排列组合学习要点
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一、語言習慣的問題
排列和組合的差別是，排列的元素與位置有關，而組合的元素對位置無要求。我們的日常問題絕對不會出現這樣的問法：某組元素的排列數是什么？
不管是排列還是組合，日常用語都會用“組合”這個詞，因此我們要分析一個問題是排列還是組合，要基于問題的前提，分析元素的位置是不是問題需要考慮的因素，如果元素位置不是問題所關心的，那么這個就是組合，否則就是排列。
為了顧及語言上的誤導性，一般專業的數學題都不會在涉及排列的時候出現“組合”二字，因為“排列”或者“組合”都是經過數學嚴格定義的術語。這造成學生只能針對數學問題做解答，而對于沒有用語暗示的現實問題，往往就缺乏分析能力。
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二、 排列的兩種方法
分類法：根據不同情況分析每一種情況的種類個數，然后累加所有情況，自然就是問題的解。每一種情況必須是獨立的，不相互涵蓋的，所有分類的總和必須是問題的全部情況。
分步法：分步法基于分類法的思想，分析每一種情況，但是每一種情況由幾個獨立部分相繼組成。
假設一種情況有兩步，第一步有三種選擇，第二步有兩種選擇，那么總共的可能路線就有3*2種。第二種情況有一步，第一步有五種選擇，那么就是五種路線。結合一起就是3*2+5=11種。分類法是一個步驟的分步法，是特殊情況。分步法的每一步都是分類法，是分類問題多次組合。
分類法是研究一個分步種的分類情況，也就是一步中的所有情況都應該相互獨立，并且總的分類應該是所有可能的情況。 簡而言之的要求是獨立而全面。
而分步法是研究一個完整的路線所需要的步驟，步驟之間應該獨立，連續有次序，并是解決問題的一個情況的完整路線。簡而言之就是要求連續而完整。
如果把一個問題的解集表述成一個表格，分類研究的是每一列的情況，而分步研究的是每一行的情況。當然，每一步的分類個數未必是相同的，每一分類的步驟數也未必是相同的。
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三、元素
問題經常會羅列元素，但是會添加一定的條件約束。
元素的一般含義就是分類，即每一種類，每一情況。而條件約束實際上是要求你重新劃分種類。 因此不能光被問題所羅列的元素迷惑了，根據條件約束用分類法重新定義元素的個數。
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四、位置
問題經常會讓你把元素按照位置排列，每一個位置其實就是一個步驟。每個步驟需要考慮的元素總數一般是不相同的。
位置比元素更有迷惑性，因為位置可能是隱含的，不會直接告訴你總共有幾個位置，需要你自己分析出來。
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五、局部和整體
分類的局部是累加為整體。
分步的局部是類乘為整體。
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六、理解排列數和組合數
（一）基礎
n個元素取m個元素
排列數：第一步取一個，可以有n個可選；第二步取一個，可以有n-1個可選（因為上一步取走了一個）；總共有m步，那么就是A(m,n) = n(n-1)(n-2)(n-3)...= n!/(n-m)!? 。 m是取的個數, n-m就是要去除的個數（用除法去除），如果m=n,那就是全排列。
組合數：在排列數的基礎上，去除順序相同的部分。順序相同的部分怎么知道？ A(m,n) 的結果就是取m組元素（每組個數不一樣），然后進行全排列，也就是m!，那么我們想知道沒有排列之前的情況，也就是無重復的組合數就是C(m,n) = A(m,n)/m! = n!/( (n-m)!*m! ).
排列數轉化為組合數只需要除以m! ,反之組合數要轉換為排列數就是乘以m!，可見m!就是排序因子，可以幫助我們隨意轉換。
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（二）平均分堆問題：
n個元素，平均分m堆，每堆k個
每一堆為一步，而每一堆的每一個位置又是一小步。
從元素列表中取k個元素的m堆，也就是 A(m, X)，其中X 未知，解法是：
首先第一堆是 A(k,n)，而第二堆問題是 A(k,n-k) ,第二個問題可以選擇的元素就要少k了，因此第m堆等于A(k,n-(m-1)k).
A(k,n)A(k,n-k)A(k,n-2k)...A(k,n-(m-1)k) 就是所有的排列數。
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而平均分堆需要知道的是組合數，那么就是C(m,x) = A(m,x) /m!:
然后每一堆都要求得它對應的組合數。
第一堆的組合是C(k,n) = A(k,n)/k! ,第二堆 C(k,n-k) = A(k,n-k)/k!...C(K,n-(m-1)k) = A(k,n-(m-1)k)/k!
累乘之后就是C(k,n)...C(k,n-(m-1)k) 對應公式A(m,x) 部分；
最后套最終公式就是c(m,x) = A(m,x) /m! = ( C(k,n)...C(k,n-(m-1)k) ) / m! .
每一堆自身需要求對應的組合數，而所有堆的結果也要除以m! 取得對應的組合數。
組合數的公式都是基于排列數得到的，而排列數的公式是有邏輯基礎，易于掌握的（也就是從n個元素取m個數的機械操作），因此應該首先找出對應的排列數，再根據公式推導得到對應的組合數。
有時候不知道元素個數也無所謂的，只需要知道取數個數，就能轉換組合數和排列數。
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有些問題需要得到平均分堆組合數后，又提出新的要求，那就是按順序分配。這個等價于：組合數為元素個數n，取位置數m的排列數問題。
非平均分堆問題，而是按特定比例分配，如：2：2：3：3：5 這個比例分配，m! 的值應該如何取？
這個需要結合分類法，因為比例不同的分組總是不同的組合，而比例相等的組合有不同的排列（相同比例的元素可以相互替換，得到組成結構不變但是內部順序變化的新排列）。
把元素組合分為3類，一類是2，一類是3，一類是5。其中類2的數目是2，也就是m1 = 2；以此類推，m2= 2，m3 = 1。
問題可以轉化為，先求類2的情況：c (2,x)? /m1, 然后求類3：c(3,x)/m2, 類5 ： c(5,x)/m3.
綜合： m! = m1! * m2! * m3!
（三）插空法：
插空法是首先建立一般隊列，然后插入特殊元素的方法。首先是需要建立一個合理的分類，將一般和特殊元素進行分組。
如7個元素，5個無約束，2個不允許相鄰。
5個元素可以自由排列，但是2個應該分開，第一步建立好任意排列的5個元素后，再插入2個元素，5個元素的隊列可以選擇插入6個位置，并且第一個插入和第二個插入的位置是相互獨立的，相當于6個元素放在兩個位置上，也就是A(2,6)。
總結： A(5,5) * A(2,6).
分組元素需要考慮完整性，把7個元素分成5個和2個兩組，但是問題是求7個元素的排列，那么這兩組的關系應該是“分步法”。第二是需要考慮元素的一般性，不要用特殊情況去分析一般性的元素排列，5個一般元素的組成的某一個特殊排列，都能代表這5個元素的一般性排列，因為兩個特殊元素考慮的是雙方的關系，和5個一般元素無關。如果把其中一個特殊元素并入5個一般元素去考慮，那么就無法插入第7個元素，因為任意一個位置上的數都可能就是特殊元素。通過建立合理的模型，就可以將兩類元素進行正確的分步法。這也是獨立性思想的一個例子，分類分組都必須要考慮到元素的獨立性，建立一個不相互干涉的分類和分步。
（四）捆綁法
捆綁法是將特殊元素捆綁成一個獨立元素，和一般元素進行排列。
如7個元素，5個無約束，2個必須相鄰。
首先分成兩組，5個無約束一組，2個特殊一組，第二組可以作為一個整體插入到五個元素的任意位置，也就是可以類似插空法那樣 A(2,2)*A(1,6)*A(5,5) ；也可以把2個元素形成一個一般元素后，組成6個一般元素的解，A(2,2)*A(6*6) 。
（五）消序法
消序法一般是去除一部分的有序，因此先求的總體的排列數，然后除以局部的排列數，就可以得到最后要的結果。如果是整體消序就是排列數和組合數之間的轉換。
如7個元素，5個無約束，剩下兩個的甲必須在乙左邊。
消序法是A(7,7) / A(2,2).
消序法的方式很簡單，但是難以理解，需要結合組合數的基礎知識。
消序法和分堆的思想有共通的地方，可以把需要消序的和不需要消序的分成兩堆，然后得到C(2,7)*A(5*5).
（六）剪截法
如7個元素，任意分成3組，每組至少一個，有幾種組合？
相當于7個元素的隊列的間隔內（6個中間間隔），任意截斷2次，即C(2,6) = 21.
這種問題本質上也是基礎問題，只是需要做思維轉換。
（七）
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轉載于:https://www.cnblogs.com/Nobel/archive/2012/02/25/2367650.html
總結
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