擴展歐幾里得

題意：給你一個循環，有初始條件，終止條件，和變量的變化條件，問程序能執行多少次。

example: for(i=A;i!=B;i+=c){statement;}問題是保證所有的計算都在2的k次方以內，也就是說，要模以2^k

這個問題可以抽象成一個函數：A+C*x-y*2^k=B;

把這個函數變形就是：C*x-Y*2^k=B-A;

歐幾里得算法求得是：找出一對整數，使得ax+by=gcd(a,b);

定理：1.ax+by=gcd(a,b) ；2.方程右邊一定是gcd的倍數，否則沒有整數解；3.求出來方程的一個解之后，根據x=(x%l+l)%l 可以求出來方程的最小解,l=b/gcd(a,b)；

long long gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) {if(!b){x=1;y=0;return a;}int d=gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);return d; }

上面的程序求出了三個值：一對（x0,y0），還有gcd(a,b),這些都是針對ax+by=gcd(a,b)這個方程的；

先求出右邊的數是gcd的多少倍，然后再把x乘以倍數，得到的就是C*x-y*2^k=B-A的其中一個解；

而通解的表達式是（x0+k*b'，y0-k*a'）,b'=b/gcd(a,b),a'=a/gcd(a,b);所以只需要模以k或者b'就可以了。

代碼：

#include<iostream> #include<queue> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std;long long gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) {if(!b){x=1;y=0;return a;}int d=gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);return d; }int main() {long long a,b,c,d;int k;while(~scanf("%lld%lld%lld%d",&a,&b,&c,&k)){if(a==0&&b==0&&c==0&&k==0){break;}long long l=1;l<<=k;long long x,y;if((b-a)%(d=gcd(c,l,x,y))){printf("FOREVER\n");continue;}k=(b-a)/d;x*=k;l/=d;x=(x%l+l)%l;printf("%lld\n",x);}return 0; }

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然后求最小的解的方法就

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轉載于:https://www.cnblogs.com/qioalu/p/5209249.html

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

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