注：受控制領域大牛CAN博士啟發，受益匪淺，作此文以為筆記。

簡介

??設

??卡爾曼濾波器是從測量值$Z$_k的平均數開始的。開始推導：

由上式可知

??也就是說隨著$k$的增大，測量結果Z_k不在重要，因為已經獲得了足夠多的測量值，此時的估計值已經很貼近了實際值了。我們令K_k=$1/k$，即

可知，K_k在$[0,1]$之間，當K_k $=0$時，估計值等于上一次計算的估計值，當K_k $=1$時，估計值等于本次測量值，這時引入兩個參數e_EST，e_MEA,令

有

其中，e_MEA是測量誤差，是測量工具自身的屬性，是不變的，e_EST是估計誤差，會受歷史數據的影響，即

由上述幾個式子便可使用卡爾曼濾波器來解決實際的問題了。步驟如下：
第一步

第二步

第三步

例
??有一個質量為$50g$的物體，但我們此時并不知道該物體質量是多少，先估計其有$46g$，估計誤差為$5g$，將其放在稱上稱得質量為

該稱的測量誤差為$3g$,將所有數據放在Excel里進行計算

其中藍色線條表示測量值，紅色線條表示估計值，從圖中可以看出，盡管測量值起伏較大，但估計值整體趨勢很平緩，不斷向實際值靠攏且十分接近實際值。

數據融合

??從一個例子入手，設某物體質量為$m$,分別用標準差為σ₁ $=2g$和σ₂ $=4g$得稱來稱該物體，稱得質量分別為Z₁ $=30g$和Z₂ $=33g$,求出最優估計值。
??從上述中可得式

此時引入標準差，即估計值的標準差，當標準差越小時，即方差越小，估計值的波動越小，也就越趨于真實值。如下：

由上式可知，估計值的方差是關于K_k的函數，使估計值方差對K_k求導，即

將σ₁ $=2g$和σ₂ $=4g$代入上式中，K_k $=0.2$,得

協方差矩陣

??有以下$3$組數據

平均值

方差

協方差

協方差矩陣$P$

為方便編程計算，引入一個過渡矩陣$A$

則

注： 式中的$3$是指矩陣得維數。
??在$matlab$中驗證一下

與計算得結果一致。

狀態空間表達式

??有如下系統

??該系統中，物塊質量為$M$,彈簧彈力系數為$k$,阻尼系數為$B$,系統輸入為拉力$F$。于是有

狀態變量

得

測量量

狀態空間表達式

化為離散形式

??由于系統存在各種不確定性，需要加入過程噪聲$W$和測量噪聲$V$,即

??$W$服從正態分布，期望為$0$，協方差矩陣為$Q$,即$P(W)?N(0,Q)$。$V$也服從正態分布，期望為$0$，協方差矩陣為$R$，即$P(V)?N(0,R)$。其中$Q=E[W{W}^T]$,推導如下：

同理，$R=E[V{V}^T]$。

卡爾曼增益推導

??由于過程噪聲是不確定的，于是狀態估計值先驗為

根據先驗估計和測量估計可得出后驗估計

令 $G=$ K_k$H$,則

??我們的目標是求得合理的K_k值使得估計誤差最小，有

同理

??當后驗估計值越接近真實值 X_k, 則說明 e_k 的方差越小，即 e_k 越接近于期望值$0$。于是有

接著推導

有

先驗誤差協方差矩陣

e_k的協方差矩陣P_k

??由之前的推導可得

總結

總結

以上是生活随笔為你收集整理的卡尔曼滤波器推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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