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20220401 从解方程角度看什么是线性系统的能控与能观

發布時間：2025/3/15 windows 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 20220401 从解方程角度看什么是线性系统的能控与能观小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

1. 能控

1.1 單入多出

線性定常離散系統通常要進行能控和能觀的分析，其實，所謂的能控和能觀無非就是解方程中的解的存在性問題。

預習 $A x = b$ 的解的存在性分析：https://blog.csdn.net/weixin_44382195/article/details/120112023

栗子：
存在一個單入定常離散系統： $x(k+1)=?x(k)+gu(k)\boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{g}u(k)$ 其中， $?∈Rn×n\boldsymbol{\phi}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 為狀態轉移矩陣，初始狀態為 $x(0)∈Rn\boldsymbol{x}(0)\in\mathbb{R}^{n}$ ,

一步一步推導：
$x(1)=?x(0)+gu(0)x(2)=?x(1)+gu(1)=?2x(0)+?gu(0)+gu(1)?x(k)=?x(k?1)+gu(k?1)=?kx(0)+∑i=0k?1?igu(k?1?i)\begin{aligned} \boldsymbol{x}(1)&=\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{x}(0)+\boldsymbol{g}u(0) \\ \boldsymbol{x}(2)&=\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{x}(1)+\boldsymbol{g}u(1) \\&=\boldsymbol{\phi}^2\boldsymbol{x}(0)+\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{g}u(0)+\boldsymbol{g}u(1) \\ \cdots \\ \boldsymbol{x}(k)&=\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{x}(k-1)+\boldsymbol{g}u(k-1) \\&=\boldsymbol{\phi}^k\boldsymbol{x}(0)+\sum^{k-1}_{i=0}\boldsymbol{\phi}^{i}\boldsymbol{g}u(k-1-i) \end{aligned}$
按照定義，如果當從第0步的任意 $x(0)\boldsymbol{x}(0)$ 能在第 $n?kn\leqslant k$ 步走到 $x(n)=0\boldsymbol{x}(n)=\boldsymbol{0}$ ，那么說明是狀態能控（完全能控），也就是說 $0=?nx(0)+∑i=0n?1?igu(n?1?i)0=\boldsymbol{\phi}^n\boldsymbol{x}(0)+\sum^{n-1}_{i=0}\boldsymbol{\phi}^{i}\boldsymbol{g}u(n-1-i)$ 的解存在。進一步變形可以得到
$??nx(0)=[g?g??n?2g?n?1g][u(n?1)u(n?2)?u(1)u(0)]-\boldsymbol{\phi}^n\boldsymbol{x}(0)= \left[\begin{matrix} \boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}\boldsymbol{g} & \cdots & \boldsymbol{\phi}^{n-2}\boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}^{n-1}\boldsymbol{g} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u(n-1) \\ u(n-2) \\ \vdots \\ u(1)\\ u(0) \end{matrix}\right]$
令 $x′(0)=??nx(0)\boldsymbol{x}'(0)=-\boldsymbol{\phi}^n\boldsymbol{x}(0)$ ，那么這個線性方程組 $x′(0)=[g?g??n?2g?n?1g][u(n?1)u(n?2)?u(1)u(0)]\boldsymbol{x}'(0)= \left[\begin{matrix} \boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}\boldsymbol{g} & \cdots & \boldsymbol{\phi}^{n-2}\boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}^{n-1}\boldsymbol{g} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u(n-1) \\ u(n-2) \\ \vdots \\ u(1)\\ u(0) \end{matrix}\right]$ 滿足什么條件才能對任意的 $x′(0)\boldsymbol{x}'(0)$ 有解呢？

如果 $?\boldsymbol{\phi}$ 是滿秩的，那么 $?n\boldsymbol{\phi}^n$ 也是滿秩的，那么當 $x(0)\boldsymbol{x}(0)$ 從整個狀態空間中任意選取，則 $x′(0)\boldsymbol{x}'(0)$ 依然表示從整個狀態空間中任意選取，那么充分必要條件是
$[g?g??n?2g?n?1g]\left[\begin{matrix} \boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}\boldsymbol{g} & \cdots & \boldsymbol{\phi}^{n-2}\boldsymbol{g}& \boldsymbol{\phi}^{n-1}\boldsymbol{g} \end{matrix}\right]$ 滿秩就是當 $?\boldsymbol{\phi}$ 滿秩時的狀態完全能控的充分必要條件。

如果 $?\boldsymbol{\phi}$ 不是滿秩的，那么 $?n\boldsymbol{\phi}^n$ 也是不滿秩的，那么當 $x(0)\boldsymbol{x}(0)$ 從整個狀態空間中任意選取，則 $x′(0)\boldsymbol{x}'(0)$ 表示從局部狀態空間中任意選取，那么
$[g?g??n?2g?n?1g]\left[\begin{matrix} \boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}\boldsymbol{g} & \cdots & \boldsymbol{\phi}^{n-2}\boldsymbol{g}& \boldsymbol{\phi}^{n-1}\boldsymbol{g} \end{matrix}\right]$ 滿秩就是當 $?\boldsymbol{\phi}$ 不滿秩時的狀態完全能控的充分條件。

思考：
Q1. 為什么是 $n?kn\leqslant k$ ，大于 $k$ 不行嗎？

1.2 多入多出

如果系統為多入多出，那么1.1中的判別矩陣不再是方陣，此時， $[g?g??n?2g?n?1g]\left[\begin{matrix} \boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}\boldsymbol{g} & \cdots & \boldsymbol{\phi}^{n-2}\boldsymbol{g}& \boldsymbol{\phi}^{n-1}\boldsymbol{g} \end{matrix}\right]$ 行滿秩就是當 $?\boldsymbol{\phi}$ 滿秩時的狀態完全能控的充分必要條件，是當 $?\boldsymbol{\phi}$ 不滿秩時的狀態完全能控的充分條件。綜上，這是同時適用于1.1和1.2的條件。

2. 能達

從 $x(0)=0\boldsymbol{x}(0)=0$ 轉移到任意 $x(n)≠0\boldsymbol{x}(n) \neq 0$ ， $x(n)=∑i=0n?1?igu(n?1?i)\boldsymbol{x}(n)= \sum^{n-1}_{i=0}\boldsymbol{\phi}^{i}\boldsymbol{g}\boldsymbol{u}(n-1-i)$
解方程區別：不用再考慮 $?\boldsymbol{\phi}$ 是否滿秩， $[g?g??n?2g?n?1g]\left[\begin{matrix} \boldsymbol{g} & \boldsymbol{\phi}\boldsymbol{g} & \cdots & \boldsymbol{\phi}^{n-2}\boldsymbol{g}& \boldsymbol{\phi}^{n-1}\boldsymbol{g} \end{matrix}\right]$ 行滿秩直接就是狀態完全能達的充分必要條件。

3. 能觀

存在一個多入多出定常離散系統： $x(k+1)=?x(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)\begin{aligned} \boldsymbol{x}(k+1)&=\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{G}\boldsymbol{u}(k) \\ \boldsymbol{y}(k)&=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}(k) \end{aligned}$ 狀態方程的解是
$x(k)=?kx(0)+∑i=0k?1?iGu(k?1?i)y(k)=C?kx(0)+C∑i=0k?1?iGu(k?1?i)+Du(k)\begin{aligned} \boldsymbol{x}(k)&=\boldsymbol{\phi}^k\boldsymbol{x}(0)+\sum^{k-1}_{i=0}\boldsymbol{\phi}^{i}\boldsymbol{G}\boldsymbol{u}(k-1-i) \\ \boldsymbol{y}(k)&=\boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi}^k\boldsymbol{x}(0)+\boldsymbol{C}\sum^{k-1}_{i=0}\boldsymbol{\phi}^{i}\boldsymbol{G}\boldsymbol{u}(k-1-i)+\boldsymbol{D}\boldsymbol{u}(k) \end{aligned}$ 進行能觀性分析的時候， $u(k)\boldsymbol{u}(k)$ ， $?\boldsymbol{\phi}$ ， $G\boldsymbol{G}$ ， $C\boldsymbol{C}$ ， $D\boldsymbol{D}$ 都是已知的，也是就是說我們只要研究 $y(k)=C?kx(0)\boldsymbol{y}(k)=\boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi}^k\boldsymbol{x}(0)$ OK， $[y(0)y(1)?y(n?2)y(n?1)]=[CC??C?n?2C?n?1]x(0)\left[\begin{matrix} \boldsymbol{y}(0) \\ \boldsymbol{y}(1) \\ \cdots \\ \boldsymbol{y}(n-2)\\ \boldsymbol{y}(n-1) \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi} \\ \cdots \\ \boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi}^{n-2} \\ \boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi}^{n-1} \end{matrix}\right] \boldsymbol{x}(0)$ 對于任意的 $y(0)\boldsymbol{y}(0)$ ， $?\cdots$ ， $y(n?1)\boldsymbol{y}(n-1)$ 是否有唯一解？（注意，唯一解才能說明是可觀的）

當 $[CC??C?n?2C?n?1]\left[\begin{matrix} \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi} \\ \cdots \\ \boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi}^{n-2} \\ \boldsymbol{C}\boldsymbol{\phi}^{n-1} \end{matrix}\right]$ 列滿秩，才有唯一解，而且是充分必要條件。

4. 總結

1. 實際上線性系統的控制問題本質上還是線性方程組的解的問題。
2. 能控是對于任意狀態，能找到任意一串輸入，使得狀態到零，即解的存在性（包括單解或多解）。
3. 能觀是對于一串輸出和輸入，能找到唯一的初始狀態，即單解的存在性。
4. 上述能觀和能控只適用于定常離散。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的20220401 从解方程角度看什么是线性系统的能控与能观的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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