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编程问答

定积分计算器_使用科学计算器计算概率分布

發布時間：2024/9/27 编程问答 67 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了定积分计算器_使用科学计算器计算概率分布小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

【作者聲明】

　　本文所有文字均為作者原創，所有圖片均為作者本人親自拍攝或制作。

前言

　　為了滿足大家希望更好地使用手中的科學計算器的需求，理解與熟悉計算器上的各種功能，提高在各類科學計算器應用場合下（特別是考試）的計算器使用效率，我們特別策劃了一些計算器基本使用方法的系列文章，講解科學計算器上一些比較常用的功能的使用，方便大家學習與交流。

　　本次要向大家介紹的內容是如何使用科學計算器計算常見隨機變量的概率分布，包括連續型隨機變量的正態分布，離散型隨機變量的二項分布、泊松分布等等。雖然少部分科學計算器（例如卡西歐國外的型號fx-991EX、fx-JP900，夏普的EL-W991TL等等）可以直接計算，但包括fx-991CN X在內的大多數科學計算器都沒有搭載概率分布的功能，所以我們在這里為大家提供計算的方法。

　　由于計算概率分布需要用到定積分、Σ連加求和的功能，所以這篇文章中主要以卡西歐（CASIO）的fx-991CN X中文版講解使用現有的功能間接計算概率分布的方法，以夏普（SHARP）的EL-W991TL講解具有概率分布功能的計算器上的操作方法。

正態分布

數學基礎

　　對于服從期望為

，方差為的正態分布（高斯分布）的連續型隨機變量，其概率密度為

，

記作

。特別地，當，時稱為標準正態分布。

　　正態分布的分布函數為

　　我們已經在文章使用科學計算器進行統計計算（提高篇）中提到了fx-991CN X的正態分布功能，但這一功能是用于統計計算的，而且只是三種積分下限不同的分布函數。

正態分布的概率密度

　　我們可以借助fx-991CN X的CALC功能來實現正態分布某一點的概率密度的計算。

【例1】分別計算以下點處的正態分布概率密度：
（1）

，，；
（2），，。

　　按[菜單]、[1]進入基本計算模式，然后用變量D替換標準差σ，用變量E替換均值μ，在計算器上輸入表達式

，然后按[CALC]，此時提示輸入變量D的值。輸入1.5之后，按[=]確認。和輸入D的值一樣，再輸入x的值0.5、E的值2.5，最后再按[=]即可計算得到題中第一個正態分布在x=0.5處的概率密度為0.10934。

　　計算完x=0.5處概率密度之后，繼續按[=]回到CALC功能的界面，然后按方向鍵[▼]切換到變量x，輸入3，按兩次[=]，得到x=3處的概率密度為0.25159。

　　再按[=]回到CALC功能界面，和前面一樣的方法，依次為變量D重新賦值0.5，為變量x賦值10.25，為變量E賦值10，再按[=]得到題中第二個正態分布在x=10.25處的概率密度為0.70413；同樣地，回到CALC功能界面之后，按方向鍵[▼]切換到變量x，修改為11.5之后，按兩次[=]得到x=11.5處的概率密度為8.8637×10^(-3)=0.0088637。

　　如果是求標準正態分布的概率密度，可以不用輸入變量D和E，直接輸入關于x的表達式

，然后每次修改x的值即可。只涉及x的變化時，還可以在表格模式（[菜單]、[7]）中指定范圍與步長，列出正態分布概率密度的函數表格。

正態分布的概率

　　計算正態分布的概率需要用到定積分的功能，同樣還是使用CALC功能實現。

【例2】設

，求：
（1）；
（2）；
（3）。

　　我們需要在計算器上輸入的算式為

，其中D和E與例1一樣，分別代表標準差σ和均值μ；A和B分別為積分下限和積分上限，對于不同的隨機變量的分布區間，A和B的值的賦值方法不一樣。

（1）

　　按CALC，D和E仍然按照例1的方法直接賦值（D=0.5，E=90），而上下限也是直接用所給的數賦值，即A=88.3，B=90.5。需要注意的是，這里不需要為x賦值，無論在賦值列表里面x的值顯示為多少，對最后的計算結果都是沒有影響的。

由此得到

。

（2）

　　對于這種情況，積分下限是負無窮，但計算器沒有負無窮的符號，所以要用一個數來代替。

　　對于標準正態分布，我們可以用計算器驗證，當

的時候，非常接近1，利用（1）中的方法計算時的，在計算器上減去1得到的已經是0了，所以可以用±10來代替標準正態分布的上下限。

　　我們又知道，令

，，所以當積分下限是負無窮的時候，對于一般的正態分布，為變量A賦值，變量B用所給的數直接賦值（這里B=90.5）即可。

　　注意這里是可以直接輸入變量的，因為在CALC功能變量列表里面，對于我們輸入的算式

，變量的順序是D，x，E，A，B，在輸入A之前已經輸入了D和E，所以不用再重復輸入數字。如果是其他的算式，還是需要留意賦值之后變量是否還會被修改。

由此得到

。

（3）

　　這一情況和（2）是類似的，變量A用所給的數賦值（這里A=88.3），而變量B需要賦值

以代替正無窮。

由此得到

。

正態分布的上α分位點（已知概率反求分布區間）

　　這一功能我們同樣可以使用CALC功能實現，但需要使用牛頓法去求解。

　　我們在文章

電卓院亜紀良：用計算器求解含有定積分或導數的方程?zhuanlan.zhihu.com

里面介紹了fx-991CN X求解含有定積分或導數的方程的問題，計算正態分布的上α分位點（已知概率反求分布區間）的問題實質上就是求解含有定積分的方程。具體的原理我們已經在文章里面說明了，這里再提供一個例子。

【例3】已知標準正態分布概率

，求。

由于使用牛頓迭代法，限于算法的問題，所以這里需要將未知變量寫在積分上限處，所以也要把問題轉化為

。

　　構造迭代式：

，在計算器上輸入這個式子，然后按[CALC]，其中變量A需要根據概率來賦一個合適的初始值，x無需賦值。這里給變量A賦值1，然后一直按[=]迭代，直到A的值在需要的有效位數之內不再變化，即得到結果。

由此得到，

。

　　利用上面的方法求得標準正態分布的上α分位點

之后，就可以繼續利用來解決其他需要反求分布區間的概率或數理統計問題了。

【例4】已知

，，求的值。

按照例3的方法，我們已經算得

，那么我們只需要再計算d=30+0.75×2.32635=31.745即可。

二項分布和泊松分布

　　二項分布和泊松分布都是離散型隨機變量的分布，如果我們只計算少數幾個隨機變量取值的概率，同樣可以使用CALC功能計算或者直接列式計算；如果要寫出分布列，那么可以用函數表格模式來完成。這里我們主要講表格模式的用法。累積分布概率可以使用Σ連加求和功能實現。

數學基礎

　　二項分布

的概率：

　　泊松分布

的概率：

　　當二項分布的獨立試驗次數

非常大而成功概率又非常小的時候，二項分布可以近似為泊松分布。

離散型隨機變量的分布列與累積分布概率

【例4】（選自浙江大學數學系高等數學教研組編《概率論與數理統計》1979年版）

按照規定，某種型號電子管的使用壽命超過5000小時的為一級品。已知某一大批產品的一級品率為0.2，現在從中隨機地抽查20只，問20只管子中恰有k只（k=0，1，…，20）管子為一級品的概率為多少？

以

表示20只管子中一級品的數量，則，

。

在fx-991CN X上，按[菜單]、[7]進入函數表格模式，然后輸入函數f(x)為

，跳過g(x)的輸入，再將開始值設為0，終止值設為20，步長值設為1，得到的函數表格就是隨機變量X的分布列。

如果還要計算累積分布概率，可以在輸入完f(x)后，使用Σ連加求和功能來輸入g(x)為累積分布概率的表達式，即

：

這樣就同時得到了隨機變量X的分布列以及累積分布概率。

【例5】已知隨機變量

，求。

　　根據離散型隨機變量累積概率分布的計算方法，有

　　然而計算器上不能輸入∞，所以轉化為計算

　　在計算器上按[菜單]、[1]進入基本計算模式，然后直接輸入上式并計算即可：

少數具有概率分布計算功能的科學計算器的操作方法

　　我們以夏普（SHARP）EL-W991TL為例，簡單講解一下這類計算器上的操作方法。

　　在EL-W991TL上，按[MODE]鍵翻到第2頁，數字7對應的模式“DISTRIBUTION”就是概率分布計算的模式。進入后，第一級菜單是正態分布（NORMAL）、二項分布(=（BINOMIAL）、泊松分布（POISSON），選擇相應的分布類型，再選擇具體的計算類型，然后輸入參數就能得到結果。其中只有正態分布菜單中有下分位點的計算。pdf為概率密度，cdf為累積概率分布。

【例6】設

，計算x=10.25處的概率密度。

選擇Normal pdf（正態分布概率密度），然后輸入參數，完成之后即可得到概率。

　　需要注意的是，夏普EL-W991TL無法計算表格形式的二項分布與泊松分布的分布列，而卡西歐在國外發布的fx-991EX、fx-JP900等型號可以直接計算表格形式的分布列。

總結

　　我們在fx-991CN X上利用CALC功能、定積分功能、Σ連加求和功能、函數表格等功能實現了概率分布的計算。概率分布的公式是大家熟知的，在熟悉了計算器的這些有用的功能之后，靈活運用這些功能，許多問題也迎刃而解了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的定积分计算器_使用科学计算器计算概率分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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