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编程问答

泛函分析——有界线性算子和函数

發布時間：2025/1/21 编程问答 15 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了泛函分析——有界线性算子和函数小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

線性映射： Let

X

and

Y

be linear spaces over the same field

F\mathbb{F}

. A linear operator from

X

into

Y

is a mapping

\rightarrow Y

such that

$T(αx1+βx2)=αTx1+βTx2T\left(\alpha x_{1}+\beta x_{2}\right)=\alpha T x_{1}+\beta T x_{2}$ for all $x1,x2∈Xx_{1}, x_{2} \in X$ and all $α,β∈F\alpha, \beta \in \mathbb{F}$

線性算子T的值域
$ran?(T)={y∈Y∣y=Txfor?some?x∈X}=TX\operatorname{ran}(T)=\{y \in Y \mid y=T x \text { for some } x \in X\}=T X$

線性算子T的核空間
$N(T)=ker?(T)={x∈X:Tx=0}=T?1(0)\mathcal{N}(T)=\operatorname{ker}(T)=\{x \in X: T x=0\}=T^{-1}(0)$

賦范線性空間中線性操作算子的有界
Let $X$ and $Y$ be normed linear spaces over the same field $F\mathbb{F}$ . A linear operator $\rightarrow Y$ is said to be bounded if there exists a constant $M > 0$ such that
$∥Tx∥≤M∥x∥for?all?x∈X.\|T x\| \leq M\|x\| \quad \text { for all } \quad x \in X .$

賦范線性空間中線性操作算子的連續
An operator $\rightarrow Y$ is said to be continuous at $x0∈Xx_{0} \in X$ if given any $?>0\epsilon>0$ there is a $δ>0\delta>0$ such that
$∥Tx?Tx0∥<?whenever?∥x?x0∥<δ.?\left\|T x-T x_{0}\right\|<\epsilon \quad \text { whenever }\left\|x-x_{0}\right\|<\delta \text { . }$
$T$ is continuous on $X$ if it is continuous at each point of $X$ .

算子范數
Let $X$ and $Y$ be normed linear spaces over the same field $F\mathbb{F}$ and let $\in \mathcal{B}(X, Y)$ . The operator norm (or simply norm) of $T,$ denoted by $∥T∥,\|T\|,$ is defined as
$∥T∥=inf?{M:∥Tx∥≤M∥x∥,for?all?x∈X}\|T\|=\inf \{M:\|T x\| \leq M\|x\|, \quad \text { for all } x \in X\}$

Since $T$ is bounded, $∥T∥<∞\|T\|<\infty$ . Furthermore,
$∥Tx∥≤∥T∥∥x∥for?all?x∈X\|T x\| \leq\|T\|\|x\| \quad \text { for all } \quad x \in X$

將算子組合運算，加法乘法運算。

線性函數：A linear operator

\rightarrow \mathbb{F}

is called a linear functional on

X .

如果一個線性函數的值域是復數集，那么它就是一個線性函數。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的泛函分析——有界线性算子和函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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