本文是《Tutorial on Variational AutoEncoders》一文部分翻譯的內容。

1.介紹

generative model，學習高維數據的概率分布P(X)P(X)。學習到不同維度之間的相互依賴關系，比如手寫數字的生成模型如果生成了8的左邊一半像素，那么剩下的像素也就能夠隨之確定。

latent variable，給予生成模型一些信息用來生成數據。比如一個生成手寫數字的生成模型，隱變量z就可以是從[0,…,9]中隨機采樣的整型，確定了隱變量模型才能生成像素點。

但是隱變量又不可能那么簡單，因為對于一個能夠表達出數據集特性的生成模型，對于每個數據點，生成模型都要能夠產生出一個隱變量來生成一個非常相似的東西。對手寫數字數據集來說，同樣的一個8，可能大一點或者小一點，往左歪一點或者往右歪一點，字跡是粗一點還是細一點。所以，生成模型中隱變量需要表達更多的信息，需要一個高維度的向量來表示隱變量z∈RZz∈RZ，隱變量要能夠自動的學習到這些信息的表示，而且這些影響手寫數字生成的信息之間的相互影響和依賴，即隱變量的latent structure，也應該自動的學習。

2.目標函數

VAE的過程是：從概率密度函數P(z)中采樣隱變量z之后，從確定性函數f(z;θ)f(z;θ)得到的值，這個值要大概率和數據集中的數據很相似。

所以我們的目標是對數據集中的所有數據x，最大化：

P(X)=∫P(X|z;θ)P(z)dzP(X)=∫P(X|z;θ)P(z)dz

其中的條件概率P(X|z;θ)P(X|z;θ)等于N(X|f(z;θ),σI)N(X|f(z;θ),σI)，也就是在標準VAE中，如果輸出是實數向量，通常輸出的分布是均值為f(z;θ)f(z;θ)方差為σIσI的高斯分布。

VAE要最大化P(x)，就要解決兩個問題：

• 隱變量z如何表示？

使用標準正態分布N(0,I)N(0,I)，因為只要有一個n維標準正態分布的z，再找到一個足夠復雜的函數g，那么g(z)就可以表示任意一個n維分布。

對上面的公式而言，f(z;θ)f(z;θ)就是一個多層神經網絡組成的函數逼近器。可以將將隱變量映射到最后的輸出。

• P(X)P(X)的積分如何計算？

現在我們得到了P(z)=N(0,I)P(z)=N(0,I)，可以直接計算P(X)P(X)了嗎？還是不行，假如采用抽樣的方式抽樣出很多z來計算P(X)P(X)的話就會發現，對于絕大多數z來說，P(X|z)P(X|z)都接近于0（因為z是標準正態分布的采樣），這種方式非常低效。

VAE的解決這個問題的核心思想就是，試圖抽樣出有更大可能性產生X的z。而做到這一點是通過另一個分布Q(z|X)Q(z|X)來實現的，這個分布產生的Q能夠以較大的可能產生X。

但是我們使用了Q分布后，P(X)P(X)積分公式就變成了Ez～QP(X|z)Ez～QP(X|z)，我們要找到后者和P(X)P(X)之間的關系。根據P(z|X)和Q(z|X)P(z|X)和Q(z|X)的KL散度的公式進行推導，可以推出：

其中左側的部分就是目標函數，我們要最大化這個目標函數就是在最大化對數似然概率的同時，最小化我們預測的分布Q和真實分布P之間的差異。

3.目標函數優化

那么Q(z|X)Q(z|X)是一個什么分布呢？通常的選擇是，也是一個多元高斯分布N(z|μ(X),σ(X))N(z|μ(X),σ(X))，其中的μ和σμ和σ都是由神經網絡學習到的映射。

所以目標函數等號右側的最后一項就變成了兩個多元高斯分布的KL散度，因為我們假定P(z)P(z)是標準多元高斯分布。在得到了Q分布之后，這一項是能夠計算出來的（當然也能夠利用梯度下降來優化）。

而右側的第一項，也就是Ez～Q[logP(X|z)]Ez～Q[logP(X|z)]，通過當前時刻的Q分布，從中采樣出若干個z，然后從這若干個z中計算出P(X|z)P(X|z)作為期望的逼近值。

但是這樣做的話，由于采樣操作對μμ和σσ不可導，反向傳播無法進行，因此，實際的VAE中使用了一個叫做reparameterization的改進，以從N(0,I)N(0,I)中抽樣出數值??后，用??乘以方差再加上均值的結果代替從N(z|μ(X),σ(X))N(z|μ(X),σ(X))中抽樣，如下圖。

所以最終，VAE的優化目標就是，讓最終的輸出f(z)f(z)與目標xx足夠接近的同時，隱變量的分布Q～N(μ,σ2)Q～N(μ,σ2)接近真實先驗分布P～N(0,I2)P～N(0,I2)。

4.條件變分自編碼器

為了解決某種問題，比如說給定某個人的手跡，要求生成另一些與他的手跡很像的手跡。這時候需要制定輸入計算輸出P(Y|X)P(Y|X)，為了解決這類問題，從變分自編碼器衍生出條件變分自編碼器。

模型在Encoder和Decoder的輸入中，增加了條件輸入X，如上圖。當然這張圖只是一個簡化版本，實際的CVAE有很多論文提出了很多不同的版本。

原文地址：?http://cairohy.github.io/2017/11/17/deeplearning/Tutorial%20on%20Variational%20AutoEncoders/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Tutorial on Variational AutoEncoders的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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