傅里葉級數(shù)是周期信號的時域表達式，而傅里葉變換是非周期信號或周期信號的頻譜（頻域函數(shù)），要想了解它們之間的關系，需要你耐心看完下面內(nèi)容。

學過"信號與系統(tǒng)"等課程的人往往會被許多問題所困惑，如：

（1）周期信號傅里葉級數(shù)表示什么內(nèi)容？

（2）信號的頻譜表示什么？

（3）通過信號的頻譜我們能知道什么？

（4）信號的時域和頻域的關系是什么？

（5）傅里葉級數(shù)、傅里葉系數(shù)、傅里葉變換的關系是什么？

（6）周期信號傅里葉級數(shù)中的傅里葉系數(shù)物理意義是什么？

（7）周期信號傅里葉級數(shù)中的傅里葉系數(shù)與非周期信號傅里葉變換的關系是什么？

（8）非周期信號的傅里葉變換到底是什么意思？

（9）傅里葉變換的物理意義是什么？

（10）復數(shù)形式的傅里葉變換的物理意義？

（11）為什么周期信號的傅里葉變換在相應頻率處出現(xiàn)沖激函數(shù)？

（12）為什么正弦（或余弦）信號的傅里葉變換是沖激函數(shù)？

上述問題盡管看上去有些零碎，其實它們是有聯(lián)系的，下面，我從頭到尾把這些問題串起來，內(nèi)容可能比較多，如果你想知道結果，則需要你耐心閱讀，并希望下面的內(nèi)容能對你有所幫助，更詳細的內(nèi)容和應用還請參見我寫的《信號與系統(tǒng)分析和應用》一書，本書在高等教育出版社出版發(fā)行。

如果你手里有《信號與系統(tǒng)分析和應用》教材，請你關注“信號與系統(tǒng)分析”微信公眾號，那里面列出書中發(fā)現(xiàn)的問題。

要知道傅里葉變換把時域信號變換為頻域函數(shù)（頻譜），首先需要知道信號的頻譜是什么。我在教學的時候，規(guī)定時域是“信號”，頻域是“函數(shù)”。

注意，下面我站在求解“頻譜”的角度來說問題！

一、周期信號及其頻譜

1、先從周期信號說起

周期信號的頻譜表示了這個周期信號含有的所有不同頻率余弦信號的頻率、幅度和初相位這三個“參數(shù)”，每個余弦的這“三個參數(shù)”表征了這個余弦的全部信息，信號的頻譜是用原周期信號含有的所有各個頻率余弦信號的“三參數(shù)”來表征原時域信號的組成成分和分量（傅里葉級數(shù)是在時域用余弦信號的形式來表征周期信號的組成。注意：傅里葉級數(shù)是時域的，它的自變量是時間t）。

我們不能總是喋喋不休地只討論一個復雜的時間信號是由哪些基本信號合成的，而我們真正要關心的是這個復雜信號的“組成成分”和這些“成分的分量”。我非常贊賞網(wǎng)友用的“配方”這個詞，它一針見血地指出了一個混合物（相當于時域信號）和它的組成成分及其分量（頻譜---信號配方）。可以看到，周期信號的“配方”就是組成這個周期信號的各個頻率的余弦的“頻率”、“幅度”和“初相位”這“三個參數(shù)”。

如一副中藥相當于原時域信號，而它的“藥單”相當于其“頻譜”。

一副混合好的中藥（相當于一個復雜信號），你從下面圖中看不出組成它的各成分的分量。

一副混合好的中藥（相當于一個復雜信號），你看不出組成它的各成分的分量

要想知道它的組成成分和分量，你一定要拿到它的藥單。

藥單上列出了一副中藥的組成成分和各味藥的“分量”。對應我們討論的信號來說，藥名相當于“余弦信號的頻率”，重量相當于“余弦信號的幅度”。可以看到，這個藥單圖只有“各個味藥”和它的重量，這個藥單其實相當于“信號的幅度譜”。我們也可以把各味藥的產(chǎn)地標上（也可以理解為余弦信號的初相位）。反過來，我們按著“藥單”去抓藥就能構成一副中藥。

2、傅里葉積分公式（對非周期信號來說就是它的傅里葉變換）的偉大之處在哪里？

在這里為什么我要說“傅里葉積分公式”而不說“傅里葉變換”？因為，求周期信號的頻譜是用傅里葉積分公式，而求非周期信號的頻譜的公式我們通常稱其為“傅里葉變換”，其實，傅里葉變換也是傅里葉積分公式。

傅里葉積分公式的偉大之處在于：利用信號的“正交性”，通過積分公式能求出原信號的“配方”或者說求出組成原信號所有不同頻率余弦（或正弦）信號的“三參數(shù)”，也就是我們在信號與系統(tǒng)課程中講到“頻譜”。

傅里葉積分公式要完成兩個任務：第一個是利用信號的“正交性”，從一個“混合物”（一個復雜信號）中分離出其中的一個成分（某個頻率的余弦），另一個是它像一桿秤似的稱出被分離出來的那個成分的“分量”（余弦的幅度和初相位）。我們不但要知道一個混合物的“成分”，還要知道其中某個成分的“分量”。所以，傅里葉積分公式兼有“成分分離器”和“秤”的雙重作用。

下面就讓我們?nèi)タ纯慈绾螐膹碗s信號中分離出一個余弦，然后怎樣求出被分離出來的這個余弦的幅度和初相位（這是一個真正偉大的工作）。

3、周期信號的表示以及它的頻譜的求解

我們先看看一個周期信號的時域表示（傅里葉級數(shù)），然后就讓我們?nèi)ヒ娮C一個偉大的傅里葉積分公式，它是如何求出這個周期信號的“配方”（頻譜），也就是用傅里葉積分公式如何從周期信號中分離出一個余弦以及怎樣求出這個余弦的幅度和初相位的（這是一個真正偉大的工作）。

（1）周期信號三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

為了盡快完成下面內(nèi)容，下面我把我寫的《信號與系統(tǒng)分析和應用》書上內(nèi)容直接復制過來，更詳細內(nèi)容還請參見這本書。

請注意：為什么我把周期信號三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)寫成下面的形式，而不是公式（4.2-8）的形式？因為只有這樣才能充分理解信號頻譜以及頻譜的作用、傅里葉系數(shù)、非周期確知信號的傅里葉變換的物理意義，才能充分理解我寫的下面的內(nèi)容。

特別要注意：所謂的傅里葉級數(shù)是在時域用不同頻率的余弦信號或正弦信號來表示原周期信號的組成。

由公式（4.2.2）可知：

這樣就能計算出一個周期信號的頻譜了（“配方”或“藥單”）。我們將所有“三參數(shù)”按頻率的位置表示出來就是原周期信號的“頻譜”了，因此，下面的周期信號的傅里葉級數(shù)公式才是與“頻譜”對應的周期信號三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。

用上面公式表示周期信號三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)才能更好地理解信號的“頻譜”到底表示了什么？以及后面我要說的非周期信號傅里葉變換的“物理意義”是什么，才能更好理解信號頻域分析的目的。那么，公式（4.2-8）可以看做求解信號頻譜的中間環(huán)節(jié)，當然，它也是三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，只是用它不利于理解信號頻譜表示的內(nèi)容（也有特殊情況）。

可以說，公式（4.2-10）以及（4.2-11）是“最偉大的積分公式”之一。這兩個公式為什么能計算出an和bn？我們需要討論信號的正交性問題。

下面把《信號與系統(tǒng)分析和應用》書上內(nèi)容復制過來。

注意：上面積分區(qū)間一定在是整倍周期期間才成立。

這樣，下面的積分公式的物理意義就很清楚了：

想必大家已經(jīng)領略到了數(shù)學的偉大魔力了吧。

4、周期信號組成成分的表示---信號頻譜

可以看到，頻譜圖(a)和（b）表示了組成原周期信號的所有不同頻率余弦信號的“頻率”（橫坐標）、“幅度”以及“初相位”這三個參數(shù)，這與公式（4.2.2）是對應的，這就是為什么我將周期信號傅里葉級數(shù)寫成公式（4.2.2）的根本原因。

信號頻譜的作用就是用圖形（頻譜圖）或公式（向量形式）來表示組成這個周期信號的所有不同頻率的余弦信號的“三參數(shù)” （幅度、初相和頻率或角頻率），也就是說，頻譜是用“參數(shù)”的形式表示原信號的組成成分，我們不但要知道信號的組成成分還要知道這些成分的份額，這就是大家說到的“原信號的配方”。從頻譜圖上，我們就能看到原周期信號含有的所有頻率的余弦（或正弦）信號的幅度和相位的大小，也就知道了周期信號含有的所有頻率成分以及這些頻率成分對原信號的貢獻大小。上面圖（c）是將圖（a）和（b）合成一個圖（合成的原則請參見《信號與系統(tǒng)分析和應用》書）。

周期信號的傅里葉級數(shù)是在時域用不同頻率的余弦信號或正弦信號來表示原周期信號的組成，而周期信號的頻譜是用“參數(shù)”的形式表示這個周期信號的組成成分。

5、周期信號復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)與信號頻譜

周期信號復指數(shù)形式傅里葉級數(shù)中的傅里葉系數(shù)Xn是用復數(shù)的形式表示每個余弦信號的幅度和初相位信息（包含余弦信號的兩個參數(shù)）。

一定注意：傅里葉系數(shù)Xn的積分公式其實還是求an和bn（系數(shù)為0.5），只是用一個積分公式的實部和虛部一起求出的，它還是利用“正交性”，傅里葉系數(shù)Xn就是復數(shù)形式的原周期信號的“頻譜”（“藥單”或“配方”）。

特別強調(diào)一下：將傅里葉系數(shù)Xn的虛部看成是余弦信號的初相是不對的，它的虛部0.5bn是“正弦分量”的幅度信息，不是余弦信號的初相位，而余弦信號的初相是公式（4.4-17），下面討論非周期信號傅里葉變換也是這個問題，即絕對可積非周期信號的傅里葉變換是一個復函數(shù)，它的虛部也不是任意角頻率w的余弦信號的初相位。

二、非周期信號的傅里葉變換

非周期信號的傅里葉變換是從周期信號復指數(shù)形式傅里葉級數(shù)中的傅里葉系數(shù)Xn推導來的（注意：不是從傅里葉級數(shù)推導來的！），所以，非周期信號的傅里葉變換就是非周期信號的“頻譜”。

絕對可積信號的傅里葉變換是自變量為頻率或角頻率的復函數(shù)，它含有原時域信號含有的所有頻率余弦信號的“三參數(shù)”信息（頻率信息是由傅里葉變換的自變量來表征的），它是一個復函數(shù)（他跟周期信號傅里葉級數(shù)中的傅里葉系數(shù)Xn的物理意義相似），它的實部表示原信號含有的任意角頻率w余弦信號的同相分量（余弦分量）的幅度信息，其虛部表示信號含有的任意角頻率w余弦信號的正交分量（正弦分量）的幅度信息。但是，絕對可積非周期信號含有的每個余弦信號的幅度都趨于無窮小，非周期信號的傅里葉變換中的幅度譜是每個余弦信號無窮小的幅度乘上一個無窮大的周期。如果一個非周期信號是確知信號，則它的傅里葉變換就是一個自變量為頻率或角頻率的確知相量函數(shù)（所以，不能把它叫做信號），這說明，這個原確知時間信號含有的所有頻率余弦信號的幅度和初相不是孤立的，他們滿足一定關系，這個關系就是以自變量為頻率或角頻率的“頻域函數(shù)”。更多內(nèi)容請參看我寫的《信號與系統(tǒng)分析和應用》書上第4章和第5章內(nèi)容。

下面舉個信號的例子：

上面是信號傅里葉變換是復函數(shù)的物理意義。下面看看因果穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應的物理意義。

因果穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應是此系統(tǒng)單位沖激響應的傅里葉變換，由于此系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，則其頻率響應也是復函數(shù)。

可以看到，信號的傅里葉變換與系統(tǒng)單位沖激響應的傅里葉變換即使都是復函數(shù)，但是，它們的物理意義是不同的。

三、周期信號的傅里葉變換以及沖激函數(shù)的作用

除了上述對信號進行傅里葉變換得到信號的頻譜以及對系統(tǒng)單位沖激響應進行傅里葉變換而得到系統(tǒng)頻率響應，這些“傅里葉變換”都有其物理意義，人們還發(fā)現(xiàn)時域信號經(jīng)過傅里葉變換后在變換域內(nèi)其頻域函數(shù)之間的運算比時域簡單，人們借助于頻域運算可以簡化時域里的運算。最后，簡單總結一下傅里葉變換：

（1）對信號進行傅里葉變換得到信號的頻譜；

（2）對系統(tǒng)單位沖激響應進行傅里葉變換得到系統(tǒng)頻率響應；

（3）經(jīng)過傅里葉變換后能使運算簡單；

如果你手里有《信號與系統(tǒng)分析和應用》教材，請你關注“信號與系統(tǒng)分析”微信公眾號，那里面列出書中發(fā)現(xiàn)的問題。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的余弦信号频谱表达式_信号傅里叶变换系列文章（1）：傅里叶级数、傅里叶系数以及傅里叶变换...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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