20211004 矩阵的子空间
定理 1.4.1.4.1.4. 如果 V1,V2V_{1}, V_{2}V1?,V2? 是數(shù)域 KKK 上的線性空間 VVV 的兩個(gè)子空間,那么它們的交 V1∩V2V_{1} \cap V_{2}V1?∩V2? 也是 VVV 的子空間．
定理 1.5.1.5.1.5. 如果 V1,V2V_{1}, V_{2}V1?,V2? 都是數(shù)域 KKK 上的線性空間 VVV 的子空間,那么它們的和 V1+V2V_{1}+V_{2}V1?+V2? 也是 VVV 的子空間.
定理 1.6.1.6.1.6. （維數(shù)公式）如果 V1,V2V_{1}, V_{2}V1?,V2? 是數(shù)域 KKK 上的線性空間 VVV 的兩個(gè)子空間,那么有下面公式
dim?V1+dim?V2=dim?(V1+V2)+dim?(V1∩V2)\operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right) dimV1?+dimV2?=dim(V1?+V2?)+dim(V1?∩V2?)
定理1.4好理解,對(duì)于定理1.5,首先要明確 VVV 是線性空間,舉例: V1V_{1}V1? 是xoy平面, V2V_{2}V2? 是oz直線,那么 V1+V2V_{1}+V_{2}V1?+V2? 并不是簡(jiǎn)單的xoy平面+oz直線,因?yàn)檫@樣不滿足線性條件,可以求出 V1+V2V_{1}+V_{2}V1?+V2? 是o-xyz三維空間.
也就是說(shuō)V1+V2V_{1}+V_{2}V1?+V2?是找到一個(gè)最小的,包含V1V_{1}V1? 和 V2V_{2}V2? 的線性空間.
總結(jié)
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