??在進(jìn)入正式話題之前需要引入四個(gè)概念：穩(wěn)態(tài)誤差、終值定理、幅角條件和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。
穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，系統(tǒng)的實(shí)際輸出量與系統(tǒng)希望的輸出量之間的偏差。
終值定理：設(shè)有連續(xù)函數(shù)$f(t)$，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，$f(t)$的極限存在，則有

其中。$F(s)$是$f(t)$經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換后的函數(shù)，即

幅角條件
??零點(diǎn)到根的夾角和與極點(diǎn)到根的夾角和是 $180°$ 的倍數(shù)。$\phi$表示極點(diǎn)，$\theta$表示零點(diǎn)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于$s$的左半平面。對(duì)于某個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為 $p$₁ 和 $p$₂ ，它們都在實(shí)軸上,即 p₁ $=$ $?$$a$ , p₂ $=$ $?$$b$ ($a$ 、$b$均為常數(shù))對(duì)該系統(tǒng)一個(gè)單位沖激信號(hào)，于是系統(tǒng)的響應(yīng)為

當(dāng) $p$₁ $<$ $0$ , $p$₂ $<$ $0$ 時(shí)

??說(shuō)明這個(gè)系統(tǒng)是收斂的，也就是說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)可以穩(wěn)定。

當(dāng) $p$₁ 與 $p$₂ 有一個(gè)大于$0$ 時(shí)

??說(shuō)明這個(gè)系統(tǒng)是發(fā)散的，也就是說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)無(wú)法達(dá)到穩(wěn)定。
當(dāng) $p$₁ 與 $p$₂ 并沒(méi)有在實(shí)軸上，即 p₁ $=$ $?$$a$ $+$ $b$$i$ , p₂ $=$ $?$$a$ $?$$b$$i$ ,此時(shí)有

在經(jīng)過(guò)拉普拉斯逆變換，得

??正弦函數(shù)是等幅振蕩函數(shù)，而 $e$^(-at) 會(huì)隨 $t$ 得增大而減小 ，最終趨向于$0$，故而 $X(t)$ 是一個(gè)振蕩衰減函數(shù)，最終仍會(huì)趨向于 $0$。圖像大概是這個(gè)樣子

如果 p₁ $=$ $a$ $+$ $bi$ , p₂ $=a?bi$ ,此時(shí)有

??此時(shí)該函數(shù)時(shí)振蕩發(fā)散的，是不穩(wěn)定的，圖像就是上圖從右往左看。

??進(jìn)入正式話題，在做實(shí)際工程或者學(xué)習(xí)自動(dòng)控制原理的時(shí)候，PID控制經(jīng)常被提起，大部分工程中涉及控制基本都是PID，那么PID到底是什么？它為什么可以做控制使用？又是如何控制的呢？所謂PID就是比例積分微分控制，下面我們就對(duì)$3$種控制稍做分析。

比例控制

??對(duì)于如下比例控制系統(tǒng)，輸入是$R(s)$,輸出是$X(s)$，

有

于是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

??由這個(gè)傳遞函數(shù)可知極點(diǎn)$p=(?1?$ K_p $)/a$,我們知道，當(dāng) $p$位于 $s$ 的左半平面時(shí)系統(tǒng)才會(huì)穩(wěn)定，也就是說(shuō) K_p $>$ $?1$ 時(shí)系統(tǒng)才會(huì)穩(wěn)定。
??我們給系統(tǒng)一個(gè)輸入一個(gè)目標(biāo)值，即 $r(t)=r$, 于是

則

根據(jù)中值定理，有

那么穩(wěn)態(tài)誤差為

??由上式可知，$K$_p 趨向于無(wú)窮大時(shí)，$e$_ss 趨向于 $0$，但實(shí)際工程中，$K$_p 不可能取太大，否則超調(diào)量會(huì)非常大（一階系統(tǒng)除外），如果超過(guò)了控制器的輸出范圍，那也就沒(méi)有意義了，但是在控制器的輸出范圍內(nèi)，Kp又不會(huì)太大，所以穩(wěn)態(tài)誤差還是消除不了，故而一般不單獨(dú)使用比例控制。

舉個(gè)實(shí)際的例子：
??對(duì)于系統(tǒng)：

??通過(guò)以上的推理，該系統(tǒng)在 $K$_p $>$ $?1$ 時(shí)才會(huì)穩(wěn)定，那就在simulink中仿真一下，把輸入設(shè)置為$10$，示波器中的黃線代表目標(biāo)值，藍(lán)線代表輸出值：
$K$_p $=$ $?$ $2$ 時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下

輸出曲線如下

??由圖可以看出，輸出值已經(jīng)跑飛了，系統(tǒng)不可能會(huì)穩(wěn)定下來(lái)。
看看 $K$_p $=$ $2$ 時(shí)的情況

??這時(shí)候系統(tǒng)已經(jīng)穩(wěn)定了，但是穩(wěn)態(tài)誤差很大。
再看看 $K$_p $=$ 100 的情況

??此時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差已經(jīng)很小了，可以忽略不計(jì)了。但是此時(shí)的 $K$_p 已經(jīng)非常大了，如果系統(tǒng)此時(shí)輸出為 $9$ ，那么偏差就為 $1$，比例控制輸出為 $100$，對(duì)于PWM調(diào)節(jié)的話，占空比最大就是$100$$\%$，很明顯這是不符合實(shí)際應(yīng)用的。當(dāng)然控制器的輸出我們可以不當(dāng)做占空比直接使用，比如在單片機(jī)的PWM的配置過(guò)程中，令計(jì)數(shù)值為$1000$才代表$100$$\%$占空比，那么比例控制輸出$100$，對(duì)應(yīng)PWM占空比也才$10$$\%$，看上去很合理，也符合實(shí)際應(yīng)用，這樣一來(lái)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間就會(huì)變長(zhǎng)，同樣我們也可以理解為此時(shí) $K$_p 還較小。所以比例控制一般不單獨(dú)使用。

積分控制

??上面我們研究了比例控制器，他不能消除穩(wěn)態(tài)誤差，所以需要設(shè)計(jì)新的控制器$C(s)$，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如下：

求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)

??我們同樣令$r(t)=r$ ,拉普拉斯變換后， $R(s)=r/s$,于是有

??我們的目標(biāo)是消除穩(wěn)態(tài)誤差，即 $e$_ss $=$ $0$

繼續(xù)推導(dǎo)

??這個(gè) $C(s)$不就是積分嘛，$K$_i 就是積分增益。我們來(lái)驗(yàn)證一下，還是拿前面的系統(tǒng)

設(shè)置 $K$_p $=$ $2$ , $K$_i $=$ $1$,看看比例控制與積分控制的效果

??黃色的直線表示目標(biāo)值，藍(lán)色的線是比例控制，橙色線是積分控制。由圖可以看出，積分控制很明顯的消除了穩(wěn)態(tài)誤差，但是積分控制的調(diào)節(jié)時(shí)間卻比比例控制要長(zhǎng)很多，那將比例控制與積分控制放在一起，同時(shí)作用，效果又是怎樣的？

更改系統(tǒng)框圖

??最上面一個(gè)閉環(huán)是比例控制，第二個(gè)是積分控制，最下面一個(gè)是比例積分控制，為方便對(duì)比我們稍稍做下參數(shù)調(diào)整，將比例積分控制的 $K$_i 增加到 $2$，看看效果

??這條綠色的線就是比例積分控制，其余三條不變。由圖可知，比例積分控制不僅吸取了比例控制的快速響應(yīng)并穩(wěn)定特點(diǎn)，還吸取了積分控制能消除穩(wěn)態(tài)誤差的特點(diǎn)，所以比例積分控制的有點(diǎn)明顯勝于比例控制。

引入微分控制

??設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)的一對(duì)根為 $p$₁ $=?a+bi$ , $p$₂ $=?a?bi$,對(duì)該系統(tǒng)輸入一個(gè)單位沖激信號(hào)，那么該系統(tǒng)的響應(yīng)為

經(jīng)過(guò)拉普拉斯逆變換后，得

??我們知道這個(gè)函數(shù)得曲線是振蕩衰減直至到$0$，也就是說(shuō)這個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。我們的目標(biāo)是讓系統(tǒng)更快速穩(wěn)定，也就是加快系統(tǒng)的收斂速度，也就是$?a$ 越小，系統(tǒng)的收斂的速度才會(huì)越快，減小 $?a$ 也就是改變根軌跡，讓根左移。我們以實(shí)例來(lái)說(shuō)明：
設(shè)有系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

??該系統(tǒng)有$2$個(gè)極點(diǎn),$\phi$₁$=$ $0$,$\phi$₂$=$ $?2$,沒(méi)有零點(diǎn)，漸近線交點(diǎn)$\sigma$_a$=$$?1$,與實(shí)軸得交角為$90°$，根軌跡如下

那么所有的根都將在實(shí)部為$?1$這條豎線上，我們要讓系統(tǒng)快速衰減，也就是讓根左移，并且越左越好，我們就讓他移到實(shí)部為$?2$得這條豎線上，為便于計(jì)算，我們?cè)O(shè)這個(gè)根為$k=?2+2\surd 3i$。

根據(jù)幅角條件

得

這也就是說(shuō)，$k=?2+2\surd 3i$不在原根軌跡上，如果要使這個(gè)根滿足幅角條件，或者說(shuō)改變?cè)壽E使得$k$在新的根軌跡上，該怎么辦呢？那就加個(gè)30°，也就是加個(gè)零點(diǎn)嘛，如圖

通過(guò)計(jì)算，補(bǔ)償?shù)?0°這個(gè)零點(diǎn)為$?8$,那么這個(gè)新的控制器不就是$H(s)=s+8$,這不就是微分控制和比例控制嗎，即$PD$控制，這里就把微分控制引進(jìn)來(lái)了，我們可以仿真一下

??這個(gè)結(jié)構(gòu)中，上面一個(gè)閉環(huán)是$PD$控制，下面一個(gè)就是$P$控制，$Kp$ $=8$,得到得輸出響應(yīng)

藍(lán)色的線表示$PD$控制,橙黃色得線表示$P$控制，可以清楚得看到$PD$控制得超調(diào)要小的多，收斂的速度也明顯比比例控制快很多。我們?cè)谛薷男薷膮?shù)，將$K$_i $=2.9$,看看效果

很明顯，現(xiàn)在的超調(diào)已經(jīng)變得很小了，收斂速度更快。對(duì)于微分控制，在實(shí)際應(yīng)用中，不會(huì)拿微分控制單獨(dú)做一個(gè)控制器，因?yàn)槲⒎挚刂茖?duì)高頻干擾十分敏感，比如在系統(tǒng)中存在這樣一個(gè)干擾：$D(t)=0.01sin(100t)$，它的幅值很小，頻率很高，一旦遇到微分控制，于是$D(t)$對(duì)$t$求導(dǎo)，此時(shí) $D$¹(t)=$cos(100t)$,賦值被放大了100倍，所以微分控制在很多時(shí)候并不被使用，$PI$控制被廣泛應(yīng)用。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的为什么是PID控制的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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