題目鏈接

(BZOJ) https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4042
(Luogu) https://www.luogu.org/problem/P4757

題解

挺神仙的題。
觀察到兩個重要性質:

(1) 只有不影響任何已選方案的時候，才需要去考慮是否要選擇\(u\)的子樹內往上走的鏈。(因為鏈不帶權值)

(2) 如果要選擇\(u\)子樹內往上走的鏈，那么最多選擇一條。

由此可知，我們可以記錄哪些鏈在\(u\)子樹內的所有方案中是必選的，所有非必選的都可視作空閑。因為往上走的鏈最多選擇一條，所以如果這條鏈和一條非必選的邊沖突，有辦法調整最優方案使得這條鏈選上，而不會受到“兩條非必選的邊至少選一條”這種情況的影響。

于是我們記錄\(dp[u]\)表示\(u\)子樹內最多選擇多少鏈以及\(S[u]\)表示\(u\)子樹內最優解非必選的端點，轉移的時候先把所有的兒子拿出來，建一個圖，兩點\(i,j\)連邊當且僅當存在\(x\in S[i],y\in S[j], x,y\)是輸入的一條路徑，然后用狀壓DP求它的最大匹配即可。設\(dp0[i]\)表示\(i\)集合內的最大匹配，\(U\)為所有兒子的全集，那么若\(dp0[U]=dp0[U-\{i\}]\)就說明\(i\)非必選，那么把\(S[i]\)加入到\(S[u]\)中。
注意特殊處理以\(u\)為一條鏈的端點的情況。

時間復雜度\(O(n^2+nd2^d+m)\).

代碼

#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<cassert> #include<vector> using namespace std;const int N = 1000; const int M = 5e5; const int D = 10; int lg2[(1<<D)+3]; struct Edge {int v,nxt; } e[(N<<1)+3]; int fe[N+3]; int fa[N+3]; bool a[N+3][N+3]; vector<int> ac[N+3]; int dp[N+3]; vector<int> son; bool ae[D+3][D+3]; bool ae0[D+3]; int dp0[(1<<D)+3]; int n,en,m;void addedge(int u,int v) {en++; e[en].v = v;e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en; }void dfs(int u) {dp[u] = 0;for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v;if(v==fa[u]) continue;fa[v] = u;dfs(v);dp[u] += dp[v];}son.clear();for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v;if(v==fa[u]) continue;son.push_back(v);}for(int i=0; i<son.size(); i++){for(int j=i+1; j<son.size(); j++){ae[i][j] = ae[j][i] = false;for(int ii=0; ii<ac[son[i]].size(); ii++){for(int jj=0; jj<ac[son[j]].size(); jj++){if(a[ac[son[i]][ii]][ac[son[j]][jj]]){ae[i][j] = ae[j][i] = true; break;}}}}ae0[i] = false;for(int ii=0; ii<ac[son[i]].size(); ii++) {if(a[ac[son[i]][ii]][u]) {ae0[i] = true; break;}}}dp0[0] = 0;for(int i=1; i<(1<<son.size()); i++){int x = lg2[i&(-i)];dp0[i] = dp0[i^(1<<x)];if(ae0[x]) {dp0[i]++;}for(int j=0; j<son.size(); j++){if(i&(1<<j)){if(ae[x][j]) {dp0[i] = max(dp0[i],dp0[i^(1<<x)^(1<<j)]+1);}}}}dp[u] += dp0[(1<<son.size())-1];for(int i=0; i<son.size(); i++){if(dp0[(1<<son.size())-1]==dp0[((1<<son.size())-1)^(1<<i)]){for(int j=0; j<ac[son[i]].size(); j++) {ac[u].push_back(ac[son[i]][j]);}}}ac[u].push_back(u); }int main() {for(int i=0; i<=D; i++) lg2[1<<i] = i;int T; scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);for(int i=1; i<n; i++){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);addedge(u,v); addedge(v,u);}scanf("%d",&m);for(int i=1; i<=m; i++){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);a[u][v] = a[v][u] = 1;}dfs(1);printf("%d\n",dp[1]);for(int i=1; i<=n; i++) fe[i] = fa[i] = 0,ac[i].clear();for(int i=1; i<=en; i++) e[i].v = e[i].nxt = 0;for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) a[i][j] = a[j][i] = 0;n = en = m = 0;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ 4042 Luogu P4757 [CERC2014]Parades (树形DP、状压DP)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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