对数学本质特征的若干认识
對數學本質特征的若干認識
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什么是數學？這是任何一個數學教育工作者都應認真思考的問題。只有對數學的本質特征有比較清晰的認識，才能在數學教育研究中把握正確的方向.
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1 數學，其英文是mathematics，這是一個復數名詞，“數學曾經是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位?！弊怨乓詠?#xff0c;多數人把數學看成是一種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理而形成的系統化的理論知識總和，它既反映了人們對“現實世界的空間形式和數量關系”的認識，又反映了人們對“可能的量的關系和形式”的認識。數學既可以來自現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的能動創造。
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2從人類社會的發展史看，人們對數學本質特征的認識在不斷變化和深化。“數學的根源在于普通的常識，最顯著的例子是非負整數。"歐幾里德的算術來源于普通常識中的非負整數，而且直到19世紀中葉，對于數的科學探索還停留在普通的常識，”另一個例子是幾何中的相似性，“在個體發展中幾何學甚至先于算術”，其“最早的征兆之一是相似性的知識，”相似性知識被發現得如此之早，“就象是大生的?！币虼?#xff0c;19世紀以前，人們普遍認為數學是一門自然科學、經驗科學，因為那時的數學與現實之間的聯系非常密切，隨著數學研究的不斷深入，從19世紀中葉以后，數學是一門演繹科學的觀點逐漸占據主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發展，他們認為數學是研究結構的科學，一切數學都建立在代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數學是研究模式的學問，數學家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數學與善》中說，“數學的本質特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數學對于理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術?！?/span>1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾伊曼就認為，數學兼有演繹科學和經驗科學兩種特性。
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3對于上述關于數學本質特征的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數本質特征的認識是隨數學的發展而發展的。由于數學源于分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數學概念的現實原型，這樣，人們自然地認為數學是一種經驗科學；隨著數學研究的深入，非歐幾何、抽象代數和集合論等的產生，特別是現代數學向抽象、多元、高維發展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數學與現實之間的距離越來越遠，而且數學證明（作為一種演繹推理）在數學研究中占據了重要地位，因此，出現了認為數學是人類思維的自由創造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關于模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數學理解的深化，也是人們從不同側面對數學進行認識的結果。正如有人所說的，“恩格斯的關于數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數學的來源，后者反映了現代數學的水平，現代數學是一座由一系列抽象結構建成的大廈?！倍P于數學是研究模式的學問的說法，則是從數學的抽象過程和抽象水平的角度對數學本質特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基于人類對數學推理的必然性、準確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現，因此人們認為，發展數學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
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4事實上，上述對數學本質特征的認識是從數學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，并且主要是從數學研究的結果來看數學的本質特征的。顯然，結果（作為一種理論的演繹體系）并不能反映數學的全貌，組成數學整體的另一個非常重要的方面是數學研究的過程，而且從總體上來說，數學是一個動態的過程，是一個“思維的實驗過程”，是數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果。在數學研究的過程中，數學對象的豐富、生動且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認為，“數學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來的數學看來象是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學?！备ベ嚨撬栒f，“數學是一種相當特殊的活動，這種觀點“是區別于數學作為印在書上和銘，記在腦子里的東西?！彼J為，數學家或者數學教科書喜歡把數學表示成“一種組織得很好的狀態，”也即“數學的形式”是數學家將數學（活動）內容經過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數人來說，他們是把數學當成一種工具，他們不能沒有數學是因為他們需要應用數學，這就是，對于大眾來說，是要通過數學的形式來學習數學的內容，從而學會相應的（應用數學的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數學是在內容和形式的互相影響之中的一種發現和組織的活動”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，“數學家的理想是要獲得嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這一事實并不排除必須將數學看成是個創造性過程：數學本質上是人類活動，數學是由人類發明的，”數學活動由形式的、算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，“數學是人類意志的表達，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構成數學科學的生命、效用與高度的價值?！?/span>
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5另外，對數學還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，“數學是一種文化體系”，“數學是一種語言”，數學活動是社會性的，它是在人類文明發展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響．也有人認為，數學是一門藝術，“和把數學看作一門學科相比，我幾乎更喜歡把它看作一門藝術，因為數學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現出的經久的創造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而并非臆造的。數學家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數學家，這些品質是最基本的，……，它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優秀的藝術家或優秀的數學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力?！薄皵祵W是推理的音樂，”而“音樂是形象的數學”．這是從數學研究的過程和數學家應具備的品質來論述數學的本質，還有人把數學看成是一種對待事物的基本態度和方法，一種精神和觀念，即數學精神、數學觀念和態度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數學》一文中認為，數學是一門學科，“在認識論的意義上它是一門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體所構成的，數學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下，數學以內在的自我發展和自我理解為目標，獨立于外部世界，…，另一方面，如果所考慮的領域存在于數學之外，…，數學就起著用科學的作用…·，數學的這兩個側面之間的差異并非數學內容本身的問題，而是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數學有助于產生知識和洞察力。數學也是一個工具、產品以及過程構成的系統，它有助于我們作出與掌握數學以外的實踐領域有關的決定和行動…·，數學是美學的一個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗…·，作為一門學科，數學的傳播和發展都要求它能被新一代的人們所掌握。數學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目．”
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從上所述可以看出，人們是從數學內部（又從數學的內容、表現形式及研究過程等幾個角度）。數學與社會的關系、數學與其它學科的關系、數學與人的發展的關系等幾個方面來討論數學的性質的。它們都從一個側面反映了數學的本質特征，為我們全面認識數學的性質提供了一個視角。
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6基于對數學本質特征的上述認識，人們也從不同側面討論了數學的具體特點。比較普遍的觀點是，數學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，“甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數學的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最后是它的應用的極端廣泛、性，”「5」王粹坤說，“數學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必”這種看法主要從數學的內容、表現形式和數學的作用等方面來理解數學的特點，是數學特點的一個方面。另外，從數學研究的過程方面、數學與其它學科之間的關系方面來看，數學還有形象性、似真性、擬經驗性。“可證偽性”的特點。對數學特點的認識也是有時代特征的，例如，關于數學的嚴謹性，在各個數學歷史發展時期有不同的標準，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關于嚴謹性的評價標準有很大差異，尤其是哥德爾提出并證明了“不完備性定理…以后，人們發現即使是公理化這一曾經被極度推崇的嚴謹的科學方法也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性是在數學發展歷史中表現出來的，具有相對性。關于數學的似真性，波利亞在他的《數學與猜想》中指出，“數學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面，以最后確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其它知識的創造過程一樣的，在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合然后加以類比．你得一次又一次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。”正是從這個角度，我們說數學的確定性是相對的，有條件的，對數學的形象性、似真性、擬經驗性?！翱勺C偽性”特點的強調，實際上是突出了數學研究中觀察、實驗、分析、比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。
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綜上所述，對數學本質特征的認識是發展的。變化的，用歷史的、發展的觀點來看待數學的本質特征，恩格斯的“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系”的論斷并不過時，對初等數學來說就更是如此，當然，對“空間形式和數量關系”的內涵，我們應當作適當的拓展和深化。順便指出，對數學本質特征的討論中，采取現象與本質并重、過程與結果并重、形式與內容并重的觀點對數學教學具有重要的指導意義?！ ?/span>
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摘自：
http://www.edu.cn/20011025/3006602.shtml
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的对数学本质特征的若干认识的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
