題目鏈接

https://www.luogu.org/problem/P5564

題解

這題最重要的一步是讀明白題。
為了方便起見下面設環長可以是\(1\), 最后統計答案時去掉即可。
實際上就相當于如果只有樹沒有環，答案就是卡特蘭數第\((n-1)\)項。令\(C(x)\)為Catalan數生成函數，\(T(x)\)為這種樹的生成函數，則\(T(x)=xC(x)\)。
然后環的話可以考慮Burnside引理，首先枚舉環長，枚舉置換，易得答案為\(\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}\sum_{d|k,d|\gcd(a_i)}\phi(\frac{k}ze8trgl8bvbq)[x^{\frac{nd}{k}}]T^d(x)\times \frac{(\frac{n}ze8trgl8bvbq)!}{\prod^m_{i=1}(\frac{a_i}ze8trgl8bvbq)!}=\sum_{d|\gcd(a_i)}\frac{\phi(d)(\frac{n}ze8trgl8bvbq)!}{d\prod^m_{i=1}(\frac{a_i}ze8trgl8bvbq)!}\sum^{\frac{n}ze8trgl8bvbq}_{k=1}[x^{\frac{n}ze8trgl8bvbq}]\frac{T^k(x)}{k}\)
然后有兩種做法。

做法一

顯然后面的\(\sum_{k=1}\frac{T^k}{k}=-\ln(1-T)\), 于是直接多項式\(\ln\)求出系數即可。
時間復雜度\(O(n\log n)\).

做法二

有沒有優美一點的？
有一個非常神奇的結論: \([x^n]C^m(x)={2n+m-1\choose n}\frac{m}{n+m}\), 證明考慮卡特蘭數的折線意義，當縱坐標首次變成\(-1\)時視為第二段拼接開始，可以把后面的都上移\(1\)位，再次變成\(-1\)時視為第三段開始，后面的都上移\(1\)位……直到最后，因此\(m\)段折線拼接的方案數就等于從\((0,0)\)走到\((n,-m+1)\)的方案數。
于是\([x^n]T^m(x)={2n-m-1\choose n-m}\times\frac{m}{n}\), 帶入原式可得\(\frac{1}{n}\sum_{d|\gcd(a_i)}\phi(d)\frac{(\frac{n}ze8trgl8bvbq)!}{\prod(\frac{a_i}ze8trgl8bvbq)!}\sum^{\frac{n}ze8trgl8bvbq}_{k=1}{\frac{2n}ze8trgl8bvbq-k-1\choose \frac{n}ze8trgl8bvbq-k}=\frac{1}{n}\sum_{d|\gcd(a_i)}\phi(d)\frac{(\frac{n}ze8trgl8bvbq)!}{\prod(\frac{a_i}ze8trgl8bvbq)!}{\frac{2n}ze8trgl8bvbq-1\choose \frac{n}ze8trgl8bvbq-1}\) (省略了很多中間步驟)
觀察到我們只需要枚舉\(\gcd(a_i)\)的約數，每個計算復雜度為\(O(m)\), 約數個數不超過\(\gcd(a_i)\le \min(a_i)\le \frac{n}{m}\), 故總復雜度為\(O(n)\).
orz myh&dcx

代碼

做法二

#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<cassert> #define llong long long using namespace std;const int N = 4e5; const int P = 998244353; llong fact[N+3],finv[N+3]; int pri[N+3]; bool isp[N+3]; int phi[N+3]; int a[N+3]; int n,m,np;void EulerSieve() {isp[1] = true; phi[1] = 1;for(int i=2; i<=N; i++){if(isp[i]==false) {pri[++np] = i; phi[i] = i-1;}for(int j=1; j<=np && i*pri[j]<=N; j++){isp[i*pri[j]] = true;if(i%pri[j]==0) {phi[i*pri[j]] = phi[i]*pri[j]; break;}else {phi[i*pri[j]] = phi[i]*phi[pri[j]];}}} }int gcd(int x,int y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}llong quickpow(llong x,llong y) {llong cur = x,ret = 1ll;for(int i=0; y; i++){if(y&(1ll<<i)) {y-=(1ll<<i); ret = ret*cur%P;}cur = cur*cur%P;}return ret; } llong mulinv(llong x) {return finv[x]*fact[x-1]%P;} llong comb(llong x,llong y) {return x<0||y<0||x<y ? 0ll : fact[x]*finv[y]%P*finv[x-y]%P;}llong calc(llong x) {llong ret = fact[n/x];for(int i=1; i<=m; i++) ret = ret*finv[a[i]/x]%P;return ret; }int main() {EulerSieve();fact[0] = 1ll; for(int i=1; i<=N; i++) fact[i] = fact[i-1]*i%P;finv[N] = quickpow(fact[N],P-2); for(int i=N-1; i>=0; i--) finv[i] = finv[i+1]*(i+1)%P;scanf("%d%d",&n,&m); int g = 0;for(int i=1; i<=m; i++) scanf("%d",&a[i]),g = gcd(a[i],g);llong ans = 0ll;for(int i=1; i<=n; i++){if(g%i==0){llong tmp = phi[i]*calc(i)%P*comb(n*2/i-1,n/i-1)%P;ans = (ans+tmp)%P;}}ans = ans*mulinv(n)%P;ans = (ans-comb(2*n-2,n-1)*mulinv(n)%P*calc(1)%P+P)%P;printf("%lld\n",ans);return 0; } 與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Luogu P5564 [Celeste-B]Say Goodbye (多项式、FFT、Burnside引理、组合计数)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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