作者丨蘇劍林

單位丨廣州火焰信息科技有限公司

研究方向丨NLP，神經網絡

個人主頁丨kexue.fm

筆者去年曾寫過文章《果殼中的條件隨機場（CRF In A Nutshell）》[1]，以一種比較粗糙的方式介紹了一下條件隨機場（CRF）模型。然而那篇文章顯然有很多不足的地方，比如介紹不夠清晰，也不夠完整，還沒有實現，在這里我們重提這個模型，將相關內容補充完成。?

本文是對 CRF 基本原理的一個簡明的介紹。當然，“簡明”是相對而言中，要想真的弄清楚 CRF，免不了要提及一些公式，如果只關心調用的讀者，可以直接移到文末。

圖示

按照之前的思路，我們依舊來對比一下普通的逐幀 softmax 和 CRF 的異同。?

逐幀softmax

CRF 主要用于序列標注問題，可以簡單理解為是給序列中的每一幀都進行分類，既然是分類，很自然想到將這個序列用 CNN 或者 RNN 進行編碼后，接一個全連接層用 softmax 激活，如下圖所示：

▲?逐幀softmax并沒有直接考慮輸出的上下文關聯

條件隨機場

然而，當我們設計標簽時，比如用 s、b、m、e 的 4 個標簽來做字標注法的分詞，目標輸出序列本身會帶有一些上下文關聯，比如 s 后面就不能接 m 和 e，等等。逐標簽 softmax 并沒有考慮這種輸出層面的上下文關聯，所以它意味著把這些關聯放到了編碼層面，希望模型能自己學到這些內容，但有時候會“強模型所難”。?

而 CRF 則更直接一點，它將輸出層面的關聯分離了出來，這使得模型在學習上更為“從容”：

▲?CRF在輸出端顯式地考慮了上下文關聯

數學

當然，如果僅僅是引入輸出的關聯，還不僅僅是 CRF 的全部，CRF 的真正精巧的地方，是它以路徑為單位，考慮的是路徑的概率。?

模型概要

假如一個輸入有 n 幀，每一幀的標簽有 k 中可能性，那么理論上就有k^n中不同的輸入。我們可以將它用如下的網絡圖進行簡單的可視化。在下圖中，每個點代表一個標簽的可能性，點之間的連線表示標簽之間的關聯，而每一種標注結果，都對應著圖上的一條完整的路徑。

▲?4tag分詞模型中輸出網絡圖

而在序列標注任務中，我們的正確答案是一般是唯一的。比如“今天天氣不錯”，如果對應的分詞結果是“今天/天氣/不/錯”，那么目標輸出序列就是 bebess，除此之外別的路徑都不符合要求。

換言之，在序列標注任務中，我們的研究的基本單位應該是路徑，我們要做的事情，是從 k^n 條路徑選出正確的一條，那就意味著，如果將它視為一個分類問題，那么將是 k^n 類中選一類的分類問題。

這就是逐幀 softmax 和 CRF 的根本不同了：前者將序列標注看成是 n 個 k 分類問題，后者將序列標注看成是 1 個 k^n 分類問題。

具體來講，在 CRF 的序列標注問題中，我們要計算的是條件概率：

為了得到這個概率的估計，CRF 做了兩個假設：

假設一：該分布是指數族分布。

這個假設意味著存在函數 f(y1,…,yn;x)，使得：

其中 Z(x) 是歸一化因子，因為這個是條件分布，所以歸一化因子跟 x 有關。這個 f 函數可以視為一個打分函數，打分函數取指數并歸一化后就得到概率分布。?

假設二：輸出之間的關聯僅發生在相鄰位置，并且關聯是指數加性的。

這個假設意味著 f(y1,…,yn;x) 可以更進一步簡化為：

這也就是說，現在我們只需要對每一個標簽和每一個相鄰標簽對分別打分，然后將所有打分結果求和得到總分。

線性鏈CRF

盡管已經做了大量簡化，但一般來說，(3) 式所表示的概率模型還是過于復雜，難以求解。于是考慮到當前深度學習模型中，RNN 或者層疊 CNN 等模型已經能夠比較充分捕捉各個 y 與輸出 x 的聯系，因此，我們不妨考慮函數 g 跟 x 無關，那么：

這時候 g 實際上就是一個有限的、待訓練的參數矩陣而已，而單標簽的打分函數 h(yi;x) 我們可以通過 RNN 或者 CNN 來建模。因此，該模型是可以建立的，其中概率分布變為：

這就是線性鏈 CRF 的概念。

歸一化因子

為了訓練 CRF 模型，我們用最大似然方法，也就是用：

作為損失函數，可以算出它等于：

其中第一項是原來概率式的分子的對數，它目標的序列的打分，雖然它看上去挺迂回的，但是并不難計算。真正的難度在于分母的對數 logZ(x) 這一項。

歸一化因子，在物理上也叫配分函數，在這里它需要我們對所有可能的路徑的打分進行指數求和，而我們前面已經說到，這樣的路徑數是指數量級的（k^n），因此直接來算幾乎是不可能的。

事實上，歸一化因子難算，幾乎是所有概率圖模型的公共難題。幸運的是，在 CRF 模型中，由于我們只考慮了臨近標簽的聯系（馬爾可夫假設），因此我們可以遞歸地算出歸一化因子，這使得原來是指數級的計算量降低為線性級別。

具體來說，我們將計算到時刻 t 的歸一化因子記為 Zt，并將它分為 k 個部分：

其中分別是截止到當前時刻 t 中、以標簽 1,…,k 為終點的所有路徑的得分指數和。那么，我們可以遞歸地計算：

它可以簡單寫為矩陣形式：

其中，而 G 是對 g(yi,yj) 各個元素取指數后的矩陣，即；而是編碼模型（RNN、CNN等）對位置 t+1 的各個標簽的打分的指數，即，也是一個向量。式 (10) 中，ZtG 這一步是矩陣乘法，得到一個向量，而 ? 是兩個向量的逐位對應相乘。

▲?歸一化因子的遞歸計算圖示。從t到t+1時刻的計算，包括轉移概率和j+1節點本身的概率

如果不熟悉的讀者，可能一下子比較難接受 (10) 式。讀者可以把 n=1,n=2,n=3 時的歸一化因子寫出來，試著找它們的遞歸關系，慢慢地就可以理解 (10) 式了。

動態規劃

寫出損失函數 ?logP(y1,…,yn|x) 后，就可以完成模型的訓練了，因為目前的深度學習框架都已經帶有自動求導的功能，只要我們能寫出可導的 loss，就可以幫我們完成優化過程了。?

那么剩下的最后一步，就是模型訓練完成后，如何根據輸入找出最優路徑來。跟前面一樣，這也是一個從 k^n 條路徑中選最優的問題，而同樣地，因為馬爾可夫假設的存在，它可以轉化為一個動態規劃問題，用 viterbi 算法解決，計算量正比于 n。?

動態規劃在本博客已經出現了多次了，它的遞歸思想就是：一條最優路徑切成兩段，那么每一段都是一條（局部）最優路徑。在本博客右端的搜索框鍵入“動態規劃”，就可以得到很多相關介紹了，所以不再重復了。

實現

經過調試，基于 Keras 框架下，筆者得到了一個線性鏈 CRF 的簡明實現，這也許是最簡短的 CRF 實現了。這里分享最終的實現并介紹實現要點。

實現要點

前面我們已經說明了，實現 CRF 的困難之處是 ?logP(y1,…,yn|x) 的計算，而本質困難是歸一化因子部分 Z(x) 的計算，得益于馬爾科夫假設，我們得到了遞歸的 (9) 式或 (10) 式，它們應該已經是一般情況下計算 Z(x) 的計算了。?

那么怎么在深度學習框架中實現這種遞歸計算呢？要注意，從計算圖的視角看，這是通過遞歸的方法定義一個圖，而且這個圖的長度還不固定。這對于 PyTorch這樣的動態圖框架應該是不為難的，但是對于TensorFlow或者基于 TensorFlow 的 Keras 就很難操作了（它們是靜態圖框架）。?

不過，并非沒有可能，我們可以用封裝好的 RNN 函數來計算。我們知道，RNN 本質上就是在遞歸計算：

新版本的 TensorFlow?和 Keras 都已經允許我們自定義 RNN 細胞，這就意味著函數 f 可以自行定義，而后端自動幫我們完成遞歸計算。于是我們只需要設計一個 RNN，使得我們要計算的 Z 對應于 RNN 的隱藏向量。

這就是 CRF 實現中最精致的部分了。

至于剩下的，是一些細節性的，包括：

1. 為了防止溢出，我們通常要取對數，但由于歸一化因子是指數求和，所以實際上是這樣的格式，它的計算技巧是：

TensorFlow 和 Keras 中都已經封裝好了對應的 logsumexp 函數了，直接調用即可；

2. 對于分子（也就是目標序列的得分）的計算技巧，在代碼中已經做了注釋，主要是通過用“目標序列”點乘“預測序列”來實現取出目標得分；

3. 關于變長輸入的 padding 部分如何進行 mask？我覺得在這方面 Keras 做得并不是很好。

為了簡單實現這種 mask，我的做法是引入多一個標簽，比如原來是 s、b、m、e 四個標簽做分詞，然后引入第五個標簽，比如 x，將 padding 部分的標簽都設為 x，然后可以直接在 CRF 損失計算時忽略第五個標簽的存在，具體實現請看代碼。

代碼速覽

純 Keras 實現的 CRF 層，歡迎使用。

# -*- coding:utf-8 -*-

from keras.layers import Layer
import keras.backend as K


class CRF(Layer):
? ?"""純Keras實現CRF層
? ?CRF層本質上是一個帶訓練參數的loss計算層，因此CRF層只用來訓練模型，
? ?而預測則需要另外建立模型。
? ?"""
? ?def __init__(self, ignore_last_label=False, **kwargs):
? ? ? ?"""ignore_last_label：定義要不要忽略最后一個標簽，起到mask的效果
? ? ? ?"""
? ? ? ?self.ignore_last_label = 1 if ignore_last_label else 0
? ? ? ?super(CRF, self).__init__(**kwargs)
? ?def build(self, input_shape):
? ? ? ?self.num_labels = input_shape[-1] - self.ignore_last_label
? ? ? ?self.trans = self.add_weight(name='crf_trans',
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? shape=(self.num_labels, self.num_labels),
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? initializer='glorot_uniform',
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? trainable=True)
? ?def log_norm_step(self, inputs, states):
? ? ? ?"""遞歸計算歸一化因子
? ? ? ?要點：1、遞歸計算；2、用logsumexp避免溢出。
? ? ? ?技巧：通過expand_dims來對齊張量。
? ? ? ?"""
? ? ? ?states = K.expand_dims(states[0], 2) # (batch_size, output_dim, 1)
? ? ? ?trans = K.expand_dims(self.trans, 0) # (1, output_dim, output_dim)
? ? ? ?output = K.logsumexp(states+trans, 1) # (batch_size, output_dim)
? ? ? ?return output+inputs, [output+inputs]
? ?def path_score(self, inputs, labels):
? ? ? ?"""計算目標路徑的相對概率（還沒有歸一化）
? ? ? ?要點：逐標簽得分，加上轉移概率得分。
? ? ? ?技巧：用“預測”點乘“目標”的方法抽取出目標路徑的得分。
? ? ? ?"""
? ? ? ?point_score = K.sum(K.sum(inputs*labels, 2), 1, keepdims=True) # 逐標簽得分
? ? ? ?labels1 = K.expand_dims(labels[:, :-1], 3)
? ? ? ?labels2 = K.expand_dims(labels[:, 1:], 2)
? ? ? ?labels = labels1 * labels2 # 兩個錯位labels，負責從轉移矩陣中抽取目標轉移得分
? ? ? ?trans = K.expand_dims(K.expand_dims(self.trans, 0), 0)
? ? ? ?trans_score = K.sum(K.sum(trans*labels, [2,3]), 1, keepdims=True)
? ? ? ?return point_score+trans_score # 兩部分得分之和
? ?def call(self, inputs): # CRF本身不改變輸出，它只是一個loss
? ? ? ?return inputs
? ?def loss(self, y_true, y_pred): # 目標y_pred需要是one hot形式
? ? ? ?mask = 1-y_true[:,1:,-1] if self.ignore_last_label else None
? ? ? ?y_true,y_pred = y_true[:,:,:self.num_labels],y_pred[:,:,:self.num_labels]
? ? ? ?init_states = [y_pred[:,0]] # 初始狀態
? ? ? ?log_norm,_,_ = K.rnn(self.log_norm_step, y_pred[:,1:], init_states, mask=mask) # 計算Z向量（對數）
? ? ? ?log_norm = K.logsumexp(log_norm, 1, keepdims=True) # 計算Z（對數）
? ? ? ?path_score = self.path_score(y_pred, y_true) # 計算分子（對數）
? ? ? ?return log_norm - path_score # 即log(分子/分母)
? ?def accuracy(self, y_true, y_pred): # 訓練過程中顯示逐幀準確率的函數，排除了mask的影響
? ? ? ?mask = 1-y_true[:,:,-1] if self.ignore_last_label else None
? ? ? ?y_true,y_pred = y_true[:,:,:self.num_labels],y_pred[:,:,:self.num_labels]
? ? ? ?isequal = K.equal(K.argmax(y_true, 2), K.argmax(y_pred, 2))
? ? ? ?isequal = K.cast(isequal, 'float32')
? ? ? ?if mask == None:
? ? ? ? ? ?return K.mean(isequal)
? ? ? ?else:
? ? ? ? ? ?return K.sum(isequal*mask) / K.sum(mask)

除去注釋和 accuracy 的代碼，真正的 CRF 的代碼量也就 30 行左右，可以說跟哪個框架比較都稱得上是簡明的 CRF 實現了。

用純 Keras 實現一些復雜的模型，是一件頗有意思的事情。目前僅在 TensorFlow 后端測試通過，理論上兼容 Theano、CNTK 后端，但可能要自行微調。

使用案例

我的 Github 中還附帶了一個使用 CNN+CRF 實現的中文分詞的例子，用的是 Bakeoff 2005 語料，例子是一個完整的分詞實現，包括 viterbi 算法、分詞輸出等。?

Github地址：https://github.com/bojone/crf/?

相關的內容還可以看我之前的文章：

中文分詞系列：基于雙向LSTM的seq2seq字標注 [2]?

中文分詞系列：基于全卷積網絡的中文分詞 [3]

結語

終于介紹完了，希望大家有所收獲，也希望最后的實現能對大家有所幫助。

參考文獻

[1].?果殼中的條件隨機場 (CRF In A Nutshell)

https://kexue.fm/archives/4695

[2]. 中文分詞系列：基于雙向LSTM的seq2seq字標注

https://kexue.fm/archives/3924

[3]. 中文分詞系列：基于全卷積網絡的中文分詞

https://kexue.fm/archives/4195

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的简明条件随机场CRF介绍 | 附带纯Keras实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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