文章目錄

• 前言
• 重要坐標系
• 剛體運動
• • 預備知識
  • 移動
  • 旋轉(zhuǎn)
  • • 慣性矩（通常平面剛片且是均質(zhì)的，則也稱為轉(zhuǎn)動慣量）
• 列寫動力學方程

前言

為什么要考慮運動學？因為運動學的速度是一個理想化的一個量，讓它為0，立馬就能為0，然鵝現(xiàn)實中它不可能瞬間就變成0，他還需要制動。另外就是加速度的限制：使得車能在車輪不打滑或者車不會翻過來的情況下在一定時間內(nèi)達到最大速度。
動力學 隱式表達：
$$g_i(\ddot{q},\dot{q},q)=0$$
動力學 顯示表達：
$$\ddot{q}=f(\dot{q},q,u)$$
由于高階導數(shù)計算比較困難，這里引入相空間來對其進行簡化，類似于非線性規(guī)劃中的相平面。

重要坐標系

Inertial frame：固定的全局坐標系

Translating frame：固定在運動體上的坐標系，原點在質(zhì)心，但軸平行于Inertial frame

Body frame：固定在運動體上的坐標系，質(zhì)點在質(zhì)心，軸隨著質(zhì)點運動會改變方向

剛體運動

預備知識

角動量:L=r X p(p為O點的動量，r是質(zhì)點相對O點的位矢)
力矩：N=F X r（F為O點的力，r是質(zhì)點相對O點的位矢），還等于dL/dt(L為角動量，角動量定理)

$A?{\mathbb{R}}^3$代表一個剛體. $\sigma (r)$ 代表在 $r\in A$的一點的剛體密度，$m$ $A$的總質(zhì)量:
$$m={\int }_A\sigma (r)dr$$

$dr=d{r}_{1}d{r}_{2}d{r}_3$ 代表一個柱狀的體積，$p\in {\mathbb{R}}^3$ 表示 $A$的質(zhì)心, $p=(p_1,p_2,p_3)$：

由于剛體的內(nèi)部力相互抵消，外部邊界的力的集合可以合成一個力F和力矩N作用在質(zhì)點p：

移動

剛體不旋轉(zhuǎn)值只移動：動量

由牛二定理：

可以得到六個狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)可以同移動進行解耦，所以現(xiàn)在只在 translating frame中考慮純粹的旋轉(zhuǎn)運動。E為角動量，則力矩為：
參考角動量定理


參考上面圖13.11，旋轉(zhuǎn)角速度：v是單位向量，表示旋轉(zhuǎn)方向，$\theta$表示旋轉(zhuǎn)角度

將此角速度轉(zhuǎn)化成，yaw-pitch-roll形式表示的旋轉(zhuǎn)角速度：

慣性矩（通常平面剛片且是均質(zhì)的，則也稱為轉(zhuǎn)動慣量）

E是整個剛體的角動量

經(jīng)過以下一系列操作，主要是點乘和叉乘之間的轉(zhuǎn)換：

慣性矩陣3 X 3對稱矩陣：

則剛體的角動量：

剛體所受到的力矩：

注意上面求得的慣性矩陣是在translating frame中考慮的，它會隨著旋轉(zhuǎn)q的變化而變化：

這里我們將慣性矩陣定義在body frame中，表示成I，則I與I（q）的關系（其中R是body frame到 translational frame的旋轉(zhuǎn)矩陣。）：

則剛體所受到的力矩簡化為：

如果選擇的body frame等于慣性主軸，那么慣性矩陣就簡化為：

列寫動力學方程

這里假設選擇的body frame等于慣性主軸，求得角加速度方程：

結(jié)合移動那一節(jié)的三個方程，以及角速度和四元數(shù)（表示旋轉(zhuǎn)角度）的關系，我們就得到了12個動力學方程：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器人动力学（Basic Newton-Euler Mechanics）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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