本文為理解FEC（Reed-Solomon）編碼的補充，簡述用到的有限域計算的知識

有限域定義

這里的域（Field）的定義是有如下特性的集合：

• 定義了加法和乘法
• 集合內的元素經過加法和乘法計算，結果仍然在集合內
• 計算符合交換率、結合率、分配率
• 加法和乘法有單位元素（所有的集合內的值都有對應的負數，所有集合內非零值都有倒數）

舉個例子，我們常見的實數集是域，但整數值不是域（因為除了1，其它數的倒數都不是整數）。

具有有限個元素的域就是有限域（下文以GF表示，GF是Galois Field的縮寫，這個名字紀念發明者Evariste Galois)。

這可能有點反常識，既然可以一直加、一直乘，怎么會只有有限個元素呢？一個關鍵的操作就是‘取模’。也就是在域的定義基礎上，作如下修改：

• 定義模p加法和模p乘法（加或乘的結果超過p時，模p取余數。p為素數）
• 集合內的元素經過加法和乘法計算，結果仍然在集合內
• 計算符合交換率、結合率、分配率
• 加法和乘法有單位元素（所有的集合內的值都有對應的負數，所有集合內非零值都有倒數）

舉例子，GF(3)是定義了模3加法和乘法的有限域，有三個元素：0、1、2。兩個計算示例：

（另外注意以上兩個計算分別說明了1、2互為‘負數’，2是2的倒數）

下面是GF(3)的加法和乘法的所有組合。

那么，如果p不是素數會怎樣呢？以下面‘GF(4)’的例子來說明：

GF(4)并不是有限域的存在，因為它并不能滿足所有有限域的定義要求，因為元素2沒有倒數。

不過，如果我們修改一下元素，將'GF(4)'改為

，4個元素的集合也可以成為有限域：

（'GF(4)'的

的區別是 在計算時每個位都是模2運算，即'異或'）

在通信編碼中使用的就是

這種形式的有限域，因為二進制、加法/異或這些十分適合通信硬件實現。

多項式

下面引入多項式的概念以更好的理解

中的乘法。

二進制數可以表示成多項式的方式：

這個多項式表示中內含了高有效位(MSB)低有限位(LSB)的概念，代表的是不同位的位置權重的區別。（上面多項式中代入

就可以得到11000001代表的數值193）

有限域中加法和乘法的多項式表示可以用如下例子來說明：

再回頭看一下前面的

的例子，例子中的00、01、10、11等值用多項式表示就是：

使用取模多項式為

以上圖中紅色框的數值計算為例，計算過程是：

詳細看一下多項式取模的運算：

從硬件角度來看就是兩個3位二進制數按位異或操作，消掉最高位。

指數表示方式

令

為有限域的基本元素，則有限域中所有的其它元素都可以用 的方式來獲得，見下面的例子 ：

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的c语言实现有限域模多项式_有限域计算简述的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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