方式，我完全可以換一種方式來理解:

（關于更高階的微擾，等我算完我的一系列響應函數之后再來專門寫一系列的note）

這樣一階微擾的框架，其實我們完全是在希爾伯特空間里玩游戲，我們找到一組基函數，把哈密頓量在這個空間下表示出來，然后對角化，用原來的基矢組成一組新的本征態。

對于這種整個格點系統的希爾伯特空間，由于我們假定每個格點間的波函數相互正交，因此我們可以通過講所以格點上的希爾伯特空間直積起來的方式生成這個總的希爾伯特空間：

其中

表示m,n格點上的第 i 個態矢。

由于這里只考慮一條軌道，因此每個格點上的態矢空間維度為1。如果想玩點花的，我們可以考慮每個格點上是一個p電子軌道且考慮自旋軌道耦合，這時每個格點上的希爾伯特空間為：

對于這種只有兩體相互作用的體系哈密頓量可寫成：

如果只考慮最近鄰的格點之間才有相互作用：

描述 位置格點的在位勢能， 描述 位置格點與 位置格點間的相互作用。

這是形式理論，那我們要如何具體操作？或者說對于這樣一個二維方格子的哈密頓量矩陣要怎么寫呢？

這個哈密頓量在X、Y方向上都有指標，直觀上看似乎不可能寫出一個矩陣它既能描述不同行之間的作用又能描述不同列之間的作用，因為不同行之間的作用對應于一個N*N的矩陣，不同列之間的作用對應于一個M*M的矩陣。這在我剛學這個Model時糾結了好一段時間。

這時候，或許可以回到模型的出發點，我們在做什么？我在解一個簡并微擾論的問題，那么基函數是什么？基矢空間是{

},因此我們的哈密頓量是一個 的 維度矩陣。

如果我們用矩陣直積的方式來理解，那么我們的哈密頓量就可以用更簡練的手法來寫：

為了能好的理解上面的哈密頓量，我們繼續來看只包含最近鄰相互作用的哈密頓量：

不難看出：

、 是兩個單位矩陣， 此外：

同理得出

相關的矩陣元。我們的哈密頓量通過兩個套矩陣直積便可得到。

為什么我們能這么寫我們得哈密頓量矩陣？

繼續回到我們的整體的希爾伯特空間（基矢空間）：

{

}

這里哈密頓量中的

描述X 方向上的相互作用，對應與X維度上的指標：

兩個矩陣的直積：

則是說我們，把描述Y維度上的指標插入到X維度的指標中：

由此組成一個能完整描述二維體系格子的基矢空間。

由此我們便完備的描述了這個方格子里的所有信息，并且能用矩陣對角化的方式完全求解這個近似Model。

故事到這里就結束了。看明白了這個故事就可以理解

@FOREST.Z

的回答中Code 了。

Hofstadter hubbard 模型如何推導？?www.zhihu.com

如果想具體的另找算例可參考如下教材中的SSH Model：

A Short Course on Topological Insulators: Band-structure topology and edge states in one and two dimensions?arxiv.org

然后自己手寫一個2D SSH Model 等等。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的只显示小方格_不妨谈谈二维方格子吧的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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