海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫(Heron,也稱海龍)二世發現的公式，是一個利用三角形的三條邊長直接求三角形面積的公式。下面我們利用初中的知識進行推導(注意：公式推導過程的方法比公式更為重要)

題：已知△ABC的三邊為a，b，c，求△的面積S。

分析：以a為底邊，欲求△ABC的面積，只需要求得BC上高。

解：不妨設BC為最大邊，作△ABC的高AD(如圖)。設BD=x，則DC=a-x。

由勾股定理，得

AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2,

所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2,

整理，得

2ax=a^2+c^2-b^2,

所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a，

所以AD^2= c^2-x^2

= c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2，

=1/(4a^2)?[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2]

=1/(4a^2)?(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2)

=1/(4a^2)?[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]

=1/(4a^2)?(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

=1/(4a^2)?(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)，

所以AD=1/(2a)?√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

所以S=1/2?a?1/(2a)?√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]

=1/4?√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

令(a+b+c)/2=p(這里的p稱為三角形半周長)，則

a+b+c=2p，

b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a)，

c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b)，

a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c)，

所以S=1/4?√[2p?2(p-a)?2(p-b)?2(p-c)]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].

這就是海倫公式，在我國又稱為秦九韶海倫公式。公式雖然有點復雜，但和諧好記。

這個公式在實際問題中得到廣泛的運用，深受民間百姓的喜愛。有了這個公式，只要將三角形三邊的長一代，馬上就可以算出它的面積來。由于在測量三角形土地面積時測量三邊的長是最容易的，又不會存在大的爭議(如果測量一邊上的高往往爭議不斷)，所以這個公式才深得人們的喜歡而廣為流傳。

總結

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