最优化——对偶问题的性质（弱对偶性，强对偶性），对偶问题形式的书写（对偶规则）
生活随笔
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最优化——对偶问题的性质（弱对偶性，强对偶性），对偶问题形式的书写（对偶规则）
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文章目錄
- 對偶性質
- 弱對偶性
- 強對偶性
- 對偶問題解之間的關系
- 線性規劃與其對偶規則的關系
- 互補松弛定理
對偶性質
弱對偶性
原對偶問題任何可行解的目標值都是另一問題最優目標值的界。（推論：原對
偶問題目標值相等的一對可行解是各自的最優解）
強對偶性
原對偶問題只要有一個有最優解，另一個就有最優解，并且最優目標值相等。
對偶問題解之間的關系
線性規劃與其對偶規則的關系
互補松弛定理
? 原問題 max?CTX\max C^{T} XmaxCTX 對偶問題 min?b?TY\min \vec{b}^{T} YminbTY
s.t.?AX≤b?s.t.?ATY≥CX≥0Y≥0\begin{array}{lll} \text { s.t. } A X \leq \vec{b} & \text { s.t. } A^{T} Y \geq C \\ X \geq 0 & \quad\quad Y \geq 0 \end{array} ?s.t.?AX≤bX≥0??s.t.?ATY≥CY≥0?
設 X^\hat{X}X^ 和 Y^\hat{Y}Y^ 分別是原問題和對偶問題的可行解，則它 們分別是各自問題最優解的充要條件是滿足互補松弛定理等式
Y^T(b??AX^)=0,X^T(ATY^?C)=0\hat{Y}^{T}(\vec{b}-A \hat{X})=0, \hat{X}^{T}\left(A^{T} \hat{Y}-C\right)=0 Y^T(b?AX^)=0,X^T(ATY^?C)=0
含義：如果原問題某個不等式是松的（不等于0）， 則其相應的對偶變量必須是緊的（等于0）， 反之亦然。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的最优化——对偶问题的性质（弱对偶性，强对偶性），对偶问题形式的书写（对偶规则）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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