若當標準型求解

Jordan 標準形

其中

我們稱

若當標準型的基本性質：

? 任意矩陣A若當標準型J可以寫成J=D+R 的形式,

那么DR= R D

證明：由于D和R為相同劃分的塊對角矩陣，因此乘積對應的塊等

于相應塊的乘積，而D中相應分塊為單位單位矩陣的數(shù)乘，即

?1 ? ?0 1 ?

= ? ? ? ?

?? ? 1

i ? ? ? ?

? 1 ? ? 0 ?

? ? ? ?

因此結論成立.

Jordan 標準形(續(xù))

定理1.29. 設矩陣A為復數(shù)域C的矩陣，特征多項式的分解

存在，則存在非奇異矩陣P使得 P?1AP= J.

(注：其中P不唯一. )

定理1.30 (基本定理) 每個n階復矩陣A都與一個Jordan 標準形

相似,這個Jordan 標準形除去其中Jordan塊的排列次序外，

是由A唯一確定的。

若當標準型的計算

1.首先，給出如下定義：

2. ?矩陣的化簡

方陣A 的Jordan 標準形變換矩陣P的求法

? 目標：求可逆矩陣P和Jordan矩陣JA ，使AP=PJA

? 求法與步驟：根據(jù)前面的計算求出初等因子組

k k k

f ( ?) ? ?I ? A ?( ??? ) 1 ( ??? ) 2 ?( ??? ) s

1 2 s

?J ( ? ) ?

1 1

? ?

J ( ? )

?矩陣A和JA 的特征值相等 J A ? ? 2 2 ?

? ? ?

? ?

J ( ? )

總結

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