1.模型簡介

層次分析模型主要應用于綜合評價類問題，例如：怎樣購買最劃算、怎樣養殖才能獲得最大經濟效益等等。

2.下面使用一道例題來說明這個問題

問題：你想要購置一臺個人電腦，考慮價格、性能等因素，如何做出決策？
首先，確定這道題是評價類問題，那么便可以使用層次分析法來分析這個問題。
其次，我們需要確定的幾個問題是：

我們的目標是什么？
購置一臺個人電腦。

為了達到目標有哪些方案？
由于樣本數量太多，我們可以具體列舉幾個例子來作為方案。（本題使用了HASSE戰神，Redmi G，Lenovo Pro 16，Dell 14 Pro。結果純屬虛設，如有冒犯請聯系博主~~~）

評價的準則或者指標是什么？
除了題設中的價格、性能之外，通過查閱文獻等等，我們還可以將品牌、外觀加入到準則中。

確立了這些因素之后，我們可以列出如下結構：

解決問題
層次分析模型的核心是評價，因此我們可以使用打分來給予方案評價，最終獲得最佳購買方案。打分規則：

每種準則都會有它的重要性大小，我們將它稱為權重，占表格第二列。

針對于每種方案，其影響因素的重要性也不盡相同，因此我們可以為之打分。

~?指標權重HASEE戰神RedmiGLenovo Pro 16Dell Pro 16

性能
價格
品牌
外觀

填寫這個表格時，一次性考慮往往會導致不全面，因此我們可以采用兩兩比較的打分機制。讓1，2，3，4，5，6，7，8，9來分別表示重要程度的遞增序列從而確定權重等以因素。

確定各指標的權重

指標權重性能價格品牌外觀

性能	1	2	2	2
價格	1/2	1	1/2	1
品牌	1/2	2	1	1
外觀	1/2	1	1	1

采用兩兩比較的方法，例如：性能比價格更為重要，因此第一行第二列即為2，第二行第一列即為1/2……
這樣構建出來的矩陣我們將其稱為判斷矩陣，根據判斷矩陣我們便可求出權重，具體見后續步驟。

同樣，利用兩兩比較的方法針對不同的影響因素為方案打分：
關于性能的打分：（注：這種打分最建議參考文獻，但是真正使用過程中一般是自己打分的）

性能HASEE戰神Redmi GLenovo Pro 16Dell 14 Pro

HASEE戰神	1	2	1/2	1/4
Redmi G	1/2	1	1/2	1/4
Lenovo Pro 16	2	2	1	1/3
Dell 14 Pro	4	4	3	1

關于價格的打分：

價格HASEE戰神Redmi GLenovo Pro 16Dell 14 Pro

HASEE戰神	1	2	1/3	1/5
Redmi G	1/2	1	1/2	1/4
Lenovo Pro 16	3	2	1	1/2
Dell 14 Pro	5	4	2	1

關于品牌的打分：

品牌HASEE戰神Redmi GLenovo Pro 16Dell 14 Pro

HASEE戰神	1	1/3	1/3	1/3
Redmi G	3	1	1/2	1/2
Lenovo Pro 16	3	2	1	1
Dell 14 Pro	3	3	1	1

關于外觀的打分：

外觀HASEE戰神Redmi GLenovo Pro 16Dell 14 Pro

HASEE戰神	1	1/3	1/2	1/2
Redmi G	3	1	2	3
Lenovo Pro 16	2	1/2	1	2
Dell 14 Pro	2	1/3	1/2	1

但是，通過邏輯推理我們會發現，有時這種打分同樣會存在矛盾。例如認為HASEE戰神比Redmi G好，Redmi G比Lenovo Pro 16好，那么HASEE戰神就應該比Lenovo Pro 16好。但是在實際打分過程中，我們可能會忽略這個因素而認為Lenovo Pro 16比HASEE戰神好。
因此，要使用這種表格進行權重計算，就必須要經過一致性檢驗。

一致性檢驗
我們可以發現表格是存在這樣的關系的：
$$a_{ij}\times a_{jk}=a_{ik}$$
因此，按照這種規則構造出的矩陣應該時每一行都成倍數的矩陣，我們將其稱為一致矩陣，一致性檢驗就是檢驗判斷矩陣和一致矩陣的差別是否在一個可以接受的范圍內。具體檢驗步驟如下：

計算判斷矩陣的最大特征值

計算一致性指標：
$$CI=\frac{{\lambda }_{max}?n}{n?1}$$

查找對應的平均一致性指標

計算一致性比例CR
$$CR=\frac{CI}{RI}$$

如果CR<0.1，那么判斷矩陣就通過了一致性檢驗，反之則需要對判斷矩陣進行修正。
（其中的原理可以參考文獻，核心思想時蒙特卡羅算法）

計算權重

若某一判斷矩陣是一致矩陣：
那么直接將其中一行或一列進行歸一化處理即可（因為都是成比例的）
$$權重=\frac{\text{得分}}{\text{該列或該行所有得分之和}}$$

若不是一直矩陣：
則主要有三種方法來求權重向量：

算術平均法：
步驟一：將判斷矩陣按照列進行歸一化
步驟二：將歸一化后的各行相加
步驟三：將所得的和除以n即可得到權重

指標權重性能價格品牌外觀

性能	1	2	2	2
價格	1/2	1	1/2	1
品牌	1/2	2	1	1
外觀	1/2	1	1	1

第一列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{1}{1+1/2+1/2+1/2}=2/5 \\ \text{價格：}\frac{1/2}{1+1/2+1/2+1/2}=1/5 \\ \text{品牌：}\frac{1/2}{1+1/2+1/2+1/2}=1/5 \\ \text{外觀：}\frac{1/2}{1+1/2+1/2+1/2}=1/5 \end{gathered}$$

第二列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{2}{2+1+2+1}=1/3 \\ \text{價格：}\frac{1}{2+1+2+1}=1/6 \\ \text{品牌：}\frac{2}{2+1+2+1}=1/3 \\ \text{外觀：}\frac{1}{2+1+2+1}=1/6 \end{gathered}$$

第三列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{2}{2+1/2+1+1}=4/9 \\ \text{價格：}\frac{1/2}{2+1/2+1+1}=1/9 \\ \text{品牌：}\frac{1}{2+1/2+1+1}=2/9 \\ \text{外觀：}\frac{1}{2+1/2+1+1}=2/9 \end{gathered}$$

第四列：$$\begin{gathered} \text{性能：}\frac{2}{2+1+1+1}=2/5 \\ \text{價格：}\frac{1}{2+1+1+1}=1/5 \\ \text{品牌：}\frac{1}{2+1+1+1}=1/5 \\ \text{外觀：}\frac{1}{2+1+1+1}=1/5 \end{gathered}$$

因此，各影響因素的權重為：
性能=$\frac{2/5+1/3+4/9+2/5}{4}=0.3952$

價格=$\frac{1/5+1/6+1/9+1/5}{4}=0.1694$

品牌=$\frac{1/5+1/3+2/9+1/5}{4}=0.2388$

外觀=$\frac{1/5+1/6+2/9+1/5}{4}=0.1972$

同理，可以計算出性能等因素的權重。綜合為一個表格：

~?指標權重HASEE戰神Redmi GLenovo Pro 16Dell 14 Pro

性能	0.3952	0.1480	0.1035	0.2177	0.5308
價格	0.1694	0.1293	0.1056	0.2638	0.5013
品牌	0.2388	0.0970	0.2027	0.3304	0.3699
外觀	0.1972	0.1202	0.4495	0.2596	0.1707

因此，
HASEE戰神得分：$0.1480\times 0.3952+0.1293\times 0.1694+0.0970\times 0.2388+0.1202\times 0.1972=0.1273$
Redmi G得分：$0.1035\times 0.3952+0.1056\times 0.1694+0.2027\times 0.2388+0.4495\times 0.1972=0.1958$
Lenovo Pro 16得分：$0.2177\times 0.3952+0.2638\times 0.1694+0.3304\times 0.2388+0.2596\times 0.1972=0.2608$
Dell 14 Pro得分：$0.5308\times 0.3952+0.5013\times 0.1694+0.3699\times 0.2388+0.1707\times 0.1972=0.4167$

因此，由算術平均法得到的結果為購買Dell 14 Pro。

幾何平均法
步驟一：將矩陣元素按行相乘得到一個新的列向量
步驟二：將新的向量每個分量開n次方
步驟三：對該列向量進行歸一化即可得到權重向量

指標權重性能價格品牌外觀

性能	1	2	2	2
價格	1/2	1	1/2	1
品牌	1/2	2	1	1
外觀	1/2	1	1	1

按行相乘得到新的列向量：
$\mathbf{n}=?\begin{array}{c}8.0000\\ 0.2500\\ 1.0000\\ 0.5000\end{array}?$

開n次方后：
$\mathbf{n}=?\begin{array}{c}1.6818\\ 0.7071\\ 1.0000\\ 0.8409\end{array}?$

進行歸一化：
$\mathbf{n}=?\begin{array}{c}0.3976\\ 0.1672\\ 0.2364\\ 0.1988\end{array}?$

同理，使用相同的方法，可以得到如下表格：

~?指標權重HASEE戰神Redmi GLenovo Pro 16Dell 14 Pro

性能	0.3976	0.1439	0.1018	0.2187	0.5357
價格	0.1672	0.1224	0.1013	0.2667	0.5096
品牌	0.2364	0.0940	0.1994	0.3354	0.3712
外觀	0.1988	0.1182	0.4531	0.2616	0.1671

因此，
HASEE戰神得分：$0.1439\times 0.3976+0.1224\times 0.1672+0.0940\times 0.2364+0.1182\times 0.1988=0.1234$
Redmi G得分：$0.1018\times 0.3976+0.1013\times 0.1672+0.1994\times 0.2364+0.4531\times 0.1988=0.1566$
Lenovo Pro 16得分：$0.2187\times 0.3976+0.2667\times 0.1672+0.3354\times 0.2364+0.2616\times 0.1988=0.2628$
Dell 14 Pro得分：$0.5357\times 0.3976+0.5096\times 0.1672+0.3712\times 0.2364+0.1671\times 0.1988=0.4192$

因此，由幾何平均法可以的粗，最佳購買方案為Dell 14 Pro。

特征值法求權重
步驟一：求出判斷矩陣的最大特征值以及其對應的特征向量
步驟二：對求出的特征向量進行歸一化即可得到權重

$$指標權重性能價格品牌外觀

$$	性能	1	2	2	2
$$	價格	1/2	1	1/2	1
$$	品牌	1/2	2	1	1
$$	外觀	1/2	1	1	1

求出矩陣的最大特征值：${\lambda }_{max}=3.7656$，再求出該特征值對應的特征向量${\mathbf{n}}_{\mathbf{m}\mathbf{a}\mathbf{x}}=?\begin{array}{c}0.7810\\ 0.3447\\ 0.3447\\ 0.3905\end{array}?$

對該特征向量進行歸一化處理得到權重向量為：$?\begin{array}{c}0.3952\\ 0.1682\\ 0.2390\\ 0.1976\end{array}?$

同理可以求出其他權重向量，得到以下表格：

~?指標權重HASEE戰神Redmi GLenovo Pro 16Dell 14 Pro

性能	0.3952	0.1452	0.1023	0.2184	0.5340
價格	0.1682	0.1263	0.1030	0.2671	0.5036
品牌	0.2390	0.0942	0.1986	0.3300	0.3772
外觀	0.1976	0.1190	0.4512	0.2609	0.1689

因此，
HASEE戰神得分：$0.1452\times 0.3952+0.1263\times 0.1682+0.0942\times 0.2390+0.1190\times 0.1976=0.1247$
Redmi G得分：$0.1023\times 0.3952+0.1030\times 0.1682+0.1986\times 0.2390+0.4512\times 0.1976=0.1944$
Lenovo 14 Pro得分：$0.2184\times 0.3952+0.2671\times 0.1682+0.3300\times 0.2390+0.2609\times 0.1976=0.2617$
Dell 14 Pro得分：$0.5340\times 0.3952+0.5036\times 0.1682+0.3772\times 0.2390+0.1689\times 0.1976=4193$

因此，根據算術平均法得出的最佳購買方案為Dell 14 Pro。

總結
層次分析模型（AHP）的主要特點是建立層次結構，量化重要性，一致性檢驗以及權重的求取

第一步：分析因素關系，建立系統的遞階層次結構

第二步：將各因素即方案進行兩兩比較，建立比較矩陣（最建議查閱文獻，但一般都自己填的hhh）

第三步：進行一致性檢驗

第四步：根據權重矩陣計算得分，并進行排序
5.局限與推廣

局限
方案層不能太多，否則n會變大，判斷矩陣和一致矩陣差異將增大。

推廣
可能會存在準則與方案不是完全關聯的情況，此時將這些沒有關聯的打分為0即可。

最近在準備國賽，有什么不足與改進還請多多相助~~~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模学习笔记（一）——层次分析模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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