理解質量傳遞

質量傳遞描述的是質量從一個點到另一個點的遷移過程，是傳遞現象 學科的主要分支之一。在多物理場系統中，質量傳遞既可以在單相中發生，也可以跨越相界在多相間進行。盡管固相材料之間也存在質量傳遞，但在絕大多數工程問題中，質量傳遞至少涉及一個流體相（氣相或液相）。

在許多情況下，物質的質量傳遞往往伴隨著化學反應。這意味著某種化學物質在一個體積單元中的通量不一定守恒，其原因是，這一單元中可能會產生或消耗該化學物質?；瘜W反應是這種通量平衡的源或匯。

基于質量傳遞理論，我們可以計算某個系統中的質量通量，以及該系統中不同物質隨時間和空間變化的質量分布情況（包括存在化學反應的情況）。執行計算的目的是為了理解這類系統，并尋求設計或控制的可能性。

反應器中的質量傳遞和化學反應。濃度等值面呈現了通過擴散和對流進行的質量傳遞。擴散通量的方向與濃度等值面垂直，即，這些反應可能產生向反應過程中被消耗物質的反應區的通量。對流在濃度等值面之間產生較大的分離，并沿流體流動的流線（白色）方向進行，在某些區域沿等值面進行，這是因為對流會消除

質量傳遞的數學描述

質量傳遞的推動力 F 由系統的化學勢 U 的梯度產生：

化學成分的梯度通常是產生推動力的主要原因。相界上的傳遞推動力由這一相界上的物質與其平衡組成之間的偏差所產生。額外的推動力可能會產生漂移速度，例如由遷移、壓力、重力和離心力所產生的力。

以下方程顯示由于化學勢和電場（遷移） 的梯度產生的、作用于化學物質（每摩爾原子、離子或分子）的力。

在這些方程中，R 表示氣體常數，T 是溫度，

表示每種物質的活性，zi 表示某種物質的電荷數，F 是法拉第常數， 是電勢，它的負梯度是電場。這里的“活性”可以理解為系統化學勢的熱力學測量方式，能夠使活性梯度與化學質量傳遞的推動力相一致。

我們可以做一個簡單的化學假設：某種物質

的活性由其摩爾分數給定，用 表示。對于理想混合物來說，這一假設完全成立。

物質

所受的力通過該物質與混合物中的其他物質之間相互作用產生的摩擦力進行平衡。作用于 1 摩爾物質 上的摩擦力，同該物質 與混合物中的各種其他物質 之間的質量速度差、 的摩爾分數以及 與 之間的摩擦系數成正比。

在此方程中，

表示物質 與 之間的摩擦系數， 是物質 的摩爾分數， 是物質 相對于整個混合物的質量平均速度的質量物質速度。請注意，在上述方程中，每種物質的質量速度都以混合物的質量平均速度為參考給出。使用混合速度作為參考時，與混合物具有相同速度（本例中即為不發生擴散或遷移）的物質的 值為 0。

如果我們此時將推動力設為與作用在物質 i 上的摩擦力完全平衡，即可得到以下方程：

摩爾通量定義為

其中，

是物質 相對于混合速度的通量矢量，c是混合物中所有物質的總濃度。引入 Maxwell-Stefan 擴散系數：

并使用摩爾通量來消除上述力平衡方程中的

和 ，得到如下表達式：

這就是Maxwell-Stefan 方程，該方程構成了對混合物中化學物質的質量傳遞進行數學描述的基礎。例如，對這些方程進行簡化，可以得到適用于稀釋混合物的菲克第一擴散定律，以及用于擴散和遷移的 Nernst-Planck 方程。

物質

相對于固定坐標系的摩爾通量用 表示，可以通過添加由整個混合物速度產生的對流項得到：

得到的通量可用于溶液中每種物質的質量守恒方程：

通過包含對流項的所有質量通量的總和，可以得到混合物的連續性方程：

上式中，由于單個化學反應的質量守恒，因此最后一項的值一定為零。通過將這些總和作為密度和質量通量密度，我們可以得到質量連續性方程：

通量中的對流項是由于整個溶液運動而對某種物質產生的通量貢獻（見上圖）。鑒于這一原因，對于溶液中的所有化學物質來說，對流通量都是沿溶液的速度流線進行的。請注意，如果將質量平均速度作為參考，則所有物質的質量通量相對于混合物的通量而言，其總和均為零。質量平均速度定義為：

其中，

表示某一物質 的質量密度。這表明，一般情況下，每種物質的質量通量與混合物的總質量速度緊密耦合。在嚴格的定義中，通過制定并求解混合物中每種物質的動量守恒方程，可以得到該混合物的質量平均速度。

然而，此類公式所需的相互作用系數往往難以測量或進行計算。因此，人們通常會定義整個混合物的動量守恒方程。將低速（小于三分之一聲速）混合物的動量守恒方程與質量守恒方程組合在一起，就能得到納維-斯托克斯方程。通過求解納維-斯托克斯方程，可以得到速度場（一種矢量場），而速度場也可以決定混合物中各種物質的對流通量方向。

下面舉例說明了每種物質的質量傳遞與整個混合物的質量守恒之間的緊密耦合關系?？諝庵械难鯕庠诖呋瘎┍砻姹幌?#xff0c;由此產生的液態水會從氣體擴散電極的氣相中除去。氧氣的消耗導致該氣體混合物（空氣）獲得凈速度。此外，這一過程還形成氮濃度梯度，通過一個相反的擴散通量來完全平衡氮的對流通量。

氣體擴散電極中的氮濃度表面圖。在 x-y 繪圖中繪制的沿右側垂直邊的通量表明，催化劑表面的擴散通量可以完全補償由催化劑表面的氧消耗而產生的該表面的對流通量。

由于對化學勢中的陡峭梯度進行數值解析具有一定的難度，因此，人們通常使用差分方程代替微分方程，表示跨相界的質量傳遞。這種近似意味著，推動力中包含的梯度在虛擬邊界層內被線性化（見下圖）。該邊界層的厚度可定義為線性濃度梯度（從相界濃度開始）所在的相界到本體濃度溶液的距離。從邊界層的定義可以看出，不同物質的邊界層厚度可能不同。

液體中一個氣泡內部和周圍的虛擬邊界層。

此類界面的質量傳遞系數

可定義為：擴散系數除以邊界層厚度 ：

邊界層厚度與某個系統的標準長度之間的關系估計，可通過 Sherwood 數確定：

其中， 表示系統的標準長度，例如管半徑和通道寬度。不過，如果要研究液體中一個氣泡周圍的質量傳遞，則 可以表示氣泡半徑。由于邊界層的厚度取決于界面外的對流，Sherwood 數還可以給出此類界面的對流通量和擴散通量的測度。

對于上升的氣泡來說，液氣界面的邊界層厚度為 100 μm（氣相）和 10 μm（液相）的數量級。

Sherwood 數也可以定義為雷諾數和施密特數的函數。通過雷諾數可以估計流體中由慣性引起的動量傳遞與黏性的比值：

根據 Sherwood 數與雷諾數和施密特數之間的關系，即可估計質量傳遞系數。例如，對于沿平板的強制對流，可以使用以下表達式：

其中，

表示沿平板的流動的局部摩擦系數。相關文獻中以表格形式列出了不同幾何形狀的摩擦系數，這些系數也可以通過實驗得到。上述關系中的所有材料屬性和平均速度都很容易在文獻中找到，也可以通過簡單計算得到。在計算 Sherwood 數后，便能計算質量傳遞系數（包括邊界層厚度），這一參數很難通過其他方法進行計算。但請注意，上述表達式僅適用于平板。

質量傳遞綜述

在質量傳遞中，定義推動力是一件相對容易的事。這些力可以給出通量表達式，而這些表達式可用于質量守恒方程。在采用數值方法對這些方程進行離散，并對得到的數值模型方程進行求解后，所得結果可以給出系統中的濃度分布和通量，它們可以作為模型空間坐標和時間的函數。隨后，您便能夠在研究過程中利用濃度和通量的估算結果來理解、設計、優化和控制系統。

當方程難以離散和詳細求解時，可以使用質量傳遞系數來粗略估計系統中的濃度和通量，得到精度略低于上述方法的結果。

經授權轉載自 COMSOL 多物理場仿真百科，原文鏈接：

什么是質量傳遞？?cn.comsol.com

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總結

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