? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 線性代數之行列式基礎點

順序和逆序

如果我們定義一個排列的每個元素從左到右按照遞增的順序的擺放的，就稱這樣的排列是順序的。比如3個數字組成的數列1 2 6，數列的第二個元素比第一個大，第三個比第二個大。那么相反的如果從左到右不是遞增的，則為稱之為逆序的。比如1 6 2，這里第三個不比第二大，所以是個逆序。

逆序數：給定一個數列，針對數列里每個數字計算出它的逆序個數（即它左邊比它大的個數）的總和，則稱之為逆序數。

注：當然也可以數右邊比它小的個數。

令逆序數為為t，則

=

逆序數是奇數的排列叫做奇排列，逆序數是偶數的排列叫做偶排列。

數列的對換

把排列里任意兩個元素對換（交換）形成新排列的動作叫做對換，特別的如果兩個元素是相鄰的，就叫做相鄰交換。

不難發現:

1 任何一個交換都可以由相鄰交換得到

2 兩個元素交換后排列的奇偶性發生改變，即以前是偶排列會變成奇排列。

3 奇排列變成自然（標準）排列需要奇數次，同理偶排列需要偶數次。

?

三階行列式

?=

這里實際上每行每列取不同時同行同列的一個數得到元素乘積的累加和。根據組合的規律不難發現共有6種，即。

這里不難發現：

1行列式是n×n的，即有n行n列，有個數。或者說它是方的

行列式以||的形式表示，它本質上是一個數

行列式的階數即是行列式的行數或者列數

3階行列式通用表示方法是:

其中t是每個排列p1p2p3的逆序數，?

是所有以行按照1、2、3排列，列按照p1、p2、p3排列的元素組合的乘積，此時再乘以?以確定且正負性。而∑是對所有的求和。

?

注：

?這里p1、p2、p3都可能會取到1、2、3但排列時不能重復。

如果p1=3、p2=1、p3=2則?=?因為這里t=0+1+1=2。

?

也可以表示成或者

?

N階行列式

有了3階行列式的定義不難推廣到一般的情況，對于N階行列式，可以類似的定義出。

?

==

?注：因為乘法滿足結合律，所以這里的也可以不按照行(列)的自然（標準）順序來排序。

行列式的性質

?行列式轉置值不變

?行列式兌換兩行（列）值變號

如果行列式里兩行（列）完全相同，則行列式等于0

如果行列式的某行都乘以一個數k，等于k乘以該行列式源于乘法的提取公因子，因為某一列乘以一個數k，則組合式 有因子k。k等于0時亦成立。

行列式的某一行（列）有公因子k，則可以表示成k乘新行列式（對應元素除以k），即k可以提到行列式的外面。

如果行列式里兩行（列）成比例，則行列式等于0.源于性質5和性質3

如果行列式里某行（列）是兩個數相加，則該行列式可分成兩個行列式的和（新行列式的組合方式是將該行或者列拆成兩個數，其它的行或列保持不變）。?源于乘法的分配律和組合律。

行列式里某一行（列）乘以數k加到另一行（列）上后行列式的值不變。

?

幾種特殊的行列式

主對角線行列式是主對角線（從左上角到右下角的斜線）元素不全為0，其余元素都為0的行列式。

次對角線行列式是主對角線（從右上角到左下角的斜線）元素不全為0，其余元素都為0的行列式。

上三角行列式是主對角線以下全為0的行列式，又簡稱上三角。

下三角行列式是主對角線以上全為0的行列式，又簡稱下三角。

對稱行列式是aij=aji 即行列式里下標行列互換處的元素也對應相等。

行列式的展開式

余子式：將元素aij對應的第i行和第j列去掉之后組成的n-1階行列式叫做的余子式。

代數余子式：Aij =叫做aij的代數余子式。

行列式的值等于某一行(列)的各個元素與其對應的代數余子式的乘積之和，即

D = ? (i=1,2,…,n),

或者

D=?? (j=1,2,…,n),

余子式、代數余子式的求法示例: 比如有行列式A

1? 2? 3

4? 5? 6

7? 8? 9

M11

A11 = ??

?同理

M12

A12 = ?

范德蒙行列式

特別的針對行列式里每列的每行是上一行的k倍時的行列式,它的值等于如下：

注：

該數針對每列一般不同

該數一般是第二行里的數

第一行的數一般都是1

?

克萊姆法則

針對如上的方程，可以借助行列式得出其解：

其中

那么該方程有唯一解，且

其中D1 是將方程組右邊的按順序依次替換行列式D第一列里的元素而組成的新行列式。依此類推。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数之行列式基础点的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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