很多學生在初學函數極限時，對用函數極限定義證明無從下手，對證明的邏輯理不清楚。我詳細（啰嗦）地講解一下。

回顧，函數極限的

語言定義：

用函數極限定義證明的思路梳理（倒推）：

對

, 目的是要找到 ，使得當 時，有 成立。

所以，就是從

出發，代入 和 ，化簡，往大放縮，方向是變成只帶“ " 表達式（根據放縮需要，可對 做限制，如限制 ，就能處理掉其它帶” "的項），再令其 , 就可以解出 帶“ ”表達式。

取

帶 " "表達式，限制

則當

時，就有 成立。

注1：實際上就是要放縮到“常數

"。

注2：關于限制

, 取 是為了好算，取 都可以，設置該限制為了保證可以放縮帶 項為某個界值，按照 的取法，越小越能成立，存在 就行，所以，限制了多少，取的時候，就也小于它就行了，不影響證明過程、證明邏輯和結果。

例1

梳理思路: 對

, 目的是要找到 ，使得當 時，有 成立。

令其

, 即 , 解出

取

, 則當 時，有 成立。

再按正過來的順序敘述出來，即

證明：對

, 令 , 則當 時，有

故

.

例2

梳理思路：對

, 目的是要找到 ，使得當 時，有 成立。

注意到，

, , 故

觀察上式，

是需要保留和求解的，分母中的 是需要處理（放縮）掉的，此時就需要對 做一定限制，比如 , 這實際上就給 限定了一個范圍，從而就給 限定了一個范圍，于是就能放縮了。

具體操作如下：
限定

, 則 , 故 , 從而

于是，接著往大放縮，

令其

, 即 , 解出

取

, 則當 時，有 成立。

再按正過來的順序敘述出來，即

證明：對

, 令 , 則當 時，有

故

.

例3

梳理思路：對

, 目的是要找到（足夠大的） ，使得當 時，有 成立。

令其

, 即 , 解出

取

, 則當 時，有 成立。

再按正過來的順序敘述出來，即

證明: 對

, 令 , 則當 時，有

故

.

注：

，是用 來刻畫的，所以，找 時，梳理思路時是要解 ” ".

，是用 來刻畫的，所以，找 時，梳理思路時是要解 " ".

其它情況也是類似的，比如，

, 是用 來刻畫的，所以，找 時，梳理思路時是要解 " ".

補充：用數列極限定義證明

而數列極限時，是

， 是用 來刻畫的，所以, 找 時，梳理思路時是要解 ” “, 解完再取整得到 .

具體梳理思路過程如下：

對

, 目的是要找到 ，使得當 時，有 成立。

所以，就是從

出發，代入 和 ，化簡，往大放縮，方向是變成只帶“ " 表達式，再令其 , 就可以解出 帶“ ”表達式。

取

帶 " "表達式 , （取整），則當 時，就有 成立。

注：實際上就是要放縮到“常數

"。

例4

梳理思路：對

, 要找到 ，使得當 時，有 成立。

令

, 解出 , 取, 則當 時，就有 成立。

再按正過來的順序敘述出來，即

證明：對

, 令 , 則當 時，有

故

注: 對于取整函數有：

.

——————————————————————————————————

再補充：還有不少同學都產生一個錯覺：“你這種

語言證明，好像換一下數也對啊，是不是隨便拿數過來都能這樣證出來，而和極限本身沒什么關系啊。”

答： 當然不是。只有當

，即當 時， 是趨于 的，能這樣證出來，因為語言本來就是該極限式的等價描述啊。

這樣換數，當然沒問題:

但是這樣換數，肯定就不行了：

肯定證不出來。

以例1的

為例，把 , 極限是 ，換成 極限是 ，當然沒問題，因為 成立。但仍然是 想證極限是 ，或者換成 想證極限是 ，你試試就知道，都是不可能證出來的。

【再補充：為什么不可能證出來】

比如，證明

對

，要找到 ，使得當 時，有

成立。

但這是不可能的，只要取

，則當 時，有 ，從而必有

這說明只要

足夠接近 （接近程度在 以內），則函數值 到 的距離恒大于 ，故不可能趨于 .

總結

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