梯度介紹

首先介紹邊緣檢測中用到的高等數學原理---梯度。介紹梯度，離不開方向導數。

方向導數

顧名思義，方向導數就是某個方向上的導數。

什么是方向：

函數

在這個方向上的圖像：

我們知道：

函數

的

點在這個方向上也是有切線的，其切線的斜率就是方向導數：

梯度

梯度：是一個矢量，它的方向上的方向導數最大，它的大小正好是此最大方向導數。

梯度的數學定義

簡單總結下：

方向導數是各個方向上的導數

偏導數連續才有梯度存在

梯度的方向是方向導數中取到最大值的方向，梯度的值是方向導數的最大值

2.?邊緣檢測

《經典邊緣檢測算子比較》 張麗 南京信息工程大學

圖像的邊緣是圖像最基本的特征之一。所謂邊緣(或邊沿)是指周圍像素灰度有跳躍性變化或“屋頂”變化的那些像素的集合。邊緣是圖像局部強度變化最明顯的地方，它主要存在于目標與目標、目標與背景、區域與區域之間，因此它是圖像分割依賴的重要特征。

從本質上說，圖像邊緣是圖像局部特性不連續性(灰度突變、顏色突變、紋理結構突變等)的反應，它標志著一個區域的終結和另一個區域的開始。

邊緣檢測是所有基于邊界分割的圖像分析方法的第一步。

檢測出的邊緣并不等同于實際目標的真實邊緣。由于圖像數據時二維的，而實際物體是三維的，從三維到二維的投影必然會造成信息的丟失，再加上成像過程中的光照不均和噪聲等因素的影響，使得有邊緣的地方不一定能被檢測出來，而檢測出的邊緣也不一定代表實際邊緣。

圖像的邊緣有方向和幅度兩個屬性，沿邊緣方向像素變化平緩，垂直于邊緣方向像素變化劇烈。邊緣上的這種變化可以用微分算子檢測出來，通常用一階或兩階導數來檢測邊緣。一階導數認為最大值對應邊緣位置，而二階導數則以過零點對應邊緣位置。

圖像的梯度可以用一階導數和二階偏導數來求解。但圖像是離散的，對一幅圖像的求導相當于對一個面求導。對圖像的操作，我們采用模板對原圖像進行卷積運算，從而達到我們想要的效果。而獲取一幅圖像的梯度就轉化為：模板(Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子)對原圖像進行卷積，不過這里的模板并不是隨便設計的，而是根據數學中求導理論推導出來的。

Roberts算子

梯度的模為

在圖像處理中，實際我們用

和

來表示兩個偏導數

故，梯度的?？梢员硎緸?#xff1a;

因為平方和平方根需要大量的計算開銷，所以使用絕對值來近似梯度幅值：

一般我們常用對角線方向的像元計算梯度

Prewitt和Sobel算子

在3*3模板中：

定義水平、垂直和兩對角線方向的梯度：

?

該定義下的算子稱之為Prewitt算子：

Sobel算子是在Prewitt算子的基礎上改進的，在中心系數上使用一個權值2，相比較Prewitt算子，Sobel模板能夠較好的抑制(平滑)噪聲。

計算公式為：

?

Sobel算子：

上述所有算子都是通過求一階導數來計算梯度的，用于線的檢測，在圖像處理中，通常用于邊緣檢測。在圖像處理過程中，除了檢測線，有時候也需要檢測特殊點，這就需要用二階導數進行檢測。

總結

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