（聲明：該文章介紹了證明傅立葉級數(shù)一致收斂問題前的重要一步，該論述由天才少年Fejér提出?！陡盗⑷~的夢》也是指本系列文章的最終定理：傅立葉級數(shù)的一致收斂）

一天，19歲的Fejér（費耶爾，j幾乎不發(fā)音）突然靈機(jī)一動，拿筆寫下了如下定理：

---

定理1

是 定義在 上的連續(xù)函數(shù)。并且是滿足 的周期為 的周期函數(shù)。設(shè) 為由 構(gòu)造出的傅立葉級數(shù)部分和函數(shù)列，具體地：

并且按照如下定義

(后來叫做切薩羅求和)：

當(dāng)

的時候， 在 上向 一致收斂。

---

之后簡稱“連續(xù)周期函數(shù)的平均和一致收斂”

寫到這里，Fejér看了看窗外，想了想，又繼續(xù)寫道：

定理1的證明：

因為

把

代入 并使用三角函數(shù)加法定理可得

定義

（叫做：Fejér核）為下式：

則有

這里注意，使用歐拉公式，和倍角公式，Fejér核的求和可變形為（推薦讀者挑戰(zhàn)一下）：

因為

是周期函數(shù)，可有如下字母置換

則

根據(jù)前面的Fejér核求和變形，有：

注意，如果

，那么它的傅立葉級數(shù)的系數(shù)就只有 一項存在，其余為 ，故其對應(yīng)的切薩羅求和為

則

根據(jù)常用手法恒等變換：

結(jié)合上面的

，我們有

這里我們開始做分析：

因為

在區(qū)間 上連續(xù)可得 為一致連續(xù)函數(shù)，即

現(xiàn)在按順序依次固定

，這時上式子右面積分可以分割為三部分：

現(xiàn)在處理中間

另一方面，

在閉區(qū)間連續(xù) 一致有界。即

所以第三項：

同理第一項也可以整理成這個形式。綜上：

當(dāng)

足夠大時，可以有

根據(jù)

的任意性。

后記：

寫到這里，Fejér放下筆。揉了揉雙眼，便即跟同班好友杰克一起出去玩了。

（續(xù)）

中梓星音：《傅立葉的夢》第二章——傅立葉級數(shù)與完美主義者：Bessel不等式?zhuanlan.zhihu.com

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的函数的傅立叶展开掐死我吧_《傅立叶的梦》第一章——天才少年Fejér的平均和一致收敛问题...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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